Luận án tiến sĩ toán học: Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí Schmidt - GS.TS Trần Văn Tấn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Văn Tấn Hà Nội, 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan các kết quả trình bày trong luận án này là mới và trung thực, đã được đăng tải trên các tạp chí Toán học uy tín trong nước và quốc tế, được các đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và chưa từng công bố trong công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Sơn ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất của mình tới GS. Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên Lam Sơn đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể chuyên tâm học tập, nghiên cứu.

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn nghiên cứu sinh của Bộ môn Hình học và Tô pô đã có những trao đổi, góp ý bổ ích về học thuật, các đồng nghiệp trong Ban giám hiệu và tổ Toán trường chuyên Lam Sơn đã động viên, trợ giúp tôi trong công việc để tôi có thể sớm hoàn thành luận án này. Cuối cùng, tôi xin gửi tặng những thành quả đạt được của mình đến gia đình và người thân thay lời cảm ơn cho những sự hy sinh, vất vả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu của tôi. Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục các quy ước và kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 1 Tổng quan 4 1.1 Định lí cơ bản thứ hai .2 Định lí không gian con Schmidt. 8 2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu 11 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị .1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna .2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình .3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan .4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình .5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên .2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu .1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ .2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard .3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên .3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu .1 Một số bổ đề .2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội.

30 3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 38 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị .1 Định giá trên trường số .2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích .3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản .4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số .2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh .1 Một số bổ đề .2 Chứng minh Định lí 3. 63 Kết luận và kiến nghị 68 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Các kí hiệu sau được thống nhất trong toàn bộ luận án. ˆ Pn (C): không gian xạ ảnh phức n chiều. , zm ) ∈ Cm
1/2 ˆ ∥f ∥ = |f0 |2 + · · · + |fn |2 với (f0 : · · · : fn ) ∈ Pn (C) là một biểu diễn rút gọn của f.

ˆ o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. ˆ O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. ˆ O(1): hàm bị chặn đối với r. ˆ log+ x = max{log x, 0}, x > 0.

ˆ “ ∥ P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập R con Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞. ˆ #S : lực lượng của tập hợp S. , dq }: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1 ,. ˆ deg D: bậc của đa thức thuần nhất xác định siêu mặt D.

ˆ PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trên trường k. ˆ Mk : tập tất cả các lớp tương đương các định giá trên trường k .∥v : chuẩn hóa của định giá v trên k. ˆ h(x): độ cao logarit của x, với x ∈ k. ˆ λHj ,v : hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj và định giá v.

ˆ f # : đạo hàm cầu của f. ˆ Hol(X, Y ): tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y. ˆ E : Hàm độ dài trên đa tạp X. vi Mở đầu 1.

Lí do chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình thành từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna [24] về sự phân bố giá trị của hàm phân hình một biến phức công bố vào năm 1925. Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở rộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A. Bloch [6] xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết quả của Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức; H. Weyl [44] và Ahlfors [4] đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll [37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh.

Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặc trưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnh của ánh xạ với một mục tiêu. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Ở đó, Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm, còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu. Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể nhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu biết thỏa đáng về nó.

Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới chỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp. Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập chủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa 1 Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ công trình của Osgood [27] công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm. Năm 1987, trong bài báo [43], Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta.

Theo đó, Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí thuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề. Sự bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật trong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là các siêu mặt. Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti [15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29].

Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động. Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu và ứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong. Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình.

Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Diophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh. Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế thừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ 2 Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevan- linna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ bản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody. Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiên cứu.