Luận án phân loại đại số Lie giải được - Nguyễn Thị Cẩm Tú (2023)

DAI HOC QUOC GIA TP. HO CHÍ MINH TRUGNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN NGUYEN THI CAM TU PHAN LOAI CAC DAI SO LIE GIAI DUGC VOI DAI SO DAN XUAT, CAN LUY LINH THAP CHIEU VA MOT VAI BIEU DIEN CUA CHUNG LUAN AN TIEN Si TP. Hồ Chí Minh — Năm 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN THI CAM TU Classification of solvable Lie algebras having either derived algebras or nilradicals of low dimension and some representations of them Doctoral Thesis Ho Chi Minh City — Year 2023 DAI HOC QUOC GIA TP. HO CHÍ MINH TRUGNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN NGUYEN THI CAM TU PHAN LOAI CAC DAI SO LIE GIAI DUGC VỚI ĐẠI SO DAN XUẤT, CAN LŨY LINH THAP CHIEU VA MOT VAI BIEU DIEN CUA CHUNG Ngành: Dai số và Lý thuyết số Mã số ngành: 9460104 Phản biện 1: PGS.

Nguyễn Việt Hải Phan biện 2: PGS. Phan Thanh Toàn Phản biện 3: PGS. Phan Hoàng Chơn Phản biện độc lập 1: PGS. Dao Phương Bắc Phản biện độc lập 2: TS.

Nguyễn Minh Trí NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Nguyễn Viết Dong TP. Hồ Chí Minh — Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài Phân loại các đại số Lie giải được uới đại số dẫn xuất, căn lũy linh thấp chiều va một vai biểu diễn của chúng là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Lê Anh Vũ và TS.

Nguyễn Viết Đông. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Cẩm Tú LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến PGS. Lê Anh Vũ và TS.

Nguyễn Viết Dong. Quý Thay đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu về nghiên cứu khoa học, động viên và giúp đỡ tôi vượt qua những lúc khó khăn để hoàn thành được luận án này. Toi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến quý thay đã giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành các học phần trong chương trình khóa học. Xin cảm ơn Trường Dai học Khoa học Ty nhiên, Khoa Toán - Tin học, quý thầy cô tại Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu suốt thời gian qua.

Xin cảm ơn Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Toán học đã tạo điều kiện công tác thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn quý thầy cô, các anh chị và các bạn sinh hoạt cùng nhóm nghiên cứu đã có những trao đổi và góp ý hữu ích cho tôi. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận án. LỜI CAM DOAN.000000 02 ee v v T va LỜI CẢM ƠN.

Q2 xxx v TT va TRANG THONG TIN LUẬN AN. ee THESIS INFORMATION .00 00000 eee ee va DANH SÁCH BANG. TT và DANH SÁCH HÌNH VE .000000 000000084 CAC KÝ HIỆU VÀ QUY ƯỚC. 0Q Q2 Chương 1 Mở đầu 1.1 Một số khái nệm mởđầu .1 Đại số Lie và biểu diễn đại số lie.2 Nhóm Lie và quỹ đạo đối phụ hợp.2 Mở đầu về đề tài nghiên cứu.1 Lý do lựa chọn đề tài.2 Mục đích nghiên cứu.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .4 Phương pháp nghiên cứu.5 Ý nghĩa khoa học của đề tài.6 Bố cục của luậnấn.

¬— Chương 2 Tổng quan — h9 2.1 Về bài toán phân loại các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất thấp chiều .2 Về vấn đề biểu diễn các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất thấp chiều và hình học phan lá liên quan .3 Về bài toán phân loại các đại số Lie giải được có tất cả các K-quỹ đạo không tầm thường với chiều hoặc đối chiều thấp và bằng nhau 15 2.4 Về bài toán phân loại các đại số Lie giải được với căn lũy linh thấp chiều cho trước. co 17 Chương 3 Phân loại một lớp con của Lie (n, 2) 19 3.1 Các ký hiệu và kiến thức chuẩn bị.2 Phân loại một lớp con của lớp Lie(n,2). Bảng liệt kê kết quả phân loại. 30 Chương 4 Biểu diễn của lớp Lie (n,2) và các K-quỹ đạo liên quan 31 4.1 Các ký hiệu và kiến thức chuẩn bị.1 Biểu diễn và K-quy đạo .2 Phân lá và phân lá do được.

Lớp Lie(n,2) không lũy linh bac 2 .2 Các kết quả chính.1 Chan trên cho bậc tối tiểu của biểu diễn trung thành .2 Bức tranh các K-quy đạo.3 Phân lá được hình thành từ các K-quỹ đạo chiều cực đại 54 43 Kétlui€an.v2 v2 60 Chương 5_ Phân loại lớp MD,,_2(n)-dai số 61 5.1 Các ký hiệu và kiến thức chuẩn bị.2_ Phân loại lớp MD„_¿(n)-đại số.1 Bài toán một.3 Bài toán ba.3 Bảng liệt kê kết quả phân loại.- 84 Chương 6 Một lớp các đại số Lie 7-chiều với căn lũy linh 5-chiéu87 6.1 Các ký hiệu và khái nệm.2_ Phân loại các mở rộng giải được 7-chiều của (g¡)” ®© g3 và gi ®g 88 6.21 Cách thức phân lạ .2 Tính toán chỉ tiế.3 So sánh với kết quả của Wang và các cộng sự [70}.3 Bảng liệt kê kết quả phân loại.- 105 Chương 7 Kết luận 110 7.1 Những kết quả mới của luậnấn .2_ Dé xuất các nghiên cứu tiếp theo. 111 DANH MỤC CÔNG TRINH DA CÔNG BO.004 112 TAI LIEU THAM KHAO .2 113 TRANG THONG TIN LUẬN ÁN Tên dé tài luận án: Phân loại các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất, căn lũy linh thấp chiều và một vài biểu diễn của chúng Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số ngành: 9460104 Nghiên cứu sinh: Nguyễn Thị Cẩm Tú Khóa đào tạo: 28/2018 Người hướng dẫn khoa học: 1. Nguyễn Viết Dong Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học 'Pự nhiên, ĐHQG. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN Luận án tập trung nghiên cứu bài toán phân loại một số lớp đại số Lie giải được và vấn đề biểu diễn của chúng, cụ thể: — Phân loại lớp Lie (m, 2) (các đại số Lie giải được n-chiéu với đại số dẫn xuất 2-chiều) và vấn đề biểu diễn.

— Phân loại lớp MD„_a(n)-đại số (các đại số Lie giải được n-chiéu với tất cả các quỹ đạo đối phụ hợp không tầm thường đối chiều 2). — Phân loại lớp đại số Lie giải được 7-chiều với căn lũy linh ð-chiều. NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN AN Luận án dat được những kết qua mới dưới day: — Hoàn thành phân loại lớp Lie (n,2) mà số chiều của Ag bằng 1 (với G là một đại số Lie, Ag được sinh bởi các toán tử adx (VX € đ) khi han 1 chế trên đại số dẫn xuất G’, tức là Ag = span{ax := adx|ø: : X € đ}, 6 đây adx :G > G, adx(Y) = [X,Y]. — Xác định một chặn trên cho bậc nhỏ nhất của biểu diễn trung thành của các đại số Lie thuộc Lie (n,2).

Mô tả tường minh bức tranh hình học các quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie đơn liên tương ứng với các đại số Lie thuộc Lie (n,2) bất khả phan và không lũy linh bậc 2. Chứng minh được họ các quỹ đạo đối phụ hợp chiều cực đại đã mô tả, ứng với các đại số Lie chiều tổng quát n > 5, luôn lập thành phan lá đo được (theo nghĩa của Connes) và gọi là các GMD-phân Id. Phan loại tôpô và mô tả các C*-dai số Connes liên kết với các GMD-phan lá này. — Hoàn thành phân loại lớp MD,,_2(n)-dai số.

— Hoàn thành phân loại các lớp đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều lần lượt có căn lũy linh là các đại số Lie lũy linh 5-chiéu (gi)? © g3 và Gi © 0a. CAC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU Dưới đây là một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu sau luận án nay: — Tiếp tục bài toán phân loại lớp Lie (m, k). — Tiếp tục bài toán phân loại lớp MD,(n)-dai số. — Nghiên cứu về lớp GMD-phân lá tổng quát.

— Nghiên cứu và 4p dụng công cụ tính toán triangular decomposition vào các bài toán tương tự. ii THESIS INFORMATION Thesis title: Classification of solvable Lie algebras having either derived algebras or nilradicals of low dimension and some representations of them Speciality: Algebra and Number Theory Code: 9460104 PhD Student: Nguyen Thi Cam Tu Academic year: 28/2018 Supervisor: 1. Le Anh Vu 2. Nguyen Viet Dong At: VNUHCM- University of Science 1.

SUMMARY This thesis is interested in the classification of solvable Lie algebras and their representations, namely: — Classification of Lie (n,2) (n-dimensional solvable Lie algebras having 2-dimensional derived algebras) and their representations. — Classification of MD„_¿(n)-algebras (n-dimensional solvable Lie alge- bras whose non-trivial coadjoint orbits of corresponding simply con- nected Lie groups are all of codimension 2). — Classification of 7-dimensional solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals. NOVELTY OF THESIS The key results are achieved in the thesis as follow: 11 — We present a full classification of Lie(n,2) with Ag of dimension 1 (let G be a Lie algebra, Ag = span{ax == adx|gi: : X € G}, where adx :G > G, adx(Y) = [X,Y].

— We give an upper bound of the minimal degree of a faithful represen- tation of the Lie algebras in Lie (n,2). We also give a geometrical de- scription of coadjoint orbits of simply connected groups such that their Lie algebras are indecomposable in Lie (n,2) and are not 2-step nilpo- tent. We proved that, for any considered Lie group G of dimension n in general cases of n > 5, the family of all maximal dimensional coad- joint orbits forms measurable foliations (in the sense of Connes). We call them GMD-foliations.

The topological classification of all GMD- foliations is given and their Connes’ C*-algebras are described. — We present a full classification of MD„_a(n)-algebras. — We present two full classifications of 7-dimensional indecomposable solv- able Lie algebras having nilradical is (g,)?@g3 and gi ®gu, respectively. APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE Recommendations for future research: — Classification of Lie (n, k).

— Classification of MD¿z(n)-algebras. — Research into GMD-foliations. — Apply the computer algebra tool which is the so-called triangular de- composition to similar problems. iv Danh sách bảng 2.1 Đại số Lie lũy linh 5-chiều (Dixmier [9]) .1 Lớp Lie(n,2) với dm,lg=l.1 Giá trị riêng claady .1 Các MD, s(n) -dais6 V6in<5 2.2_ Các MD„_¿(n)-đại số không lũy linh bac 2vớin>6.

Các MD,,-2(n)-dai số lũy linh bậc 2 khả phân với n > 6 5.4 (n) -dai số lũy linh bac 2 bất khả phân với 6 <n < 10 Các MD,_2(n 86 6.1 So sánh với Wang cùng cộng sự [70]}.2 Đại số Lie giải được 7-chiều với căn lũy linh (gi)? © g3 6. Đại số Lie giải được 7-chiều với căn lũy linh g ©g4.