Luận án phó tiến sĩ bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Chu Đức Khanh
Luận án nghiên cứu bài toán ngược trong lý thuyết thế vị, khảo sát tính duy nhất nghiệm và phương pháp chỉnh hóa cho các bài toán không chỉnh.
Toán Giải tích
Luan An
Luận án Phó Tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
122
Thời gian đọc
19 phút
Lượt xem
1
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị Là Gì
Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị nghiên cứu các trường lực như trường hấp dẫn và điện trường. Lý thuyết này phát triển từ thế kỷ XIX. Ứng dụng rộng rãi trong Vật lý Địa cầu, Điện học và Cơ học. Bài toán ngược khác với bài toán thuận. Bài toán thuận tính toán trường thế từ nguồn đã biết. Bài toán ngược xác định nguồn từ các đo đạc trường thế. Đây là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Nghiệm có thể không tồn tại hoặc tồn tại vô số nghiệm. Nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Nhiễu nhỏ trong dữ kiện gây sai số lớn cho nghiệm. Phương trình Laplace và Poisson là nền tảng toán học. Trường thế vị thỏa mãn các phương trình vi phân này. Bài toán Cauchy xuất hiện khi xác định điều kiện biên. Việc chỉnh hóa bài toán không chỉnh rất quan trọng. Phương pháp Tikhonov là công cụ chỉnh hóa phổ biến.
1.1. Khái Niệm Cơ Bản Lý Thuyết Thế Vị
Lý thuyết thế vị xuất phát từ Định luật Newton và Định luật Coulomb. Hàm thế vị mô tả năng lượng tiềm năng tại mỗi điểm không gian. Trường điều hòa thỏa mãn phương trình Laplace. Phương trình này có dạng Δu = 0 trong miền xét. Hàm thế vị có tính chất trơn và khả vi vô hạn. Nguyên lý cực trị Hopf áp dụng cho hàm điều hòa. Giá trị cực đại và cực tiểu đạt được trên biên. Công thức Green liên hệ tích phân miền và tích phân biên.
1.2. Đặc Điểm Bài Toán Không Chỉnh
Bài toán không chỉnh vi phạm điều kiện Hadamard. Ba điều kiện Hadamard gồm: tồn tại nghiệm, duy nhất nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Bài toán ngược thường vi phạm điều kiện thứ ba. Nghiệm không ổn định với nhiễu dữ liệu. Cần phương pháp chỉnh hóa để tìm nghiệm xấp xỉ ổn định. Tham số chỉnh hóa cân bằng giữa độ chính xác và ổn định. Đánh giá sai số chỉnh hóa phụ thuộc từng bài toán cụ thể.
1.3. Ứng Dụng Thực Tiễn Bài Toán Ngược
Vật lý Địa cầu sử dụng bài toán ngược để khảo sát cấu trúc Trái Đất. Điện từ học áp dụng tìm khuyết tật vật liệu. Phương pháp điện từ phát hiện lỗ hổng và vết nứt. Địa vật lý thăm dò khoáng sản bằng đo trường thế. Y học dùng bài toán ngược trong chụp cắt lớp. Kỹ thuật xác định nguồn từ đo đạc bề mặt. Các ứng dụng đều đối mặt với dữ liệu nhiễu.
II. Bài Toán Thác Triển Số Liệu Trường Điều Hòa
Bài toán thác triển số liệu đo đạc trường điều hòa là bài toán Cauchy. Dữ liệu đo đạc thu thập trên một phần biên. Cần xác định giá trị trường thế trên toàn miền. Phương trình Laplace chi phối trong miền không chứa nguồn. Điều kiện biên Cauchy cho cả giá trị hàm và đạo hàm pháp tuyến. Bài toán này không chỉnh do tính không ổn định. Nhiễu nhỏ trong dữ liệu đo gây dao động lớn nghiệm. Phân tích cho trường hợp hai chiều và ba chiều. Trường hợp hai chiều đơn giản hơn về mặt tính toán. Trường hợp ba chiều phức tạp nhưng thực tế hơn. Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov áp dụng hiệu quả. Tham số chỉnh hóa chọn theo nguyên tắc Morozov hoặc L-curve.
2.1. Mô Hình Toán Học Bài Toán Cauchy
Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace trong miền Ω. Điều kiện biên: u = f và ∂u/∂n = g trên Γ₀. Γ₀ là phần biên có dữ liệu đo đạc. Cần tìm u trên toàn bộ Ω và biên còn lại. Bài toán thuộc loại không chỉnh mạnh. Không có ước lượng ổn định kiểu Lipschitz. Nghiệm phụ thuộc logarit vào dữ liệu. Cần thông tin bổ sung để chỉnh hóa.
2.2. Trường Hợp Hai Chiều
Miền hai chiều thường là hình chữ nhật hoặc hình tròn. Phương trình Laplace: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. Sử dụng phương pháp tách biến để giải. Nghiệm biểu diễn qua chuỗi Fourier. Tần số cao khuếch đại nhiễu nhanh chóng. Chỉnh hóa bằng cắt tần số cao. Phương pháp hàm giải tích phức áp dụng được. Biến đổi Fourier đơn giản hóa bài toán.
2.3. Trường Hợp Ba Chiều
Miền ba chiều phổ biến là hình cầu hoặc hình hộp. Phương trình Laplace: Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0. Hàm điều hòa cầu sử dụng cho miền cầu. Phương pháp phần tử hữu hạn cho miền phức tạp. Độ phức tạp tính toán tăng đáng kể. Cần thuật toán tối ưu để giảm chi phí. Chỉnh hóa kết hợp nhiều kỹ thuật khác nhau.
III. Bài Toán Tìm Phân Bố Nguồn Sinh Trường Thế
Bài toán tìm phân bố nguồn xác định nguồn gây ra trường thế quan sát. Dữ liệu đo đạc thu thập bên ngoài vùng chứa nguồn. Nguồn có thể là khối lượng, điện tích hoặc nguồn nhiệt. Phương trình Poisson liên hệ nguồn và trường thế: Δu = -f. Hàm f biểu diễn mật độ nguồn cần tìm. Bài toán này thường có vô số nghiệm. Không có duy nhất nghiệm nếu không có ràng buộc thêm. Chọn nghiệm có chuẩn nhỏ nhất làm nghiệm chính xác. Đây là nghiệm có năng lượng tối thiểu. Phương pháp moment tổng quát áp dụng trên không gian Hilbert. Toán tử tích phân liên hệ nguồn và trường đo được. Chỉnh hóa Tikhonov cho nghiệm xấp xỉ ổn định.
3.1. Mô Hình Phương Trình Poisson
Phương trình Poisson mở rộng phương trình Laplace. Dạng tổng quát: -Δu = f trong Ω. Hàm f là nguồn cần xác định. Điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên ∂Ω. Bài toán thuận: cho f tìm u, bài toán chỉnh. Bài toán ngược: cho u (hoặc dữ liệu liên quan) tìm f. Bài toán ngược không chỉnh và không duy nhất. Cần điều kiện chính quy hóa cho nguồn.
3.2. Nghiệm Có Chuẩn Nhỏ Nhất
Trong vô số nghiệm, chọn nghiệm có chuẩn L² nhỏ nhất. Nghiệm này có ý nghĩa vật lý: năng lượng nguồn tối thiểu. Định lý chiếu trực giao đảm bảo tồn tại duy nhất. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất thuộc không gian ảnh của toán tử liên hợp. Phương pháp nhân tử Lagrange tìm nghiệm tối ưu. Điều kiện tối ưu là phương trình Euler-Lagrange. Nghiệm này ổn định hơn các nghiệm khác.
3.3. Phương Pháp Moment Tổng Quát
Bài toán moment tổng quát trên không gian Hilbert H. Cho họ phiếm hàm tuyến tính {lᵢ} và giá trị {cᵢ}. Tìm phần tử f ∈ H sao cho lᵢ(f) = cᵢ. Bài toán tìm nguồn là trường hợp đặc biệt. Phiếm hàm lᵢ là giá trị trường tại điểm đo. Định lý biểu diễn Riesz chuyển về bài toán đại số. Giải hệ phương trình tuyến tính trong không gian vô hạn chiều. Chỉnh hóa cần thiết khi ma trận Gram suy biến.
IV. Bài Toán Xác Định Lỗ Hổng Bằng Phương Pháp Điện Từ
Bài toán xác định lỗ hổng phát hiện khuyết tật bên trong vật thể. Phương pháp điện từ không phá hủy mẫu thử. Đặt điện thế hoặc dòng điện lên bề mặt vật thể. Đo điện thế hoặc dòng điện tại các điểm trên biên. Lỗ hổng hoặc vết nứt làm thay đổi phân bố điện thế. Bài toán ngược: từ đo đạc biên xác định vị trí và hình dạng lỗ hổng. Đây là bài toán phi tuyến và không chỉnh. Tính phi tuyến do biên lỗ hổng chưa biết. Miền xác định phương trình phụ thuộc vào nghiệm cần tìm. Phương trình Laplace trong miền không chứa lỗ hổng. Điều kiện biên trên lỗ hổng thường là Neumann thuần nhất. Phương pháp tối ưu hóa hình dạng áp dụng để giải. Gradient hình dạng tính theo công thức Hadamard.
4.1. Nguyên Lý Phương Pháp Điện Từ
Phương pháp điện từ dựa trên định luật Ohm. Dòng điện chạy qua vật dẫn điện. Điện trở suất đặc trưng cho vật liệu. Lỗ hổng có điện trở suất khác vật liệu xung quanh. Thay đổi điện trở cục bộ ảnh hưởng phân bố điện thế. Đo điện thế bề mặt phát hiện bất thường. Vị trí bất thường chỉ ra vị trí lỗ hổng. Phương pháp an toàn và hiệu quả.
4.2. Mô Hình Toán Học Bài Toán Lỗ Hổng
Miền Ω chứa lỗ hổng D cần xác định. Phương trình Laplace: Δu = 0 trong Ω \ D. Điều kiện biên Dirichlet u = g₀ trên ∂Ω. Điều kiện Neumann ∂u/∂n = 0 trên ∂D (lỗ hổng cách điện). Đo thêm dòng điện ∂u/∂n = h trên ∂Ω. Bài toán: tìm D từ cặp dữ liệu (g₀, h). Bài toán phi tuyến vì D chưa biết. Cần nhiều phép đo với g₀ khác nhau.
4.3. Phương Pháp Tối Ưu Hóa Hình Dạng
Đặt bài toán tối ưu: cực tiểu hàm mục tiêu J(D). Hàm J đo sai lệch giữa dữ liệu đo và tính toán. J(D) = ||∂u/∂n - h||² trên ∂Ω. Gradient hình dạng dJ/dD tính theo biến phân miền. Công thức Hadamard cho đạo hàm theo biên. Thuật toán gradient giảm dần tìm D tối ưu. Cập nhật biên theo hướng gradient âm. Điều kiện dừng khi J(D) đủ nhỏ.
V. Sự Duy Nhất Nghiệm Bài Toán Ngược Thế Vị
Tính duy nhất nghiệm quan trọng hơn tồn tại nghiệm trong bài toán không chỉnh. Duy nhất nghiệm xác định xem dữ liệu có đủ để xác định nghiệm không. Nhiều bài toán ngược không có nghiệm duy nhất. Bài toán tuyến tính thường dễ khảo sát duy nhất hơn. Bài toán phi tuyến cần kỹ thuật phức tạp hơn. Phương pháp năng lượng áp dụng cho bài toán tuyến tính. Nguyên lý Holmgren cho bài toán Cauchy. Định lý duy nhất kiểu Runge cho bài toán xác định nguồn. Bài toán phi tuyến dùng phương pháp tuyến tính hóa. Định lý hàm ẩn và bổ đề Schauder hỗ trợ chứng minh. Kết quả duy nhất địa phương thường đạt được. Duy nhất toàn cục cần giả thiết mạnh hơn.
5.1. Duy Nhất Bài Toán Tuyến Tính
Bài toán Cauchy: duy nhất nếu miền liên thông. Nguyên lý cực trị mạnh cho hàm điều hòa. Nếu u điều hòa và u = ∂u/∂n = 0 trên Γ thì u ≡ 0. Bài toán thác triển có nghiệm duy nhất. Bài toán tìm nguồn: không duy nhất nói chung. Duy nhất trong không gian con cụ thể. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất là duy nhất. Toán tử compact dẫn đến không duy nhất.
5.2. Duy Nhất Bài Toán Phi Tuyến
Bài toán xác định lỗ hổng: duy nhất địa phương. Cần giả thiết lỗ hổng đủ nhỏ hoặc xa biên. Phương pháp tuyến tính hóa quanh nghiệm chuẩn. Toán tử Fréchet đạo hàm phải khả nghịch. Điều kiện chính quy đảm bảo khả nghịch. Duy nhất toàn cục khó chứng minh. Phản ví dụ cho thấy không duy nhất trong trường hợp tổng quát.
5.3. Nghiệm Chính Xác Riêng
Khi bài toán có vô số nghiệm, chọn nghiệm chính xác riêng. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất là lựa chọn phổ biến. Nghiệm này duy nhất và có ý nghĩa vật lý. Năng lượng tối thiểu hoặc entropy cực đại. Nghiệm chính xác là mục tiêu chỉnh hóa. Phương pháp chỉnh hóa hội tụ đến nghiệm này. Tốc độ hội tụ phụ thuộc độ trơn nghiệm.
VI. Phương Pháp Chỉnh Hóa Tikhonov Cho Bài Toán Ngược
Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov là kỹ thuật phổ biến nhất. Thay bài toán không chỉnh bằng bài toán xấp xỉ chỉnh. Thêm số hạng ổn định vào hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu: J_α(f) = ||Af - g||² + α||f||². Tham số α > 0 là tham số chỉnh hóa. Số hạng αlf||² ổn định nghiệm. Nghiệm chỉnh hóa f_α cực tiểu J_α. Khi α → 0, f_α hội tụ đến nghiệm chuẩn nhỏ nhất. Tốc độ hội tụ phụ thuộc độ trơn nghiệm chính xác. Chọn α tối ưu theo nguyên tắc Morozov. Nguyên tắc sai lệch: ||Af_α - g|| ≈ δ (mức nhiễu). Phương pháp L-curve vẽ đồ thị ||f_α|| theo ||Af_α - g||.
6.1. Nguyên Lý Chỉnh Hóa Tikhonov
Bài toán không chỉnh Af = g với A: X → Y. Toán tử A compact hoặc không bị chặn dưới. Nghiệm không phụ thuộc liên tục vào g. Chỉnh hóa Tikhonov: cực tiểu ||Af - g||² + α||f||². Phương trình Euler-Lagrange: (AA + αI)f_α = Ag. Toán tử A*A + αI bị chặn dưới bởi α. Nghiệm f_α tồn tại duy nhất và ổn định. Ước lượng ổn định: ||f_α|| ≤ ||g||/√α.
6.2. Lựa Chọn Tham Số Chỉnh Hóa
Tham số α cân bằng sai số xấp xỉ và nhiễu. α quá lớn: nghiệm quá trơn, sai số xấp xỉ lớn. α quá nhỏ: khuếch đại nhiễu, nghiệm dao động. Nguyên tắc Morozov: ||Af_α - g^δ|| = τδ với τ ≈ 1. Phương pháp L-curve: chọn α tại điểm góc đồ thị. Phương pháp GCV (Generalized Cross Validation) tự động. Nguyên tắc sai lệch đảm bảo hội tụ khi δ → 0.
6.3. Đánh Giá Sai Số Chỉnh Hóa
Sai số tổng: ||f_α - f^†|| với f^† nghiệm chính xác. Phân tích thành sai số xấp xỉ và sai số nhiễu. Sai số xấp xỉ: O(α^(p/2)) với điều kiện nguồn. Sai số nhiễu: O(δ/√α) từ dữ liệu nhiễu. Chọn α ~ δ^(2/(p+1)) cho tối ưu. Tốc độ hội tụ: ||f_α - f^†|| = O(δ^(p/(p+1))). Điều kiện nguồn f^† ∈ R((A*A)^(p/2)) cần thiết.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (122 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH -----0Q00----- CHU DUC KHANH BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LY THUYET THE VỊ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1.01 LUAN AN PHO TIEN Si KHOA HOC TOAN - LY Người hướng dẫn khoa học : GIÁO SƯ TIEN SĨ DANG DINH ANG PHO TIEN SĨ NGUYEN BÍCH HUY Thành Phó Hỗ Chí Minh - 1996 - MỤC LỤC MỠ BA sassbeeennsetiiGiiiiibeii000011011000101301G1001001116310161830/1533031000186318363063)10g G36 1 CHUONG 1 : TONG QUAN VE BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYET THE VJ =. CÁC KHÁI NIEM CAN BAN CUA LY THUYET THE VI. BÀI TOÁN THAC TRIEN SO LIEU DO TRUONG DIEU HÒA. BÀI TOÁN TIM PHAN BO NGUON.
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH LO HONG BEN TRONG MOT VAT THẺ. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỄN NGUON.ccsscsssssssssssssssssssesssssesorssssesssssasssesaes 19 CHƯƠNG2 : SỰ DUY NHÁT NGHIỆM. SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CUA MOT SO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN Mục lục ii 2. SỰ DUY NHAT NGHIEM CUA MOT SO BAI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN "==- 34 CHUONG 3 CHÍNH HOA MOT SO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH.
BÀI TOÁN MOMENT TONG QUÁT TREN KHÔNG GIAN HILBERT. BÀI TOÁN THAC TRIEN SO LIEU DO TRUONG DIEU HÒA. BÀI TOÁN TIM PHAN BO NGUON.cccssssssssssesssssssessssssscsssessecssecessesseesseesscens 75 CHƯƠNG 4: CHINH HOA MOT SO BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYÊN. 80 1 BẤT TOÁN (ố:ckctccCceGGGiiCG66664211061214608255836156558658658553395658324336558338558053358655 81 ALD: BÀI TOÁN (ŒT)LkGkc<<cckcc<kCGkE116G111131823152330033503380313833823353835233323352336583523388 106 inn0/5077., 115 TAT HT U THANH La ẪŸŸÝŸŸẽẰŸŸỶẼẰEêẰŸẶẰằŸẽẰẽỶŸẰẽẴẰẰ-Ằ=.e 117 MỞ DAU Lý thuyết thế vị phát sinh từ thé ky XIX là một bộ phận của Vật Lý Toán nghiên cứu thé vị của các trường lực là trường thé chăng hạn như trường hap dẫn, điện trường.
Lý thuyết này lir lâu đã đóng một vai trò quan trọng trong cả Toán Lý thuyết lẫn ứng dụng. Nhiều bài toán cụ thé trong Vật lý Địa cầu, Điện, Điện từ, Cơ.đã được thiết lập dưới dạng các bài toán ngược trong Lý thuyết thể vị. Tuy nhiên những hải toán này thường không chỉnh theo nghĩa của J. Hadamard nghĩa là chúng có thé không có nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì có vô số nghiệm, hơn nữa khi bài toán có nghiệm duy nhất thì nghiệm này lại không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện.
Trong vài thập niên trở lại đây, các bài toán ngược và đặc biệt là các bài toán không chỉnh đã được nhiều nhà Toán học trên the giới quan tầm khảo sát một cách rộng rai. Trong bài toán không chinh, nghiệm (néu có) không phụ thuộc liên lục vào dit kiện : một nhiễu nhỏ của dữ kiện có thé đưa đến sai số rat lớn cho nghiệm, thậm chí có thé làm bài toán trở thành vô nghiệm. Vì vậy, đối với những bài toán này, ta phải tìm cách chỉnh hóa. Nghiệm chỉnh hóa là nghiệm xấp xi 6n định.
Nhiều phương pháp chỉnh hóa đã được đưa ra trong các công trình của A. tuy nhiên việc đánh giá sai số thường gặp khó khăn và chỉ được giải quyết trong từng bài toán cụ thể. Một vấn đề đặc biệt quan trọng trong những bai toán ngược không chỉnh là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài toán. Vấn dé này đóng vai Me đầu 2 trò quan trọng hơn rất nhiêu so với sự tồn tại nghiệm (thường bị vi phạm trong các bài toán không chỉnh).
Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm ngoài ý nghĩa thực tế là xét xem "Dữ kiện cho có di dé xác định nghiệm bài toán một cách duy nhất ?" mà còn nhằm xác định nghiệm chính xác riêng (trong trường hợp bài toán có vô sô nghiệm) cần được xấp xi ôn định. Trong lập luận án này, mang tên "BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYÉT THE VỊ” chúng tôi nghiên cứu một số bài toán ngược không chỉnh quan trọng trong Lý thuyết thế vị. Luận án, ngoài phần mở dau và kết luận, được chia thành 4 chương : CHƯƠNG | : TONG QUAN VE BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYET THÉ VỊ Mục đích của chương nay là từ lý thuyết hàm thé vị và các công cụ giải tích, chúng tôi thiết lập mô hình toán học cho một số bài toán ngược quan trọng trong Lý thuyết thé vị sẽ khảo sát trong các chương sau.1, chúng tôi trình bày các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị, bat nguồn từ các Định luật Vật lý (Định luật Newton, Định luật Coulomb .) đồng thời nêu lại những tính chat quan trọng của hàm the vị- Sau đó, chúng tôi trình bày sự thành lập mô hình toán học cho một số bải toán ngược trong Lý thuyết thé vị. xét bài toán thác triển số liệu đo đạc của một trưởng điều hòa va đưa đến 2 bài toán ứng với trường hợp 2 chiều và trường hợp 3 chiêu.
Me đầu 3 Tiết 1. xét bài toán tìm phân bo nguồn sinh ra | trường thé dựa vào các đo đạc trong một vùng bị chặn bên ngoài nguồn. xét bai toán xác định lỗ hông (hay vết nứt) bên trong một vật thé bằng phương pháp điện từ. xót bai toán xác định miền nguồn sinh ra | trường thể từ những đo đạc bên ngoài nguồn.
CHUGNG 2 : SỰ DUY NHÁT NGHIEM Nội dung chương nảy là khảo sát tính duy nhất nghiệm của các bài toán đã thiết lập trong chương I. Đối với nường hợp bài toán không có nghiệm duy nhất (Bài toán tìm phân bố nguồn) chúng tôi chứng minh khi bài toán có nghiệm thì trong vô số nghiệm của bài toán chỉ có duy nhất | nghiệm có chuẩn nhỏ nhất và chọn nghiệm có chuân nhỏ nhất này lam đôi lượng dé chỉnh hóa. Các bài toán khảo sát trong luận án được chia thành 2 loại : bài toán luyén lính và bài toán phi tuyến. Vì vậy chúng tôi trình bày cách xây dựng nghiệm chính hóa các bài toán này trong 2 chương : CHƯƠNG 3 : CHÍNH HÓA MỘT SO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYEN TÍNH Đối với các bài toán ngược luyén tinh (Bài toán thác trién số liệu đó đạc của | trường điều hòa và bài toán tìm phân bố nguồn), chúng tôi sử dụng công cụ Toán học là bài toán moment trong | không gian Hilbcrt vô hạn chiêu dé xây dựng nghiệm chỉnh hóa.1 trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán moment tông quát trong không gian Hilbert vô hạn chiều.
Lời giải được cho Me đầu 4 trong cả 2 trường hợp : trường hợp dữ kiện chính xác và trường hop dit kiện bị nhiễu.3 trình bày cách chuyền các bài toán ngược luyén tính nói trên về bài toán moment và áp dụng kết quả trong 3.1 để xây đựng nghiệm chỉnh hóa. CHƯƠNG 4 : CHÍNH HÓA MOT SO BÀI TOÁN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi chỉnh hóa bải toán xác định miền nguôn trong 2 trường hợp : trường hợp 2 chiều va trường hợp 3 chiều. Sử dụng Định lý của J.Cronin về môi liên quan giữa bac tôpô với số nghiệm của một phương trình phi tuyến, và dùng phương pháp xap xi không gian Banach bằng các không gian con hữu hạn chiều, chúng tôi xây dựng được nghiệm xấp xi ôn định cũng trong 2 trưởng hợp: dit kiện chính xác và di kiện không chính xác. CHƯƠNG | : TONG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYET THE VỊ Trong chương nay, chúng tôi trình bày trước hết các khái niệm căn ban của Lý thuyết the vị dua trên các định luật Vật lý, từ đó đưa đến định nghĩa và một số tính chất quan trọng của hàm the.
Chúng lôi cũng trình bày một kết quả được sử dụng thường xuyên là định lý ve tính đuy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Dựa vào các khảo sát tong quát trên, chúng lôi đi đến thiết lập một số bai toán ngược trong Lý thuyết thé vị xuất phát từ những bài toán cụ thé trong Khoa học ứng dụng. Các bài toán này được chúng tôi chuyên thành các phương trình hoặc hệ phương trình tích phân tuyến tính hoặc phi tuyến. Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm và xây dựng nghiệm chỉnh hóa của các bài toán này sẽ được trình ở những chương tiếp theo.
Các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị. Trường và hàm the. Lý thuyết trường Newton được xây dựng từ Định luật Newton phát biéu như sau : Lực lac động giữa 2 chất điểm có khối lượng mị và mp đặt lai các điểm P và P; thì tỉ lệ thuận với tích các khối lượng của chúng, và tí lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Phương của lực này là Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thể Vị 6 đường thăng P¡P;,„ chiều của lực tác động vào chất điểm mạ là chiều từ P đến P; còn chiều của lực tác động vào chat điểm m› là chiều từ P› đến P;.
Nếu gọi F là cường độ lực, r là khoảng cách giữa P; và P; thì Định luật Newton được biểu dién hỏi công thức : mmạma+ Ăn (1.1) trong đó, k là một hằng số phụ thuộc cách chọn đơn vị đo khôi lượng, chiêu đài, lực. Lưu ý rằng không chỉ Vật lý Địa cầu mà cả trong nhiều ngành Vật lý khác người ta cũng gặp những lực tác động có dạng (1.1) như trong Điện, Điện từ,. Chăng hạn, lực tác động giữa 2 điện tích mị, m› đặt lần lượt ở 2 điểm P\, P2 theo Định luật Coulomb cũng được cho hỏi công thức (1.1) trở thành : "mụn lễHN (1.2) F Xét 1 chất điểm m đặt tai P(E, nị, È). Chất điểm này sẽ sinh ra 1 lực tác động vào 1 chất điểm đặt lại Q(x,y,z) bat kỳ trong không gian theo (1.
Ta nói rằng chất điểm m sinh ra một trường lực (Newton) trong không gian và trường lực này sẽ được biểu diễn hỏi công thức : F= E (1.3) te Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết The Vị 7 với r=PQ=vJ +(( y—x n)2—+( §z—) &)? ˆ. - Nhận xét rằng (1.3) chính là cường độ của lực tác động vào chất điểm có khói lượng băng đơn vị đặt lại Q. Nếu ký hiệu F là trưởng lực Newton nói trên, và = QP thì ta có : =_ mM. c (4) Viết F =(F),F2,Ps) thì Er= m(Š = x) e Sa ne: tin [x«-#” +(y—n)" +(2- 0)" Frw= m(n=y) bi ¬ " +2 [«-#'° +(y—n)"+(z~— 07] F: = ; ms a! ¬1/2 [x-#?+~m?+¿~#ˆ] Bây giờ, xét nguồn D có phân bố mật độ p (D là một miễn bị chặn trong RỶ và giả định p là một hàm khả tích bị chan trên D) thì trường lực sinh bởi nguồn D là : Ê(x.⁄)= D ——- as b r với các thành phân là : Fi(x.
fx ~š)ˆ+(y—n)ˆ+(— 0] Luu ¥ ring F;.xae định bởi (1.8) là các hàm xác định trên toàn không gian RÌ Bây giờ, chúng ta đi đến khái niệm hàm thể vi. Với trường lực 2 Mm F=—f r như trong (1 .4), la gọi hàm số m U= = (1.9) là hàm thé vj (Newton) sinh bởi chất điểm m. Và tương tự, hàm thé sinh hỏi nguồn D có phân bó khối lượng p được định nghĩa là Utay.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án nghiên cứu bài toán ngược trong lý thuyết thế vị, khảo sát tính duy nhất nghiệm và phương pháp chỉnh hóa cho các bài toán không chỉnh.
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Năm bảo vệ: 1996.
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" thuộc chuyên ngành Toán Giải tích. Danh mục: Giải Tích.
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" có bao nhiêu trang?
Luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" có 122 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Toán giải tích" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.