Một số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trên thang thời gian và áp dụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐÌNH PHỤNG MỘT SỐ BẤT ĐĂNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRAN DINH PHUNG MOT SO BAT DANG THUC TiCH PHAN CHO TOAN TU DAO HAM TREN THANG THOI GIAN VA AP DUNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ số: 62. cha TẬP THÊ HƯỚNG DẪN: PGS. Đinh Thanh Đức GS. Va Kim Tuần BINH DINH - NAM 2017 Lời cam đoan Luận ấn này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn cia PGS.

Dinh Thanh Ditc va GS. Vai Kim Tuấn. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó.

Tác giả Trần Đình Phụng Lời cảm ơn Luan ấn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và đầy tận tâm của PGS. Đính Thanh Đức và GS. Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sac dén Thay Dinh Thanh Dức, người đã hướng dẫn tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu khoa học, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp đõ tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình nghiên cứu khoa học mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lãn tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy Vũ Kim Tuấn, người đã nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu khoa học và giúp tác giả học hỏi thêm được nhiều điều về nghiên cứu khoa học và cuộc sống mặc dù thời gian làm việc chung với tác giả không nhiều.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng Quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa | đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân. Thầy đã giúp đỡ tác giả tận tình trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng như trong việc hoàn thành Luận án. Cuối cùng, tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những người luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án.

Mục lục Danh mục các ký hiệu ili Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiên thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian 9 1. Các định nghĩa cơ bản. Phép tính vi phân.

Q2 ng nh xa 11 1. PiGp: bil tiGh: PHS ¢ ss << suns sv sxssenevsmncnstavonmernine G46 g5 5 5 8 Bế 0g 09//889/0W039 14 Chương 2. Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp dụng 22 2. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến.

Bât đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến.3: MGt sOvSpsdume: sa4ssi2 26 ces8 x 4 vaposmeummanemies 53005 4445 Cee ee Laveen 68 Chương 3. Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian 77 3. Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian. Tính đao động của phương trình thuần nhất.

Tính đao động của phương trình không thuần nhất. Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp dụng 110 4. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone. Bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy trên thang thời gian.

Dinh ly Ried cho một lớp hệ động lực cấp một. 124 Kết luận 130 Danh mục các công trình của tác giả 133 Tài liệu tham khảo 134 Chỉ mục 144 ii ZN z1 Te a, br yo Ta A T a<y À 1 p* *(b) Q (hay [a, bj) Qe Qe Danh muc cac ki hiéu : Thang thời gian : Tập các số thực : Tập các số nguyên : Tập các số tự nhiên T \ (p(supT),supT] néu sup T < 00 T nếu sup TỪ = œ ; |ø,b]T : Toán tử nhảy tiến : Toán tử nhảy lùi : Ham hạt : Toán tử đạo hàm trên thang thời gian : ƒoø [a.b]ñ\ nếu ø < ø(a) và ø(b) < b, [a,b) néu a < o(a) va p(b) = b, (a,bJ} AT néua=G(a) va p(b) < b, (a,b)AT néu a=<G(a) va p(b) =b » (a,b) NT : [a,0o) NT Thang thời gian n chiều : (#1,.,n) € A" :#¿ S j với mọi j € [l,0ÌN : Da chi s6 A= (1, -.7),p> 1 Z/((a, ĐÌm,7),p > 1 feg Og 6/(*;#0) G,(t), p >1 ?4!9) : laa, bar, x Df fy f(z vàn : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực và liên tục : Nghiệm duy nhất của bài toán ^ = {te A": a<t< pb} SG - balt, 1, Uy, )Ary--- Ary, "girj f(a) tuyệt đối trên mọi đoạn con đóng của I : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực và rd-liên tục trên Ï : Tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, xác định trên I sao cho cic A—dao hàm của chúng thuộc lóp C;a(Ï) : Tập tất cả các hàm số A-do được ƒ xác định trên II sao cho f;|f(x)/PAx < 00 : Tap tất cá các hàm số ƒ A-do được, xác định trên [ø,b] sao cho fi | f(x) Pr (a) Ax < 00, trong dé 7 € W([a,bÌn) : Tập tất cả các hàm số ƒ € .4C(Ía, b]x) sao cho JỀ € LJR (la.7) và ƒ có một không điểm tổng quát là a f-9 l+pg =9 1+ug ƒ()w, f(@o) =1 : |#|P“!signŒ) : Tập tất cả các nghiệm (u,ø) của hệ động lực phi tuyến MÀ = Au? + BGI 1169) = —ŒG„+1(u”) — Du trong d6 A, B,C và D thuộc lớp hàm C€,a(19) với B > 0 và —A,—D € Rt, sao cho u khong c6 khong diém tong quất trong T0 iv Rr U(a, b) CHO) #2(la,bÌ,7),p> 1 : Tập tất cả các hàm hồi quy : Tập tất cả các hàm hồi quy ƒ thỏa mãn 1+ ()ƒ(z) > 0 với mọi z € TT : Tập tất cả các hàm thử : Tập tất cả các hàm số ƒ : O — R có các A-đạo hàm akitecte as. ¬ Thai với k; € [l,À;ÌN, 7 € [1,n]n là các hàm 37 rd-liên tục Tiêng : Tập tất cả các hàm trọng trên 2 : Tập tất cả các hàm số ƒ : 9 > R thudc lép C™(Q) sao cho a f(a) =0 vdi kj € [Ũ. ij +j=đj và fo 222) Pr(w)Aw < 00, trong dé 7 € W(2) : Tập tất cả các hàm số ƒ : [a,b] —› IR thuộc lớp Ct ({a, b]) sao cho ƒ có không điểm tổng quát là a va J IZX)JPr(œ)Az < œ, trong đó r € W([a, bì) Mở đầu Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện và đóng một vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực của toán học thuần túy, toán ứng dụng mà còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, chẳng hạn như khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và kinh tế.

Các bất đẳng thức hàm là một trong những cơ sở quan trọng để xây dựng giải tích nói chung và lĩnh vực phương trình vi phân, đạo hàm riêng và tích phân nói riêng. Trong lĩnh vực phương trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng, các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là những công cụ vô cùng hữu hiệu trong việc nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các lớp phương trình này. Một số đại điện quan trọng của lớp các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là các bất đẳng thức Opial, Wirtinger và Ilardy. Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng thức Opial là dạng nội suy của bất đẳng thức Poincaré một chiều với một số điều kiện biên nào đó, trong khi bất đẳng thức Wirtinger là đạng của bất đẳng thức Poincaré một chiều đối với các hàm tuần hoàn.1) /0 4 J0 trong đó ƒ là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên [0,6], nhận giá trị phức sao cho f(0) = ƒ() =0.

Trong Bất đẳng thức (0.1), ‡ là hằng số tốt nhất có thổ. Năm 1962, Beesack [17] đã chứng minh rằng: Nếu ƒ là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên (0.0], nhận giá trị phức sao cho ƒ(0) = 0, thì b b b J |ƒ(z)ƒ/+œ)|ldz < - | |ƒ(œ)2dz, (0.2) 0 2 0 trong đó 3 là hằng số tốt nhất có thể, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(r) = œ, với c là hằng số. Ngay sau đó, nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm nghiên cứu, phát triển, mở rộng và tổng quát hóa các bất đẳng thức Opial (0.2) theo nhiều hướng khác nhau đồng thời cũng đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng. Năm 1968, Willett [98] lan đầu tiên đưa ra một mở rộng cho Bất đẳng thức 1 (0.2) theo hướng nâng bậc đạo hàm.

Sau đó, Boyd [24], Das [30], Pachpatte |64| đã tiếp tục phát triển kết quả theo hướng mở rộng này. Để nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng, Agarwal [1], Cheung [29|, Yang [103], Pachpatte |66] đã mở rộng (0.2) cho hàm số nhiều biến. Một hướng mở rộng không tầm thường khác đó là xét các trường hợp khác nhau đối với các số mũ của hàm số và đạo hàm của nó. Theo hướng này, có các công trình tiên phong của Hua [39| và Yang [102].

Năm 1972, Godunova và Levin [35] đã đưa ra các dạng mở rộng cho các Bất đẳng thức (0.2) liên quan đến hàm lồi. Các kết quả này đã được Pešarié [68], Pachpatte [66], và Andrié cùng các cộng sự [14] mở rộng cho hàm số nhiều biến. Bất đẳng thức Opial dạng rời rạc đã được Lasota [49] đề xuất vào năm 1968. Cu thé, Lasota [49] đã đưa ra các dạng rời rạc tương ứng với các Bất đẳng thức (0.2) như sau: Cho {z;}‡'¿ là một dãy số thực.

Nếu zọ = z„ = 0, thì Cả 1[A+1]¬ ar: Ag: = „|3 S tran <2 5 | Diane, (0.3) trong đó A là toán tử sai phân tiễn và [-| là hàm phan nguyén. Néu zo = 0 thi N-1 N—1 N-1 >- le,Az| < =5 » |Az¡lÊ.4) I we Sau đó, các Bất đăng thức (0.4) đã được mở rộng bởi Lee [50] va Pachpatte [65]. Các bất đẳng thức Opial cùng với các dạng mở rộng của chúng đã được chứng mình là mang tính ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học do không chỉ kế thừa ý tưởng từ bất đẳng thức Poincaré mà còn do chính bản thân các biến thể.