Luận án tiến sĩ: Nội suy đa thức dạng Taylor và Hermite nhiều biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC CƯỜNG NỘI SUY ĐA THỨC DẠNG TAYLOR VÀ DẠNG HERMITE NHIỀU BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2025 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC CƯỜNG NỘI SUY ĐA THỨC DẠNG TAYLOR VÀ DẠNG HERMITE NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. Phùng Văn Mạnh TS. Phan Thanh Tùng HÀ NỘI – 2025 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giả tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS. Phùng Văn Mạnh và TS.

Phan Thanh Tùng; đề tài của Luận án là mới, các kết quả của Luận án hoàn toàn mới và các công trình được sử dụng trong Luận án chưa từng được công bố trước đó. Nghiên cứu sinh Lê Ngọc Cường Lời cảm ơn Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, em cũng đã hoàn thành nội dung luận án tiến sĩ “Nội suy đa thức dạng Taylor và dạng Hermite nhiều biến”. Luận án được hoàn thành không chỉ là công sức của bản thân tác giả mà còn có sự giúp đỡ, hỗ trợ tích cực của nhiều cá nhân và tập thể. Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến hai thầy hướng dẫn là PGS.

Phùng Văn Mạnh, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và TS. Phan Thanh Tùng, Khoa Toán kinh tế Trường Đại học Thương mại. Các thầy đã dành cho em nhiều thời gian, tâm sức, cho em nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho em những chi tiết nhỏ trong luận án, giúp luận án của em được hoàn thiện hơn về mặt nội dung và hình thức. Các thầy cũng đã luôn quan tâm, động viên, nhắc nhở kịp thời để em có thể hoàn thành luận án đúng tiến độ.

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, cán bộ, nhân viên Khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin cảm ơn các thầy cô Bộ môn Lý thuyết hàm và GS. Lê Mậu Hải, GS.

Nguyễn Quang Diệu, PGS. Nguyễn Xuân Hồng đã dạy dỗ, tạo ra môi trường nghiên cứu chuyên nghiệp và có nhiều góp ý cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán kinh tế, Bộ môn Kinh tế số Trường Đại học Thương mại đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công tác để em hoàn thành luận án đúng thời hạn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh/chị/em nghiên cứu sinh vì đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận án.

Do hạn chế về kiến thức, kinh nghiệm, thời gian tìm hiểu và thực hiện nên luận án chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các nhà khoa học, các thầy, cô và các bạn để em hoàn thiện luận án của mình. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 01 năm 2025 NCS. Lê Ngọc Cường Mục lục Danh mục các kí hiệu 6 Mở đầu 7 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu 17 1 Nội suy dạng Taylor và dạng Hermite trong không gian Rn 36 1.1 Đa thức dạng Taylor .1 Tiêu chuẩn chia hết cho đa thức qa (x) = |(xm − am ) + c(xj − aj )|2 .2 Xây dựng toán tử dạng Taylor .3 Một số tính chất của đa thức dạng Taylor .2 Nội suy Hermite trong Rn .1 Lược đồ nội suy Hermite chính quy .2 Một số ví dụ minh họa.

52 2 Nội suy dạng Hermite liên kết với một dạng đa thức bậc hai trong Rn 57 2.1 Xây dựng các toán tử đạo hàm riêng .1 Tiêu chuẩn chia hết cho đa thức qa (x) = ci,j (xi − ai )(xj − aj ) + (xn − an )2 .2 Một số tính chất của Bd .2 Nội suy Hermite trong Rn liên kết với các đa thức bậc hai .1 Lược đồ nội suy Hermite .2 Một số ví dụ minh họa. 68 3 Nội suy Hermite loại đầy đủ các bậc gắn với một số không gian đa thức 72 3.1 Sự triệt tiêu của đạo hàm riêng của hàm số .2 Tính chính quy của lược đồ nội suy Hermite loại đầy đủ các bậc 76 3.3 Một số tính chất của đa thức nội suy. 84 Kết luận và kiến nghị 98 Tài liệu tham khảo 102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC 5 Danh mục các kí hiệu x, a,. Các điểm trong Rn hay RN +1.

Các điểm trong Rn−1 hay RN. α Đa chỉ số trong Nn. α′ Đa chỉ số trong Nn−1. |α| Độ dài của đa chỉ số α = (α1 ,.

P(Rn ) Không gian véctơ các đa thức trong Rn với hệ số thực. Pd (Rn ) Không gian véctơ đa thức sinh bởi các đơn thức xα với |α| ≤ d. Hd (RN +1 ) Không gian véctơ sinh bởi các đơn thức bậc d trên RN +1. n+d
n Tổ hợp chập n của n + d phần tử.

V (q) Siêu phẳng sinh ra từ đa thức q. [a] Phần nguyên của a. Π lấy liên hợp hệ số của Π. BN Hình cầu đơn vị trong RN.

SN Mặt cầu đơn vị trong RN +1. SN + Nửa trên mặt cầu đơn vị trong RN +1. ∥x∥ Chuẩn Euclide của x. ∂ |α| f α ∂xα , D f Đạo hàm riêng của hàm f.

Q(D) Toán tử vi phân sinh ra từ đa thức Q. H[A; f ] Đa thức nội suy Hermite loại đầy đủ các bậc trong Rn. Tbd′ (f ) Khai triển Taylor của f tại b′ đến bậc d. Tda,qa (f ) Đa thức dạng Taylor của f tại a tương ứng với qa.

Hh [A; f ] Đa thức nội suy Hermite thuần nhất loại đầy đủ các bậc. MỞ ĐẦU Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đa thức là một trong các đối tượng đẹp đẽ nhất của toán học. Chúng có cấu trúc đơn giản nhưng có nhiều tính chất độc đáo mang tính lý thuyết và ứng dụng cao.

Đa thức là đối tượng nghiên cứu của hầu hết các lĩnh vực của toán học như Đại số, Hình học, Giải tích,. Về phương diện ứng dụng, đa thức một hay nhiều biến được dùng để tạo ra các phần tử hữu hạn (finite elements) và các splines trong tính toán gần đúng cũng như thiết kế các vật thể. Trong một số vấn đề thực tế, người ta muốn nghiên cứu các đối tượng (tức là các hàm số) nhưng chỉ biết một số hữu hạn các thông tin về chúng. Cách làm đơn giản nhất là xây dựng các hàm số khác mà các dữ liệu tương ứng của hàm số mới trùng với các dữ liệu của hàm ban đầu.

Ta gọi hàm mới là hàm nội suy và hy vọng rằng hàm số ban đầu và hàm nội suy xấp xỉ nhau. Trong Lý thuyết nội suy, hàm nội suy thường lấy là các đa thức một hay nhiều biến. Bài toán nội suy tổng quát bởi đa thức có thể được phát biểu như sau: Bài toán 1. Giả sử V là không gian định chuẩn (thực) các hàm số xác định trên một tập con Ω của Rn.

Giả sử V chứa một không gian con hữu hạn chiều P bao gồm các đa thức trong Rn. Cho trước họ các phiếm hàm F = {µk : k = 1,. , m} trên V và tập hợp gồm m số thực c1 ,. Bài toán nội suy là bài toán đi tìm đa thức P ∈ P sao cho µk (P ) = ck , ∀k = 1,.

(1) LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC 7 MỞ ĐẦU Ta sẽ gọi P là đa thức nội suy ứng với tập các điều kiện nội suy F và tập các giá trị {ck }m k=1. Bài toán 1 được gọi là chính quy nếu đa thức P tồn tại duy nhất khi cho trước tập dữ liệu {ck }m k=1. , PM là một cơ sở của không gian P với M = dim P. Ta viết M P P = αj Pj.

Khi đó đẳng thức (1) có thể viết lại thành j=1 M X αj µk (Pj ) = ck , ∀k = 1,. , m (2) j=1 Đa thức P tồn tại duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình trên, với các biến α1 ,. , αM , có duy nhất nghiệm. Do đó, điều kiện cần để Bài toán 1 chính quy là M = m, tức là số điều kiện nội suy bằng số chiều của không gian đa thức P.

Một cách tự nhiên, không gian P thường được chọn là không gian các đa thức có bậc không vượt quá d, P = Pd (Rn ), với số chiều là n+d
n. Họ các phiếm hàm F có nhiều cách lựa chọn khác nhau. Đầu tiên ta có thể lấy µk là các phiếm hàm Dirac δak với ak ∈ Ω. Khi đó, bài toán nội suy trở thành vấn đề đi tìm đa thức P ∈ Pd (Rn ) sao cho   n+d P (ak ) = ck , ∀k = 1,.

(3) n Đa thức P thỏa mãn (3) được gọi là đa thức nội suy Lagrange tại A = {ak : k = 1,. Khi tập dữ liệu {ck } được cho bởi một hàm f ∈ V , tức là ck = f (ak ) với k = 1,. , n+d
n , thì P được gọi là đa thức nội suy Lagrange của f tại A và ta viết P = L[A; f ]. Ta cũng gọi A là tập giải duy nhất đối với Pd (Rn ) hay tập giải duy nhất bậc d trong Rn.

Đa thức nội suy Lagrange một biến (ứng với n = 1) có lịch sử lâu đời và được nghiên cứu trong các công trình tiên phong của Lagrange và Newton với mục đích dùng cho tính toán gần đúng. Khác với nội suy một chiều, đa thức nội suy nhiều chiều tại tập A gồm n+d
n điểm phân biệt trong Ω chưa chắc đã tồn tại duy nhất (điều này được trình bày cụ thể hơn ở mục sau). Bài toán tự nhiên đặt ra là xây dựng các LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC 8 MỞ ĐẦU tập giải duy nhất trong Rn và tìm công thức biểu diễn của đa thức nội suy Lagrange. Vấn đề này nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và vẫn mang tính thời sự cho đến ngày nay.