Luận án tiến sĩ: Bài toán biên cho lớp phương trình elliptic suy biến mạnh - Phạm Thị Thúy

BỘ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Phạm Thi Thuy BÀI TOÁN BIÊN CHO MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIEN MANH LUAN AN TIEN Si TOAN HOC Thai nguyén - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Dai hoc Thai Nguyén hffp:/www.vn Tai naav!!! Ban co the xoa dona chu nav!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Phạm Thi Thuy BÀI TOÁN BIÊN CHO MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIEN MANH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. NGUYÊN MINH TRÍ Thái nguyên - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn Lời cam đoan Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.

Tac gia Phạm thị Thủy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn 1 Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS. Nguyễn Minh Trí. Thầy đã truyền cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học. Với tam lòng tri ân sâu sắc, tác giả xin bày tổ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng các anh chị em nghiên cứu sinh, cao học trong seminar Bộ môn Giải tích khoa Toán - trường Dại học Sư phạm - Dại học Thái Nguyên và Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học và trong cuộc sống. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Dại học Thái Nguyên, Ban Sau dai học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm- Dại học Thái Nguyên, các Phòng Ban chức năng, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên trong khoa, đặc biệt là tổ Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân và bạn bè đã giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận án. Tac gia Phạm thị Thủy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn 11 11 MUC LUC Trang Lời cam đOaH.

LH HH ng ng 1 LOL CAM ƠI. SĐT 1 ST 11kg xà ii Mục WUC. cececcccec ce eceececceceeececcesusuesceeeesuesescessesueseesessusaeeceeeeenneeeenees iil Một số ký hiệu trong WAN AN woe ccc ccc ccsceeeccsesseceecessceecesenseesees iv Mở đầu 1 Chương 1. Nghiệm không tầm thường của bài toán biên đối với phương trình elliptic suy biên mạnh nửa tuyên tính 16 1.1 Sự không tồn tại nghiệm không tầm thường.2 Các định lý nhúng.- 5c SE S3 E2 122111211tE112p tre 31 1.3 Sự tồn tại nghiệm yếu.4 Ví dụ mình họa.

Dáng điệu nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng của phương trình parabolic nửa tuyến tính có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh 74 2. cv HH vn ng 75 2.2 Hệ không gradient. chu 86 Kết luận và kiến nghị .--- +25: 22 S2 S22 S222 2E errerrrrerees 97 Danh mục các công trình khoa học có liên quan đến luận án 99 Tài liệu tham khảo.-- ch HT ng như, 100 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên http://www.vn Một số ký hiệu trong luận án c*(Q) (9) C(X.Y) không gian vectơ thực Ấ chiều. không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên miền ©.

không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên miền ©. eae a ` Ø 8 2 vectơ các toán tử đạo hàm V„ = (= Ley ) cap 1 theo x Ox, Orn, „ 8. vectơ các toán tử đạo hàm Vụ = (—. › ) cap 1 theo y : Øm Ons vectơ các toán tử đạo hàm V„ = (— " —) cấp 1 theo z.

M Ø3 Toan ttt Laplace theo bien x: A, = }) =. à› Ø2 Toan ttt Laplace theo bien y : A, = S> =. j=l Oy; „ Nz Ø2 Toán tử Laplace theo bién z: A, = > 2 I=1 OX] Tích vô hướng trong không gian /2(©). „gu = A„u + Ayu +|z|?9|y|?7A,u, với a,8>0,œ+ >0, a 8 „|2œ _—_ ¬ `) 28 —_ vã 2 i=l j=l dx = dxdaxq.dry,,dy = dydy2.dyn,, dz = dzidz.

không gian các ánh xạ liên tục từ X vào Y. C'(X,Y) không gian các ánh xạ khả vi Fréchet liên tục từ X vào Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn 1V AM Mo dau 1. Ly do chon dé tai Bài toán biên luôn là chủ dé nghiên cứu được nhiều chuyên gia quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong các ngành vật lý, hóa học và sinh học.

Đặc biệt là việc nghiên cứu điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán biên có chứa toán tử elliptic suy biến là khó, phức tạp. Do vậy các kết quả đạt được chiếm vị trí quan trọng trong phát triển lý thuyết toán học. Với các lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là "Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh". Mục đích của đề tài luận án 2.1 Mục đích quan trọng thứ nhất Mục đích quan trọng thứ nhất của luận án là chỉ ra được số mũ tới hạn của định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng liên kết với toán tử elliptic suy biến mạnh.

Từ kết quả đó chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến mạnh nửa tuyến tính.2 Mục đích quan trọng thứ 2 Là đưa ra được đồng nhất thức kiểu Pohozaev, từ đó chúng tôi chứng minh được sự không tồn tại nghiệm không tầm thường cho bài toán biên đối với phương trình elliptic suy biến mạnh nửa tuyến tính.3 Mục đích quan trọng thứ 3 Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm toàn cục, sự tồn tại tập hút toàn cục của bài toán biên ban đầu có chứa phương trình parabolic nửa tuyến tính có toán tử elliptic suy biến mạnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn trong hai trường hợp: số hạng phi tuyến có độ tăng nhỏ hơn độ tăng tới hạn và số hạng phi tuyến có độ tăng tuỳ ý. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là xét bài toán biên và bài toán biên giá trị ban đầu có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh Tu = Azu + Ayu+ Iz|?“|u|?2Azu, với œa,8>0,œ+ >0. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi thu thập, tổng hợp, vận dụng các kiến thức liên quan tới đề tài nghiên cứu. Luận án sử dụng các phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp biến phân, các phương pháp chứng minh trong lý thuyết của các bài toán biên suy biến phi tuyến với sự điều chỉnh phù hợp cho lớp toán tử P„„z.

Ngoài ra còn sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh cho sự tồn tại nghiệm toàn cục và tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm 6Š(£) sinh bởi phương trình parabolic với các điều kiện thích hợp trong trường hợp hệ gradient và phương pháp Galerkin trong trường hợp hệ không gradient. Tổng quan về đề tài luận án Từ buổi sơ khai của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng người ta đã quan tâm tới tính chất định tính của nghiệm của phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng, trong đó độ trơn và tính giải tích được nhiều nhà toán học quan tâm đặc biệt. Dộ trơn của nghiệm được mô tả trong các lớp toán tử elliptic. Đặc biệt là toán tử Grushin Gyu = Azu + |#|?Ê®Ayw với (z,) €QC RẺ?" Ni, Ny > 1k € Z,, trong [27| nhà toán học người Nga Grushin đã đạt được các kết quả đáng kể.

e Nếu k = 0 thì Go là elliptic trong miền ©. e Nếu k > 0 thì G, khong 1a elliptic trong mién Q C R™'**? 6 giao khác rỗng với mặt z = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Đại học Thái Nguyên hffp:/www.vn Nhà toán học Grushin đã chứng minh được nếu Œz là hàm khả vi vô hạn trong miền © thì u cũng khả vi vô hạn trong miền © và các tính chất địa phương của Œ¿ được tác giả nghiên cứu khá đầy đủ trong [27]. Như chúng ta đã biết, một trong những toán tử elliptic được nghiên cứu nhiều đó là toán tử Laplace Ou Pu Ou n Au Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, hay không tồn tại nghiệm của bài toán biên nửa tuyến tính chứa toán tử Laplace đã được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu bắt đầu từ nửa thế kỷ thứ hai mươi.

Trong công trình [35] (1965), 5. Pohozaev đã xét bài toán biên Au + ƒ(u) = 0 trong Ô, q) 1 u = 0 trén OQ, vdi 2 1A mién gidi ndi trong R"(n > 2), ƒ(u) = Au + fulPta. Kết quả đạt được trong công trình này là e Néu n = 2, 1< p< œ, thì bài toán (1) luôn có nghiệm không tầm thường. n+2 e Nếu n > 3, À =0,p> 5 và © là hình sao, thì bài toán (1) không có nghiệm dương.

2 nt 5» thi bài toán (1) có nghiệm dương. n+2 n— 2 là giá trị tới hạn để ta có định lý nhúng e Nếu n>3,À=0,1<p< n— Bai vậy khi n > 3 giá tri py = là giá trị rất đặc biệt. Giá trị 2n n„—2 Sobolev, po được gọi là số mũ Sobolev tới hạn của bài toán (1) cho lién quan py) + 1 = todn tit Laplace. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu — Dai hoc Thai Nguyén hffp:/www.vn Đến năm 1983, hai nhà toán học H.

Nirenberg [16] đã công bố kết quả tồn tại nghiệm dương của bài toán —Au = du + ur2 trong Q, (2) u = 0 trén 02, với ©) là miền bị chặn có biên trơn trong R",n > 3. Két qua khẳng định rằng e Khi ø > 4 bài toán (2) có nghiệm dương nếu 0 < À < À\, với À¡ là giá trị riêng đầu tiên của toán tử Laplace ứng với điều kiện Dirichlet.