Luận án tiến sĩ hội tụ kiểu tauber cho hàm và ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 9460102 Phản biện 1:. NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của PGS. Thái Thuần Quang.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Dương Thanh Vỹ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và khoa học của Thầy Thái Thuần Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình.

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. Nguyễn Văn Khuê, GS. Lê Mậu Hải (Trường ĐHSP Hà Nội) và GS. Sean Dineen (Đại học Dublin, Cộng hòa Ireland) vì các lời khuyên và các góp ý sâu sắc cho việc hoàn thiện một số kết quả ở Chương 1 và Chương 3 của luận án này.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, đây là nơi tôi bắt đầu được học tập, công tác và nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ. Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán đã giảng dạy tôi trong những năm tháng tôi được học tập, nghiên cứu. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn TS.

Lê Quang Thuận, TS. Lâm Thị Thanh Tâm, PGS. Lương Đăng Kỳ đã có những góp ý quý báu trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và các người bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức cho tác giả để hoàn thành bản luận án này.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Av pDq : Không gian con của Hv pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0 Av pD, F q : tf : D Ñ F : u  f P Av pDq, @u P F 1 u AG,v pDq : Không gian con của HG,v pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0 AG,v pD, F q : tf : D Ñ F : u  f P AG,v pDq, @u P F 1 u acxpDq : Bao lồi cân đóng của tập D B pE q : Tập hợp các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E cspF q : Tập hợp các nửa chuẩn liên tục trên F EB : Không gian con sinh bởi tập B E1 : Không gian đối ngẫu của không gian lồi địa phương E 1 Ebor : Không gian E 1 với tôpô chặn đóng liên kết với tôpô đối ngẫu mạnh β H pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F H pD q : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong C HG pD, F q : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F HG pDq : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong C Hb pDq : Không gian các hàm chỉnh hình từ D vào C, bị chặn trên các tập bị chặn trong D Hub pE q : Không gian các hàm chỉnh hình loại bị chặn đều trên E Hv pD, F q : tf P H pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du Hv pDq : tf P H pDq : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pD, F q : tf P HG pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pDq : tf P HG pDq : pv.f qpDq bị chặn trên Du HolpD, X q : Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ D vào F KpE q : Tập hợp các tập con compact, lồi, cân trong E Ox : Vành các mầm hàm chỉnh hình tại x P X OX : Bó các mầm hàm chỉnh hình trên X P SH pDq : Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trên D Uk : tx P E : }x}k 1u u : Hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của hàm u ∆ : t z P C : }z } 1u LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Danh mục các ký hiệu iv Mở đầu 1 Chương 1. Hội tụ Tauber nhanh trong không gian các hàm chỉnh hình 11 1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ .1 Không gian Fréchet và các đối ngẫu .2 Các hàm chỉnh hình .3 Hàm đa điều hòa dưới, tập đa cực .4 Một số bất biến tôpô tuyến tính .2 Tổng quan về không gian Zorn .3 Tính chất Zorn của không gian con trù mật .4 Hội tụ Tauber nhanh và thác triển chỉnh hình. Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình 34 2.1 Không gian có trọng của các hàm chỉnh hình .2 Tuyến tính hóa của các hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng .3 Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình .4 Áp dụng cho bài toán thác triển chỉnh hình có trọng. 46 iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 3.

Không gian Vitali và tính taut yếu 51 3.1 Một số khái niệm cơ bản .2 Tính taut yếu .3 Tính Vitali, tính taut yếu và tính taut .4 Tính taut yếu của miền Hartogs và miền cân. 63 Kết luận 70 Danh mục công trình của tác giả 73 Tài liệu tham khảo 74 Chỉ mục 81 iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu 8 ° Định lý Abel nói rằng nếu một chuỗi lũy thừa an z n hội tụ tại điểm z0  0 n0 thì nó hội tụ trong đĩa tâm 0 bán kính |z0 |. Tiêu chuẩn hội tụ cơ bản này là một ví dụ đơn giản nhất về “tính lan truyền của sự hội tụ”. Hiện tượng này cũng xảy ra trong tình huống tổng quát hơn cho sự hội tụ của một dãy các hàm chỉnh hình, nó có thể lan rộng từ các tập con lên toàn miền xác định.

Bài toán về “sự lan truyền của một tính chất nào đó” là một trong những bài toán cổ điển của Giải tích. Vấn đề đặt ra là đi tìm “miền lớn nhất chứa một miền cho trước mà trên đó một tính chất nào đó của một đối tượng giải tích vẫn còn được thỏa mãn”. Chẳng hạn, cho trước một hàm chỉnh hình f xác định trên một miền nào đó trong Cn , ta sẽ tìm hiểu sự thác triển chỉnh hình của nó lên một miền rộng hơn; hoặc, với E, F là các không gian lồi địa phương trên trường C và D là một miền trong E, ta tìm kiếm thêm các tính chất để đảm bảo rằng mọi dãy hàm chỉnh hình nhận giá trị trong F, xác định và hội tụ (điểm) trên một tập con nhỏ của D là hội tụ (đều) khắp nơi trên D, v. Các kết quả dạng như vậy ta gọi là “hội tụ kiểu Tauber”.

Một ví dụ ấn tượng của vấn đề này là định lý Vitali. Đây là một dạng hội tụ kiểu Tauber đối với các dãy hàm chỉnh hình, trong đó điều kiện đặt ra là tập con mà trên đó dãy đã cho hội tụ phải chứa ít nhất một điểm giới hạn và dãy này phải hội tụ đều địa phương. Một định lý cổ điển của Vitali khẳng định rằng nếu dãy hàm chỉnh hình pfm qm¥1 bị chặn đều trên các tập con compact của miền D trong Cn và nếu dãy này hội tụ điểm đến một hàm f trên một tập con X của D mà nó không được chứa trong một siêu mặt phức thì pfm qm¥1 hội tụ đều trên các tập con compact của D. Chú ý rằng phiên bản giá trị véctơ của định lý Vitali đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm (chẳng hạn, xem [1, Theorem 4.

Trong trường hợp E, F hữu hạn chiều, chứng minh sớm nhất của định lý Vitali được đưa ra nhờ sự trợ giúp của định lý Montel (xem chứng minh trong [71, p. 129] và các chú ý về lịch sử [71, p. Trái ngược với trường hợp vô hướng, khó có thể tìm thấy một kết quả tương tự với định lý này trong trường hợp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (ta sẽ gọi là hàm chỉnh hình) bởi vì trong trường hợp này định lý Montel không còn hiệu lực. Mãi đến năm 1957, Hille và Phillips [40, Theorem 3.1] đã đưa ra một chứng minh khá phức tạp cho định lý này trong trường hợp 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com các không gian miền giá trị là Banach vô hạn chiều.

Trong thực tế, chứng minh trực tiếp (khá kỹ thuật) của Lindelöf cũng đã được trình bày cho trường hợp giá trị véctơ trong cuốn sách này [40, p. Tuy nhiên, đến năm 2000, bằng cách sử dụng khái niệm chỉnh hình rất yếu và định lý về tính duy nhất cùng một số lập luận khá khéo léo, Arendt và Nikolski [2] đã dễ dàng đưa ra một chứng minh trực tiếp cho định lý Vitali đối với các lưới hàm chỉnh hình một biến phức nhận giá trị Banach, trong đó tập con nhỏ, mà trên đó lưới hàm hội tụ, có một điểm tụ (xem [2, Theorem 3. Sau đó, tổng quát hơn, năm 2013, Quang, Lâm và Đại đã đề xuất và chứng minh các định lý kiểu Vitali đối với các dãy bị chặn địa phương các hàm chỉnh hình trên một miền trong không gian Fréchet, nhận giá trị Fréchet cũng như đối với các dãy hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn giữa các không gian Fréchet-Schwartz (xem [66, Theorems 6. Công cụ bất biến tôpô tuyến tính, được Vogt giới thiệu và nghiên cứu (xem [75, 76, 77]), đã được sử dụng trong các chứng minh của họ.

Gần đây nhất, Diệu, Mạnh, Bằng, Hưng [14] đã quan tâm đến việc tìm các kết quả tương tự với định lý Vitali trong trường hợp bỏ qua tính bị chặn đều của dãy hàm. Một cách tiếp cận khả dĩ là áp đặt một chế độ mạnh hơn cho sự hội tụ và/hoặc cho kích thước của tập nhỏ.