Luận án tiến sĩ: Nhóm con tựa chuẩn tắc nhóm tuyến tính vành chia
Luận án tiến sĩ nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia, tập trung vào lý thuyết nhóm và cấu trúc đại số nâng cao.
Đại số và Lý thuyết số
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
118
Thời gian đọc
18 phút
Lượt xem
2
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Nhóm Con Tựa Chuẩn Tắc Trong Nhóm Tuyến Tính
Nhóm con tựa chuẩn tắc đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm đại số. Khái niệm này mở rộng định nghĩa của nhóm con chuẩn tắc. Một nhóm con H được gọi là tựa chuẩn tắc trong nhóm G nếu H giao hoán với mọi nhóm con của G. Tính chất này yếu hơn tính chuẩn tắc nhưng mạnh hơn tính giao hoán thông thường. Trong nhóm tuyến tính tổng quát GL(n,D) trên vành chia D, việc nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc đặc biệt phức tạp. Cấu trúc nhóm đại số của GL(n,D) phụ thuộc vào cả số chiều n và tính chất của vành chia D. Khi n lớn hơn 2, nhóm tuyến tính tổng quát có cấu trúc phong phú hơn. Các nhóm con đặc biệt như nhóm con bất khả quy xuất hiện tự nhiên. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân loại và mô tả đầy đủ các nhóm con tựa chuẩn tắc. Kết quả có ứng dụng trong lý thuyết biểu diễn và đại số tuyến tính.
1.1. Định Nghĩa Nhóm Con Tựa Chuẩn Tắc
Nhóm con H của nhóm G được gọi là tựa chuẩn tắc nếu HK = KH với mọi nhóm con K của G. Điều kiện này tương đương với việc H giao hoán với mọi phần tử trong tập hợp các nhóm con. Khái niệm tựa chuẩn tắc xuất hiện đầu tiên trong công trình của Ore năm 1937. Mọi nhóm con chuẩn tắc đều là tựa chuẩn tắc. Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Trong nhóm hữu hạn, tính tựa chuẩn tắc có mối liên hệ chặt chẽ với tính siêu giải được. Đối với nhóm vô hạn, cấu trúc phức tạp hơn nhiều.
1.2. Nhóm Tuyến Tính Tổng Quát GL n D
Nhóm GL(n,D) gồm tất cả ma trận khả nghịch cấp n trên vành chia D. Phép toán nhóm là phép nhân ma trận thông thường. Khi D là trường, GL(n,D) trở thành nhóm tuyến tính cổ điển. Vành chia tổng quát cho phép nghiên cứu cấu trúc rộng hơn. Nhóm con đặc biệt của GL(n,D) bao gồm nhóm con tam giác, nhóm con đường chéo, và nhóm con đơn hình. Trung tâm của GL(n,D) là nhóm nhân của vành chia D. Khi n = 1, GL(1,D) đồng nhất với nhóm nhân D*. Trường hợp n ≥ 2 có cấu trúc phức tạp hơn đáng kể.
1.3. Vấn Đề Phân Loại Nhóm Con
Bài toán phân loại nhóm con tựa chuẩn tắc của GL(n,D) là thách thức lớn. Cần xác định điều kiện cần và đủ để nhóm con là tựa chuẩn tắc. Các công cụ chính bao gồm lý thuyết biểu diễn và đại số giao hoán. Phương pháp ma trận khối giúp phân tích cấu trúc nhóm con. Kỹ thuật đồng nhất thức đa thức áp dụng cho đại số ma trận. Kết quả phân loại phụ thuộc mạnh vào số chiều n. Trường hợp n = 2 có đặc điểm riêng biệt. Với n lớn, xuất hiện nhiều hiện tượng mới.
II. Cấu Trúc Nhóm Con Bất Khả Quy Trên Vành Chia
Nhóm con bất khả quy là khái niệm trung tâm trong nghiên cứu nhóm tuyến tính. Một nhóm con H của GL(n,D) được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại không gian con thực sự nào bất biến dưới tác động của H. Tính bất khả quy liên quan mật thiết đến lý thuyết biểu diễn. Trong vành chia D, biểu diễn bất khả quy có vai trò đặc biệt. Định lý Wedderburn-Artin mô tả cấu trúc đại số đơn. Nhóm con bất khả quy thường có tính chất tựa chuẩn tắc đặc biệt. Việc nghiên cứu chúng giúp hiểu rõ cấu trúc tổng thể của GL(n,D). Các kết quả chính dựa trên lý thuyết vành chia và đại số tuyến tính. Phương pháp chứng minh sử dụng kỹ thuật ma trận và lý thuyết module.
2.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Cơ Bản
Nhóm con H của GL(n,D) là bất khả quy khi D^n là H-module bất khả quy. Không tồn tại không gian con thực sự bất biến dưới tác động của H. Bổ đề Schur cho biết vành các ánh xạ H-tuyến tính là vành chia. Trong trường hợp giao hoán, đây là mở rộng trường. Nhóm bất khả quy hữu hạn có cấu trúc được mô tả bởi định lý Maschke. Đối với nhóm vô hạn, tính bất khả quy phức tạp hơn. Mọi biểu diễn hữu hạn chiều phân tích thành tổng trực tiếp các biểu diễn bất khả quy.
2.2. Mối Liên Hệ Với Tính Tựa Chuẩn Tắc
Nhóm con bất khả quy tựa chuẩn tắc có cấu trúc đặc biệt. Chúng giao hoán với mọi nhóm con của GL(n,D). Điều kiện này rất ràng buộc trong trường hợp bất khả quy. Kết quả chính cho thấy nhóm con như vậy thường nằm trong trung tâm. Ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt với chiều nhỏ. Khi n = 2, tồn tại các ví dụ không tầm thường. Với n ≥ 3, cấu trúc trở nên cứng nhắc hơn. Chứng minh sử dụng tính chất của đại số ma trận và vành chia.
2.3. Ứng Dụng Trong Lý Thuyết Biểu Diễn
Nghiên cứu nhóm con bất khả quy có ứng dụng quan trọng. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn sử dụng rộng rãi khái niệm này. Phân loại biểu diễn bất khả quy là bài toán cơ bản. Đối với nhóm tuyến tính, kết quả có ý nghĩa đặc biệt. Chúng giúp hiểu cấu trúc của các nhóm con đặc biệt. Ứng dụng mở rộng sang lý thuyết số và hình học đại số. Kỹ thuật từ nghiên cứu này áp dụng cho nhiều bài toán khác.
III. Nhóm Con Tự Do Trong Nhóm Tựa Chuẩn Tắc
Sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm tựa chuẩn tắc là câu hỏi quan trọng. Nhóm tự do không giao hoán có cấu trúc phong phú và phức tạp. Chúng xuất hiện tự nhiên trong nhiều bối cảnh đại số. Trong nhóm tuyến tính, nhóm con tự do liên quan đến tính không giải được. Một nhóm chứa nhóm con tự do không giao hoán không thể là nhóm giải được. Nghiên cứu điều kiện tồn tại nhóm tự do giúp phân loại nhóm con. Đối với nhóm con tựa chuẩn tắc của GL(n,D), bài toán đặc biệt thú vị. Kết quả phụ thuộc vào tính chất của vành chia D và số chiều n. Phương pháp chứng minh sử dụng kỹ thuật từ lý thuyết nhóm tổ hợp và đại số. Các điều kiện đủ và điều kiện cần được thiết lập.
3.1. Nhóm Tự Do Không Giao Hoán
Nhóm tự do trên hai phần tử sinh F_2 là nhóm không giao hoán đơn giản nhất. Mọi nhóm không giao hoán chứa nhóm con đồng cấu với F_2 hoặc không. Tiêu chuẩn Tits giúp xác định sự tồn tại của nhóm tự do. Trong nhóm tuyến tính, nhóm tự do liên quan đến ma trận khả nghịch. Hai ma trận sinh ra nhóm tự do khi thỏa điều kiện nhất định. Ping-pong lemma là công cụ chứng minh hữu hiệu. Phương pháp này áp dụng rộng rãi trong lý thuyết nhóm. Kết quả về nhóm tự do có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.
3.2. Điều Kiện Tồn Tại Trong Nhóm Tựa Chuẩn Tắc
Nhóm con tựa chuẩn tắc có thể chứa nhóm tự do không giao hoán. Điều kiện cần là nhóm con không giải được. Nếu nhóm con tựa chuẩn tắc H chứa nhóm giải được vô hạn, H có thể chứa F_2. Kết quả phụ thuộc vào cấu trúc của vành chia D. Khi D là vành chia Mal'cev-Neumann, xuất hiện nhiều trường hợp đặc biệt. Nhóm nhân D* có vai trò quan trọng. Nếu D* chứa nhóm tự do, nhiều nhóm con tựa chuẩn tắc cũng chứa nhóm tự do. Chứng minh sử dụng tính chất của vành chia các phân thức.
3.3. Ứng Dụng Và Hệ Quả
Kết quả về nhóm tự do giúp phân loại nhóm con tựa chuẩn tắc. Nhóm không chứa nhóm tự do có cấu trúc đơn giản hơn. Chúng thường là nhóm giải được hoặc gần giải được. Hệ quả quan trọng là tiêu chuẩn nhận biết tính giải được. Ứng dụng mở rộng sang lý thuyết vành chia. Nghiên cứu nhóm nhân của vành chia hưởng lợi từ kết quả này. Kỹ thuật chứng minh có thể áp dụng cho các bài toán tương tự. Mở ra hướng nghiên cứu mới về cấu trúc nhóm đại số.
IV. Vành Chia Mal cev Neumann Và Ứng Dụng
Vành chia Mal'cev-Neumann là cấu trúc đại số quan trọng. Đây là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với số mũ trong nhóm được sắp thứ tự. Cấu trúc này tổng quát hóa vành chuỗi Laurent thông thường. Cho nhóm được sắp thứ tự G và vành chia K, vành chia Mal'cev-Neumann K((G)) được xây dựng. Phần tử của K((G)) là chuỗi hình thức với tập số mũ well-ordered. Phép toán cộng và nhân định nghĩa tự nhiên. Vành này là vành chia khi G không có xoắn. Nhóm nhân của vành chia Mal'cev-Neumann có cấu trúc phong phú. Nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong GL(n,K((G))) cho kết quả sâu sắc. Tính chất của nhóm G ảnh hưởng mạnh đến cấu trúc nhóm tuyến tính.
4.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Cơ Bản
Vành chia Mal'cev-Neumann K((G)) xây dựng từ nhóm sắp thứ tự G. Mỗi phần tử là chuỗi hình thức ∑ a_g g với a_g ∈ K. Tập các g với a_g khác 0 phải well-ordered. Phép cộng định nghĩa theo từng hệ số. Phép nhân sử dụng quy tắc tích Cauchy. Khi G không có xoắn, K((G)) là vành chia. Trường hợp G = Z cho vành chuỗi Laurent K((t)). Nhóm nhân K((G))* chứa K* và G như các nhóm con. Cấu trúc này cho phép nghiên cứu nhiều hiện tượng thú vị.
4.2. Nhóm Con Tựa Chuẩn Tắc Trong GL n K G
Nhóm tuyến tính GL(n,K((G))) có cấu trúc phức tạp. Nhóm con tựa chuẩn tắc của nó phản ánh tính chất của G và K. Khi G là nhóm tự do không giao hoán, xuất hiện nhiều nhóm con tựa chuẩn tắc chứa nhóm tự do. Nếu G là nhóm Abel, cấu trúc đơn giản hơn. Kết quả phân loại phụ thuộc vào số chiều n. Với n = 1, GL(1,K((G))) = K((G))* có cấu trúc rõ ràng. Trường hợp n ≥ 2 phức tạp hơn đáng kể. Phương pháp nghiên cứu kết hợp kỹ thuật từ lý thuyết nhóm và vành chia.
4.3. Kết Quả Chính Và Ứng Dụng
Luận án thiết lập các kết quả về nhóm con tựa chuẩn tắc của GL(n,K((G))). Điều kiện cần và đủ cho tính tựa chuẩn tắc được xác định. Mối liên hệ với sự tồn tại nhóm tự do được làm rõ. Kết quả có ứng dụng trong lý thuyết vành chia. Chúng giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc nhóm nhân. Kỹ thuật phát triển áp dụng cho các vành chia khác. Mở ra hướng nghiên cứu mới về nhóm tuyến tính tổng quát. Đóng góp vào lý thuyết nhóm đại số hiện đại.
V. Phương Pháp Đồng Nhất Thức Đa Thức Trong Đại Số
Đồng nhất thức đa thức là công cụ mạnh trong nghiên cứu đại số. Một đại số thỏa đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại đa thức không giao hoán triệt tiêu trên đại số đó. Định lý Amitsur-Levitzki là ví dụ nổi tiếng: đại số ma trận M_n(K) thỏa đồng nhất thức chuẩn tắc bậc 2n. Kỹ thuật đồng nhất thức đa thức áp dụng rộng rãi trong lý thuyết vành. Chúng giúp nghiên cứu cấu trúc của đại số và vành chia. Trong bối cảnh nhóm tuyến tính, đồng nhất thức liên quan đến tính chất nhóm con. Nhóm con thỏa mãn đồng nhất thức nhất định có cấu trúc đặc biệt. Phương pháp này kết hợp với lý thuyết biểu diễn cho kết quả sâu sắc. Ứng dụng trong nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc rất hiệu quả.
5.1. Đồng Nhất Thức Đa Thức Cơ Bản
Đồng nhất thức đa thức là đa thức không giao hoán triệt tiêu trên đại số. Ví dụ đơn giản là [x,y] = xy - yx cho đại số giao hoán. Đồng nhất thức chuẩn tắc S_2n là tổng xen kẽ các hoán vị. Định lý Amitsur-Levitzki khẳng định M_n(K) thỏa S_2n. Đại số thỏa đồng nhất thức đa thức gọi là PI-algebra. Lý thuyết PI-algebra có nhiều ứng dụng quan trọng. Chúng liên quan đến tính hữu hạn chiều và tính Noether. Kết quả cơ bản là định lý Kaplansky về PI-domain.
5.2. Ứng Dụng Trong Nghiên Cứu Nhóm Tuyến Tính
Đồng nhất thức đa thức giúp nghiên cứu nhóm con của GL(n,D). Nhóm con sinh bởi các ma trận thỏa đồng nhất thức có cấu trúc đặc biệt. Kỹ thuật này áp dụng cho bài toán phân loại nhóm con tựa chuẩn tắc. Nếu nhóm con H thỏa điều kiện đồng nhất thức, cấu trúc của H bị ràng buộc. Kết hợp với lý thuyết biểu diễn cho kết quả mạnh. Phương pháp chứng minh sử dụng tính chất của đại số ma trận. Đồng nhất thức chuẩn tắc đóng vai trò đặc biệt quan trọng.
5.3. Kết Quả Và Triển Vọng
Luận án sử dụng đồng nhất thức đa thức để nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc. Kết quả cho thấy mối liên hệ giữa đồng nhất thức và cấu trúc nhóm. Nhóm con thỏa đồng nhất thức nhất định thường là tựa chuẩn tắc. Ứng dụng mở rộng sang các vành chia khác. Phương pháp có thể áp dụng cho nhiều bài toán tương tự. Hướng nghiên cứu tiếp theo là mở rộng sang nhóm đại số tổng quát. Kỹ thuật đồng nhất thức đa thức còn nhiều tiềm năng. Đóng góp vào phát triển lý thuyết vành và nhóm đại số.
VI. Đồ Thị Giao Hoán Của Nhóm Con Tựa Chuẩn Tắc
Đồ thị giao hoán là công cụ hình học trong lý thuyết nhóm. Đỉnh của đồ thị là các nhóm con tựa chuẩn tắc không tầm thường. Hai đỉnh nối bởi cạnh nếu chúng giao hoán với nhau. Cấu trúc đồ thị phản ánh tính chất đại số của nhóm. Đồ thị liên thông cho biết mức độ giao hoán giữa các nhóm con. Đường kính và bán kính đồ thị là bất biến quan trọng. Trong nhóm tuyến tính GL(n,D), đồ thị giao hoán có cấu trúc đặc biệt. Nghiên cứu đồ thị giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các nhóm con. Kết quả về tính liên thông và đường kính có ý nghĩa lý thuyết. Phương pháp kết hợp lý thuyết đồ thị và đại số trừu tượng. Ứng dụng mở rộng sang các cấu trúc đại số khác.
6.1. Định Nghĩa Đồ Thị Giao Hoán
Đồ thị giao hoán Γ(G) của nhóm G có đỉnh là nhóm con tựa chuẩn tắc. Loại trừ nhóm con tầm thường {e} và toàn nhóm G. Hai đỉnh H và K nối bởi cạnh khi HK = KH. Đồ thị này phản ánh cấu trúc nhóm con. Đồ thị đầy đủ khi mọi nhóm con tựa chuẩn tắc giao hoán với nhau. Đồ thị rời rạc khi không có cặp nào giao hoán. Tính liên thông cho biết mức độ kết nối. Đường kính là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh.
6.2. Tính Chất Đồ Thị Trong Nhóm Tuyến Tính
Đồ thị giao hoán của GL(n,D) có cấu trúc phụ thuộc n và D. Khi n = 1, GL(1,D) = D* là nhóm Abel. Đồ thị giao hoán trong trường hợp này đầy đủ. Với n ≥ 2, cấu trúc phức tạp hơn nhiều. Đồ thị có thể không liên thông trong một số trường hợp. Kết quả chính xác định điều kiện liên thông. Đường kính đồ thị được ước lượng và xác định. Bán kính liên quan đến nhóm con trung tâm.
6.3. Kết Quả Và Ý Nghĩa
Luận án thiết lập kết quả về đồ thị giao hoán của GL(n,D). Điều kiện liên thông được xác định rõ ràng. Đường kính và bán kính được tính toán trong nhiều trường hợp. Kết quả cho thấy mối liên hệ giữa cấu trúc đại số và hình học. Ứng dụng trong việc phân loại nhóm con tựa chuẩn tắc. Phương pháp mở ra hướng nghiên cứu mới. Kỹ thuật đồ thị áp dụng cho các cấu trúc đại số khác. Đóng góp vào lý thuyết tổ hợp đại số hiện đại.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (118 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộDẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUÍ DANH NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TONG QUÁT TRÊN VÀNH CHIA LUẬN ÁN TIÊN SĨ TP. Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE LE QUI DANH QUASINORMAL SUBGROUPS OF GENERAL LINEAR GROUPS OVER DIVISION RINGS Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - 2023 DAI HỌC QUOC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUÍ DANH NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM TUYỂN TÍNH TÔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHIA Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số ngành: 9460104 Phản biện 1: PGS.
Lê Anh Vũ Phản biện 2: PGS. Phan Hoàng Chơn Phản biện 3: PGS. Phan Thanh Toàn Phản biện độc lập 1: Miễn Phản biện độc lập 2: Miễn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. MAI HOÀNG BIÊN TP.
Hồ Chí Minh - 2023 LỜI CAM ĐOAN Toi xin cam đoan luận án tiến sĩ ngành Dai số và Lý thuyết số với đề tài “Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia” là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Mai Hoàng Biên. Các kết quả mà tôi cùng với các tác giả khác thực hiện được đưa vào luận án dưới sự đồng ý của tập thể nhóm nghiên cứu. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bat kỳ công trình nào khác.
Nghiên cứu sinh Lê Quí Danh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. Mai Hoàng Biên, là người thầy tận tâm đã trực tiếp hướng dẫn tôi học tập và nghiên cứu, đồng thời là người anh, người đồng nghiệp đủ nhẫn nai để lắng nghe, động viên và giúp đỡ tôi vượt qua rất nhiều khó khăn trong học tập, công việc và cuộc sống. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. Bùi Xuân Hải, người thầy đã chỉ bảo tận tình và cho những lời khuyên quý báu để giúp tôi rèn luyện các đức tính cần có trong nghiên cứu khoa học.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán-Tin học, Trường Dai hoc Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM đã tận tình giảng dạy trong suốt thời gian tôi học tập tại trường từ Dai hoc, Cao học và đến bây giờ là Nghiên cứu sinh. Đặc biệt, tôi trân trọng cảm ơn TS. Trần Ngọc Hội, thầy hướng dẫn luận văn thạc sĩ của tôi, là người tận tình hướng dẫn, kiểm tra và góp ý về trình bày giúp tôi hoàn thiện trong học tập và nghiên cứu; tôi tran trong cảm ơn TS. Trịnh Thanh Déo, là một trong những người thầy đầu tiên giúp tôi có niềm đam mê Toán học.
Toi xin cảm ơn đến bạn Huỳnh Việt Khánh và chị Vũ Mai Trang, là các thành viên của nhóm Seminar Dại số của trường Dại học Khoa học Tự nhiên, đã luôn động viên và hỗ trợ, giúp tôi vượt qua rất nhiều khó khăn trong học tập. Tôi kính gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Cơ bản và các Phòng Ban của Trường Đại học Kiến trúc TP. Hồ Chí Minh, nơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt các nhiệm vụ trong công việc lẫn học tập. Đặc biệt, tôi trân trọng cảm ơn cô Huỳnh Thị Hoàng Dung và thầy Nguyễn Anh Triết đã tạo điều kiện trong công tác và động viên trong học tập để tôi hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô của Trường Trung học Phổ thông Phước Thiền, tỉnh Đồng Nai, khoá học năm 2000-2003. Chính tấm gương của các thầy cô về sự nhiệt tình trong giảng dạy và sự quan tâm đến học sinh đã ảnh hưởng rất nhiều đến việc lựa chọn con đường học tập và làm việc của tôi. Đặc biệt, tôi trân trọng cam ơn cô Đặng Thi Chi, nguyên Phó hiệu trưởng, là người thầy đầu tiên giúp tôi nhận ra ý nghĩa của việc học tập suốt đời; tôi trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Hồng An va thay Huỳnh Minh Hậu, là những người thầy dạy Toán đầu tiên mang đến cho tôi những yêu thích ban đầu đối với Toán học. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình vì tình yêu thương và sự giúp đỡ không giới hạn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành va sâu sắc đến Ba và Mẹ của tôi, những người luôn mong mỏi tương lai của anh em chúng tôi luôn tốt đẹp. Chính sự hy sinh và những kỳ vọng của Ba và Mẹ là động lực giúp tôi có ý thức không ngừng hoc tập để tự hoàn thiện bản thân. Tôi cảm ơn người vợ đã động viên, sẻ chia và ân cần lo lắng để tôi có nhiều cơ hội học tập. MỤC LỤC Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Mục lục 4 Trang thông tin luận án ĩ Thesis information 9 Bang ky hiéu 11 Chuong 1 MG ĐẦU 13 1.1 Vấn đề nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm tuyến tính 14 1.2 Vấn đề nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán 19 1.
Van đề nghiên cứu đồ thi giao các nhóm con tựa chuẩn tắc. 25 Chương 2_ KIÊN THỨC CHUAN BỊ 31 2.1 Nhóm con tựa chuẩn tic .2 Nhóm tuyến tính trên vành cha.3 Dai số thoả mãn đồng nhất thức đathức. 38 Chương 3_ NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TONG QUAT TREN VÀNH CHIA 41 3.1 Nhóm con tựa chuẩn tắc của GLUa(D)vớin>2_.2 Nhóm con tựa chuẩn tắc của H*. Nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia Mal’cev-Neumann Chương 4 SỰ TON TẠI CUA NHÓM CON TỰ DO TRONG NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC 60 4.1 Sự tồn tại của nhóm con tự do trong nhóm con tựa chuẩn tắc của (es>) da 4.2 Su tồn tai của nhóm tự do trong nhóm con tựa chuẩn tắc chứa nhóm con giải ỞƯỢC.1 Sự tồn tại của nhóm con tự do trong vành chia các phân thức 4.2 Sự tồn tại của nhóm tự do trong nhóm con á chuẩn tắc hoặc tựa chuẩn tắc chứa nhóm con giải được.
Nhóm con tựa chuẩn tắc căn trên vành chia con thực sự.1 Trường hợp vành chia hữu hạn địa phương yếu và vành chia có tâm không đếm được.2 Trường hợp vành chia Mal’cev-Neumann. Chương 5 DO THỊ GIAO CÁC NHÓM CON TUA CHUAN TAC CUA NHÓM TUYEN TÍNH TONG QUAT TREN VANH CHIA 5.1 D6 thi giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm bat ky.2 Điều kiện cần và đủ để Fạ(GL„(Ð)) là đồ thị đầy.3 Dường kính của đồ thị Fạa(GL„(Đ)) vớin>2. Chương6 KẾT LUẬN 6.1 Tiếp tục nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia.2 Nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm nhân của đại số Tài liệu tham khảo 105 Danh mục công trình của tac giả 111 Báo cáo hội nghị 113 Chỉ mục 114 TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Nhém con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vanh chia Ngành: Dai số và Ly thuyết số Mã số ngành: 9460104 Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Quí Danh Khoá đào tạo: 2020 Người hướng dẫn khoa học: PGS. Mai Hoàng Biên Co sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tu nhiên, DHQG-HCM 1.
TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN Chúng tôi nghiên cứu các tính chất của nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D) bậc n > 1 trên vành chia D, gồm ba nội dung chính: nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc trong GL,(D); nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,,(D); mô tả đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Tạ(GL„(D)). NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN Cho D là vành chia với tâm F và n là số nguyên dương. Sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc trong GL,,(D): (1) Nếu G = H*' hoặc G = GL,(D) vdi n > 9 thà mọi nhớm con tựa chuẩn tắc của G đều chuẩn tắc. (2) Ton tại vanh chia sao cho nhóm nhân của nó có nhóm con tựa chuẩn tắc 7 nhưng không á chuẩn tắc.
Sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc trong GL„(D): (1) Cho N là nhém cơn tựa chuẩn tắc của D*. Nếu N chứa nhớm con giải được không giao hoán thà N chúa nhóm con tự do không giao hoán. (2) Cho N là nhóm con tựa chuẩn tắc của D*. Giả sử D thoả mãn một trong các điều kiện: (i) D là uành chia hữu han địa phương yếu, (ii) Tam F của D không đếm được, (ii) D là vanh chia Mal’cev-Neumann.
Nếu N căn trên vanh chia con thực sự của D thà N C F. Đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Tạ(GL„(0)) (1) Với G là nhóm không đơn bat kỳ, đường kính của đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Tq(G) của G là 0, 1, 2 hoặc oo. CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIÊN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU e Tiếp tục nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia. e Nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn cho nhóm nhân của các đại số khác, chang hạn đại số nhóm.
THESIS INFORMATION Thesis title: Quasinormal subgroups of general linear groups over division rings Speciality: Algebra and Number theory Code: 9460104 Name of PhD Student: Lé Qui Danh Academic year: 2020 Supervisor: Assoc. Mai Hoang Bién At: VNUHCM - University of Science 1. SUMMARY We study properties of quasinormal subgroups of the general linear group GL, (D) of degree n > 1 over a division ring D. Namely, three main problems have been considered: the existence of non-subnormal quasinormal subgroups of GLa(D), the existence of non-abelian free subgroups in quasinormal subgroups of GL,(D), and describing the intersection graphs of quasinormal subgroups Pq(GLn(D)).
NOVELTY OF THESIS Let D be a division ring with center F and n be a positive integer. The existence of non-subnormal quasinormal subgroups of GL„(D) (1) If either G = H* or G = GL,(D) where n > 2, then every quasinormal subgroup of G is normal. (2) There exists a division ring whose multiplicative group has non-subnormal quasinormal subgroups. The existence of non-abelian free subgroups in quasinormal sub- groups of GL,,(D) (1) If N contains a non-abelian solvable subgroup, then N contains a non-abelian free subgroup.
(2) Let N be a quasinormal subgroup of D*. Assume that D satisfies one of the following conditions: (i) D is a weakly locally finite division ring; (it) the center F of D is uncountable; (iti) D is a Mal’cev-Neumann division ring. If N is radical over a proper division subring, then N C F. The intersection graphs of quasinormal subgroups Tạ(GL„(D)) (1) Let G be an arbitrary non-simple group.
The diameter of the intersection graph of quasinormal subgroups Tq(G) of G is 0, 1, 2, or co. APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE e We will continue studying quasinormal subgroups in division rings.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia, tập trung vào lý thuyết nhóm và cấu trúc đại số nâng cao.
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại đại học khoa học tự nhiên, đại học quốc gia tp. hcm. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Danh mục: Đại Số.
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" có bao nhiêu trang?
Luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" có 118 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính trên vành chia" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.