Luận án tiến sĩ: Tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia

DẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ MAI TRANG TÍNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH HỮU HAN CHIEU TRONG VÀNH CHIA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TP. Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE VU MAI TRANG ALGEBRAICITY AND FINITE - DIMENSIONALITY IN DIVISION RINGS Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - 2023 DẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ MAI TRANG TÍNH ĐẠI SỐ VA TÍNH HỮU HAN CHIEU TRONG VÀNH CHIA Ngành: Đại số và lý thuyết số M ã số ngành: 9460104 hắn biện 1: PGS.

TRƯƠNG CÔNG QUỲNH DvUd hản biện 2: PGS. LÊ ANH VŨ han biện 3: PGS. PHAN THANH TOAN han biện độc lập 1: PGS. PHAN HOANG CHON han bién doc lap 2: PGS.

LE CONG TRINH Người hướng dẫn khoa hoc: PGS. MAI HOANG BIEN TP. H6 Chi Minh - 2023 Lời cam đoan Toi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài Tính đại số va tính hữu hạn chiều trong vanh chia, là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Mai Hoàng Biên.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Vũ Mai Trang Lời cảm ơn Trước hết, xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy hướng dẫn của tôi, PGS. Mai Hoàng Biên - người đã tận tâm dẫn dắt, giúp đỡ tôi từ những ngày đầu nhiều gian nan quay trở lại con đường nghiên cứu Toán học. Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn to lớn đến GS.

Bùi Xuân Hải, người thầy dù không đứng tên hướng dẫn trên văn bản nhưng vẫn luôn thầm lặng hỗ trợ và chỉ dẫn bất cứ khi nào tôi cần, trao cho tôi lời khuyên và sự khích lệ quý báu khi tỉnh thần tôi nao núng, lung lạc. Xin cảm ơn những người bạn, những cộng sự trong nhóm Seminar Đại số trường Dai học Khoa học tự nhiên, đặc biệt là hai người ban thân thiết Lê Qui Danh và Huỳnh Việt Khánh. Những niềm vui chung có, những khó khăn cùng trải với nhau đã giúp mỗi chúng ta thêm gắn bó và trưởng thành. Cảm ơn chồng và các con tôi, dù chịu nhiều thiệt thòi khi tôi dành quá nhiều thời gian cho nghiên cứu, vẫn trao cho tôi tình yêu lớn lao và khiến cuộc sống tôi trở nên đẹp dé và ý nghĩa.

Cảm ơn mẹ và em gái đã luôn ở bên tôi, chia sẻ những vui buồn, bù đắp những thiếu sót khi tôi chưa chăm lo cho gia đình được trọn vẹn. Và cuối cùng, lời cảm ơn đặc biệt nhất xin gửi đến ba tôi - người luôn luôn đồng hành với tôi trong mọi trăn trở, vui buồn của cuộc sống. Bao nhiêu ngôn từ cũng không đủ để nói về tình yêu thương và sự hy sinh ba đã dành cho con, chỉ có thể nói rằng những ước mơ trong đời của con sẽ không thể trở nên trọn vẹn nếu không có ba ở bên, là chỗ dựa vững chắc để con bước lên phía trước. b2 Mục lục Lời cam đoan| 1 Lời cảm on) 2 TRANG THONG TIN LUẬN AN 5 ITHESIS INFORMATION) 7 Bang ký hiệu 9 Chương 1 Tổng quan 11 và một sô van đề liên quan! 3_ Giao hoán tử đại số trong [rường con tối đại sinh bởi các giao hoán tử|.

30 Giao hoán tử đai số bậc bị chăn trên tâm|. Chương 5_ Vành chia đại số địa phương bậc bị chặn| 57 Chương 6 Kết luận| 61 Tai liệu tham khảo| 64 Danh mục công trình của tác giả 68 Chỉ mục 69 TRANG THONG TIN LUẬN AN Tên đề tai luận án: Tính đại số và tính hữu han chiều trong vành chia Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số ngành: 9460104 Họ tên nghiên cứu sinh: Vũ Mai Trang Khóa đào tạo: 2019 Người hướng dẫn khoa học: PGS. Mai Hoàng Biên Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG. TÓM TAT NỘI DUNG LUẬN ÁN Luận án nghiên cứu tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia.

Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu tác động của tính đại số trên tâm và tính đại số một phía trên một vành chia con của một nhóm con nào đó lên cấu trúc toàn bộ vành chia, qua đó đánh giá số chiều trên tâm của vành chia trong một số trường hợp cụ thể. NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN AN Chúng tôi liệt kê ra đây một số kết qua tiêu biểu: a. Kết quả liên quan đến tinh đại số của các giao hoán tử: Cho D là một vanh chia với tâm là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không nam trong tam của D*. Nếu tất cả các giao hoán tử nhân aba~!b~!, trong đó a€Nuàbc D*, đều đại số bậc bị chặn bởi d trên F thi [D : F] < dỀ.

Tương tự, nếu tất cả các giao hoán tử cộng ac — ca, trong đó a€ N vac € D, đều đại số bậc bi chặn bởi d trên F thà [D : F] < d?. Kết quả liên quan đến tính đại số của nhóm con chuẩn tắc và á chuẩn tắc: (1) Cho D là một vanh chia tới tam là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không nam trong tâm của D*. Nếu N đại số bậc bị chặn bởi d trên F thà [D : F] < ad’. (2) Cho D là một vanh chia uới tâm F không đếm được va K là mot vanh chia con của D chúa F.

Giả sử N là một nhớm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*. Khi đó, N đại số trái (t.u, phải) trên K nếu va chỉ nếu D đại số trái (t. (3) Cho D là một vanh chia uới tam là F va K là một trường con của D. Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*.

Nếu N dai số trái (hoặc phải) bậc bị chặn bởi d trên K th [D: F] < ®. Kết quả liên quan đến lớp vành chia đại số địa phương: Nếu D là một vanh chia dai số địa phương bậc b‡ chặn bởi d thi D là uành chia hữu han tâm uới số chiều không uượt quá d?. CAC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DUNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU - Nếu một vành chia dai số trái trên một trường con thi nó có đại số phải trên trường con ấy? - Khi nào một vành chia đại số trên tâm là hữu hạn địa phương yếu? THESIS INFORMATION Thesis title:: Algebraicity and finite-dimensionality in division rings Speciality: Algebra and Number theory Code: 9460104 Name of PhD Student: Vu Mai Trang Academic year: 2019 Supervisor: Assoc. Mai Hoang Bien At: VNUHCM- University of Science 1.

SUMMARY This thesis is written with the intention of providing a study of algebraicity and finite-dimensionality in division rings. Our attention focuses on the influence of the algebraicity over the center and the one-sided algebraicity over a division subring of certain subgroups on the structure of whole the division ring, thereby evaluating the dimension of the division ring over its center in some specific cases. NOVELTY OF THESIS Some main results of the thesis: a. The results relating to algebraicity of commutators: Let D be a division ring with center F.

Assume that N is a noncentral subnormal subgroup of D*. If all multiplicative commutators aba~'b-!, where a € N and b € D*, are algebraic over F of bounded degree d, then [D : F] < d?. Also, if all additive commutators ac — ca, wherea € N and c € D, algebraic over F' of bounded degree d, then [D: F] < @. The results relating to the algebraicity of normal and subnormal subgroups: (1) Let D be a division ring with center F.

Assume that N is a noncentral subnormal subgroup of D*. If N is algebraic of bounded degree d over F, then[D: F] <. (2) Let D be a division ring with uncountable center F, K a division subring of D containing F', and N a normal subgroup of D*. If N is noncentral then N is left (or right) algebraic over K if and only if so is D.

(3) Let D be a division ring with center F, and K a subfield of D. Asume that N is a noncentral normal subgroup of D*. If N is left (or right) algebraic of bounded degree d over K, then [D: F] < d?. The result relating to the class of locally algebraic division rings: Let D be a division ring.

If D is locally algebraic of bounded degree d, then D is centrally finite with its dimension not greater than d?. APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE - If a division ring is left algebraic over a subfield, must it also be right algebraic over that subfield? - Under what circumstances does an algebraic division ring be weakly locally finite? Bảng ký hiệu Xuyên suốt luận án, bên cạnh các ký hiệu quen thuộc Ñ, Z, Q, R, C lần lượt để chỉ tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số thực và tập hợp các số phức; ta luôn sử dụng các ký hiệu R để chỉ một vành có đơn vị, F để chỉ một trường, D để chỉ một vành chia và S để chỉ một tập hợp con của D. Ngoài ra, ta cũng có bảng quy ước như sau: e H - vành chia các quaternion thực e Z(R) - tâm của vành R e D* = D\ {0} - nhóm nhân của vành chia D e charD - đặc trưng của D e D?' - nhóm con giao hoán tử của D* e 2” - nhóm con giao hoán tử bậc n của D* e [D: F| - số chiều của D trên F e [R: K], - số chiều trái của R trên K e [R: K], - số chiều phải của R trên K e [5S] - vành con của D sinh bởi S e (5) - vành chia con của D sinh bởi $ e Ƒ{S] - vành con của D sinh bởi FUS e F(S) - vành chia con của D sinh bởi FUS e M,(D) - vành các ma trận vuông bậc ø trên D e GL„(D) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên D e End(Rx) - vành các tự đồng cấu của không gian vector phải # trên K e End(x R) - vành các tự đồng cấu của không gian vector trái R trên K e A~B- ma trận A đồng dạng với ma trận B e Cy - ma trận bằng hữu Frobenius của đa thức ƒ e /(u) - chiều dài của từ w. 10 Chương 1 Tổng quan Mục đích của chương này là trình bày tổng quan về hướng nghiên cứu của luận án, con đường dẫn tới những suy nghĩ và cảm hứng cho việc nghiên cứu.