Luận án phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội - Nghiên cứu sinh Trần Đình Hùng, Trường Đại học Sư Phạm

LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung thực. Những kết quả viết chung với Thầy hướng dẫn đã được sự đồng ý khi đưa vào luận án. Nghiên cứu sinh Trần Đình Hùng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS.

Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và động viên giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả trong suốt quá trình nghiên cứu. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý, những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn thành đề tài của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong Viện Công nghệ thông tin.

Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên trong khoa, các bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình và người thân đã động viên khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn. ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ABC Điều kiện biên nhân tạo (Artificial Boundary Condition) NRBC Điều kiện biên không phản xạ (Non-Reflecting Boundary Condition) UG Lưới đều (Uniform Grid) Lr Lưới không đều với các bước lưới tăng dần x bi+1 = x bi + b hi+1 , i = 0, 1, ., b hi+1 = rb hi , i = 1, 2, ., r > 1 HG Lưới tựa đều hyperbol (Hyperbolic Grid) LG Lưới tựa đều logarithm (Logarithmic Grid) TG Lưới tựa đều tangent (Tangential Grid) h̄ Bước lưới nhỏ nhất trong lưới không đều h̄ = minb hi.

i≥1 h b h = maxb Bước lưới lớn nhất trong lưới không đều b hi. i≥1 error Sai số ∆ Toán tử Laplace q −1 ijπ S Ma trận (sij )M 1 , sij = 2 M sin M , i, j = 1, 2, ., M − 1 Λ Ma trận đường chéo [λ1 , λ2 , ., M − 1 iii Danh sách hình vẽ βi 2.1 Đồ thị hàm αi , βi , 1−α i với h = 0.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với h = 0.3 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.4 Đồ thị hàm 1−α i trên lưới đều với h = 0.5 Đồ thị hàm 1−α i trên lưới Lr với τ = 0.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.7 Đồ thị hàm 1−α i trên lưới Lr với τ = 0.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.9 Đồ thị hàm 1−α i trên lưới Lr với τ = 0.10 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 160 trong Ví dụ 2.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 55 trong Ví dụ 2.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 258 trong Ví dụ 2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 100 trong Ví dụ 2.1 Các điều kiện biên .2 Đồ thị hàm 1−αi,ji,j với j = 1, 2, .3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.4 Đồ thị hàm 1−αi,ji,j với j = 1, 2, .5 Đồ thị hàm 1−αi,ji,j với j = 1, 2, .6 Đồ thị hàm 1−αi,ji,j với j = 1, 2, .7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.8 Đồ thị hàm 1−αi,ji,j với j = 1, 2, .9 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.10 Các điều kiện biên hỗn hợp và miền con .11 Đồ thị hàm (10) với j = 1, 2, .12 Đồ thị hàm (10) với j = 1, 2, ., N và hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), i = 1, 2, .17 Đồ thị hàm 1−αi,j1 , 1−αi,j0 và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = i,j i,j 0.18 Đồ thị hàm 1−αi,j1 , 1−αi,j0 và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = i,j i,j 0.19 Đồ thị hàm 1−αi,j1 , 1−αi,j0 và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = i,j i,j 0. 102 vi Danh sách bảng 1.1 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.2 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.3 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.5 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.5 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.6 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.7 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.8 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.9 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.10 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.11 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.12 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.13 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.14 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3. 102 viii Mục lục Lời cam đoan.

ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu. iii Mở đầu. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ. Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình vô hướng ba điểm.

Phương pháp truy đuổi từ phải. Phương pháp truy đuổi từ hai phía. Tính khả thi và ổn định của phương pháp. Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính.

Các định lý so sánh. Hệ chính quy và hoàn toàn chính quy. Lưới tựa đều. Giới thiệu về thư viện chương trình giải bài toán elliptic trong miền chữ nhật.

Bài toán biên Dirichlet. Bài toán với điều kiện biên Neumann. Phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán biên tuyến tính một chiều trên nửa trục. Phương pháp chặt cụt một loại phương trình sai phân ba điểm 29 ix 2.

Phương pháp hệ vô hạn giải bài toán dừng một chiều trên nửa trục 33 2. Mô tả phương pháp hệ vô hạn. Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và lưới tựa đều.

Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình parabolic trên thanh nửa vô hạn. Mô tả phương pháp. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và lưới tựa đều. Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình dạng phức hợp.

Phát biểu bài toán và mô tả phương pháp. Ví dụ số và so sánh các phương pháp. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên tuyến tính hai chiều trong nửa dải. Phương pháp hệ vô hạn giải một bài toán elliptic trong nửa dải 62 3.

Xây dựng lược đồ sai phân. Sự ổn định và hội tụ. Phương pháp giải. So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều và phương pháp lưới tựa đều.

Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải. Phương pháp lặp. Phương pháp số giải một bài toán cho phương trình song điều hòa trong nửa dải. Xây dựng lược đồ sai phân.

Phương pháp giải. 99 Kết luận chung. 104 Danh mục các công trình đã công bố. 106 Tài liệu tham khảo.

107 xi MỞ ĐẦU Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường,. được đặt ra trong các miền không giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển, bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong các lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ,. Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác hoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thu được nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.

Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo. Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bài toán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo. Những điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khi một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên [2].

Hiện nay, hầu hết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực hiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu 1 thức tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao và thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán.