Luận án tiến sĩ: Bài toán điều khiển phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian số mờ tương quan tuyến tính - Hoàng Thị Phương Thảo (ĐH Sư phạm Hà Nội)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 9.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. Nguyễn Thị Kim Sơn TS. Nguyễn Như Thắng Hà Nội - 2022 MỤC LỤC Lời cam đoan 6 Danh sách ký hiệu 8 Mở đầu 10 1 Lý do chọn đề tài. 10 2 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án.

16 3 Phương pháp nghiên cứu. 17 4 Cấu trúc và kết quả của luận án. 18 5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án. 19 1 Sơ lược về không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 20 1.1 Không gian các số mờ RF .2 Không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) .1 Không gian Rnsy F(A) .2 Không gian Rsy F(A) .3 Hàm mờ tương quan tuyến tính .1 Khái niệm và ví dụ .2 Đạo hàm của hàm mờ tương quan tuyến tính .3 Tích phân của hàm mờ tương quan tuyến tính.

32 2 Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ 36 2.1 Đạo hàm phân thứ của các hàm mờ tương quan tuyến tính .1 Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo .2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo .2 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo .1 Đặt bài toán .2 Tính giải được của bài toán .3 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo .1 Đặt bài toán .2 Tính giải được của bài toán. 53 3 Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 55 3.1 Biến đổi Laplace của các hàm mờ tương quan tuyến tính .2 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian mờ tương quan tuyến tính .3 Tính điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo .1 Công thức biểu diễn nghiệm .2 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển là duy nhất .3 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển không duy nhất. 75 4 Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 81 4.1 Đặt bài toán .2 Tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 87 4.3 Xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 92 4. 98 Kết luận và Kiến nghị 100 1 Những kết quả đã đạt được.

100 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo. 101 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án 102 5 Tài liệu tham khảo 103 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án thực sự là nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng.

Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được công bố trong các nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước khác. Hà Nội, ngày. năm 2022 Nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo 6 LỜI CẢM ƠN Luận án “Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính” được thực hiện tại Bộ môn Toán Giải tích, Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội. Lời cảm ơn đầu tiên, tác giả xin dành gửi đến PGS.

TS Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng. Thầy cô đã tận tình giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu chập chững bước vào con đường nghiên cứu khoa học. Sự chỉ dẫn tận tình, sự khích lệ về mặt tinh thần và lòng tin của thầy cô là động lực để tác giả vượt qua khó khăn hoàn thành luận án.

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Toán giải tích đã luôn chỉ dẫn, giúp đỡ và cho tác giả nhiều lời khuyên quý giá trong những ngày tháng khi còn là sinh viên đến khi làm nghiên cứu sinh như hiện tại. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ, các đồng nghiệp công tác tại trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ đã cho tác giả có cơ hội để được học tập, nghiên cứu và sáng tạo trên con đường học thuật. Tác giả xin dành cho gia đình, bạn bè những lời yêu thương vì đã luôn đồng hành trong tác giả trong những thời điểm quan trọng nhất, chia sẻ khó khăn và cho tác giả thêm niềm tin để hoàn thành luận án. 7 DANH SÁCH KÍ HIỆU Kí hiệu Nội dung Số trang FDEs Phương trình vi phân mờ 11 RF Không gian các số mờ 20 RF(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính 23 Rnsy F Không gian các số mờ không đối xứng 20 Rsy F Không gian các số mờ đối xứng trừ tập R 20 Rnsy F(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rnsy F 23 Rsy F(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rsy F 23 p I0+ q(t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] của 35 hàm thực q(t) RL p ˆ F I0+ f (t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] của 35 hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) RL p ˆ LC I0+ f (t) Tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc 40 p ∈ (0; 1] của hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) D0p+ q(t) Đạo hàm Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] của hàm thực q(t) 40 C p ˆ FD + f (t) 0 Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] của hàm 37 fˆ(t) C p ˆ LC D0+ f (t) Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0; 1] 40.

của hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) C(J, X) Họ ánh xạ liên tục đi từ J vào X với X là Rnsy sy F(A) , RF(A) 44 L1 (J, Rnsy F(A) ) Họ các toán tử khả tích từ J vào Rnsy F(A) 57 dψA (B, C) Khoảng cách giữa hai số mờ tương quan tuyến tính 23 B, C ∈ Rnsy F(A) ρ(β, γ) sup dψA (β(s), γ(s)) với β, γ ∈ Y , trong đó Y là 46 s∈I C(I, Rnsy sy F(A) ), C(I, RF(A) ) dm (β, γ) sup{sm dψA (β(s), γ(s))} β, γ ∈ Y , trong đó Y là 46 s∈I C(I, Rnsy sy F(A) ), C(I, RF(A) ) 8 9 ∥u∥A Chuẩn trong không gian Rnsy F(A) 23 dψ̂A (B, C) Khoảng cách giữa hai số mờ tương quan tuyến tính 26 B, C ∈ Rsy F(A) ∥u∥Â Chuẩn trong không gian Rsy F(A) 26 R ∞ p−1 −x Γ(p) Γ(p) = 0 x e dx với p ∈ (0; 1) 35 J Tập con của R 26 I I = [0, b] với b > 0 45 I I = [0, ∞) 79 I0 I 0 ⊆ I với 0 ∈ I 0 79 IdA Ánh xạ đồng nhất trên không gian Rsy F(A) 66 MỞ ĐẦU 1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nhiều quá trình diễn ra trong tự nhiên và kĩ thuật chứa đựng các đại lượng không chắc chắn. Chúng ta có thể kể đến như lượng nhiên liệu đầu vào của máy móc, các quá trình kĩ thuật như xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào của các máy điện tử. Do đó, khi thực hiện mô hình hóa các quá trình này, các đại lượng không chắc chắn giữ vị trí quan trọng. Một số lý thuyết không chắc chắn đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể kể đến là lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập và gần đây là lý thuyết neutrosophic.

Giải tích mờ được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh và tín hiệu, kĩ thuật y sinh. Giải tích mờ bắt đầu từ những khái niệm đầu tiên về tập mờ, được đưa ra bởi Zadeh [70] vào năm 1960. Mặc dù vậy, phải đến những năm 1970, người ta mới áp dụng lý thuyết tập mờ vào các ứng dụng trong cuộc sống. Sau hơn 60 năm phát triển, lý thuyết mờ đã giữ vị trí quan trọng trong khoa học và thực tiễn đời sống.

Các phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng vật lý và kỹ thuật, chẳng hạn như các vấn đề trong cơ học chất rắn và chất lỏng, độ nhớt, sinh học, vật lý và nhiều lĩnh vực khác. Nói chung, các tham số, biến và dữ kiện ban đầu trong một mô hình thường được coi là xác định. Tuy nhiên, trong nhiều quá trình thực tế, ở một vài trường hợp, chúng ta nhận được các dữ liệu mơ hồ, không chính xác hoặc không đầy đủ về các biến và tham số có sẵn. Điều này có thể do sai sót trong dữ liệu đo lường, quan sát hoặc thí nghiệm; áp dụng các điều kiện hoạt động khác nhau; hoặc các lỗi do bảo trì gây ra.

Để khắc phục sự không chắc chắn hoặc thiếu chính xác, người ta thường sử dụng môi trường số mờ trong các tham số, biến và trạng thái đầu tiên thay cho những dữ liệu chính xác (cố định), bằng cách chuyển phương trình trong không gian thực sang phương trình mờ. Phương trình vi phân mờ được áp dụng trong các bài toán mô hình hóa khác nhau như hàng không vũ 10 11 trụ, tài chính, sản xuất, công nghiệp, giao thông. Theo Vorobiev và Seikkala [67], thuật ngữ "phương trình vi phân mờ" lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1978. Hiện tại, có ít nhất ba phương pháp để tìm nghiệm của FDEs.

Phương pháp thứ nhất được phát triển bởi Oberguggenberger và Pittschmann [44] với ứng dụng của nguyên lý mở rộng Zadeh. Phương pháp thứ hai là giải một họ các bao hàm vi phân xuất phát từ phương trình vi phân mờ theo tập mức α với sự trợ giúp của định lý biểu diễn cho các tập mờ [13, 21]. Phương pháp thứ ba là sử dụng các loại đạo hàm mờ. Khái niệm đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H) của một hàm mờ đã được Puri và Ralescu đưa ra vào năm 1983 [49] dựa trên khái niệm hiệu Hukuhara (hiệu H).