Luận án tiến sĩ: Nhóm con của nhóm tuyến tính đầy đủ - Nguyễn Hữu Trí Nhật

DAI HỌC QUỐC GIA TP. HO CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYÊN HỮU TRÍ NHẬT NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH ĐÂY ĐỦ CHUA NHÓM CON SƠ CAP TREN VÀNH MỞ RỘNG CÓ HẠNG HỮU HAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh — 2023 DAI HỌC QUỐC GIA TP. HO CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYÊN HỮU TRÍ NHẬT NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH ĐÂY ĐỦ CHUA NHÓM CON SƠ CAP TREN VÀNH MỞ RỘNG CÓ HẠNG HỮU HẠN Ngành: Dai số và Lý thuyết số Mã số: 62460104 Phan biện 1: PGS. Lê Anh Vũ Phan biện 2: PGS.

Phan Hoàng Chon Phan biện 3: PGS. Trương Công Quynh Phản biện độc lập 1: GS. Nguyễn Sum Phản biện độc lập 2: PGS. Lê Anh Vũ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.

Trần Ngọc Hội GS. Bùi Xuân Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng đây là luận án do tôi viết. Các kết quả mà tôi viết chung với các tác giả khác đều được sự đồng thuận để đưa vào luận án này. Các kết quả này là trung thực, đều đã được đăng trên các tạp chí khoa học quốc tế và chưa được đưa vào một luận án bất kỳ nào khác.

Tác giả Nguyễn Hữu Trí Nhật Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Ngọc Hội va GS. Bùi Xuân Hải. Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến hai Thay, đã luôn động viên, giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu và viết luận án.

Đặc biệt, tôi xin được tỏ lòng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới Thầy Trần Ngọc Hội. Thầy đã tận tâm dẫn dắt trên suốt con đường học toán, làm toán cũng như Thầy đã hướng dẫn tôi làm nghiên cứu sinh và hoàn thành luận ấn này. Toi xin được gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Viết Đông đã dạy dé tôi từ lúc là sinh viên đến hiện tại.

Thầy cũng luôn động viên để tôi hoàn thành luận án. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Giáo Su N. Vavilov và Giáo sư A. Stepanov đã có những góp ý cũng như những đề xuất để tôi hoàn thành luận án này.

Toi xin được gửi lời cam ơn đến Khoa Toán - Tin học và Phòng Dao tạo Sau đại học, Trường Dai học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM về sự ho trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng tôi xin cảm các thay, cô trong Bộ môn Đại số, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện để tôi có thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án Tiến sĩ này. Nguyễn Hữu Trí Nhật ii Mục lục Bảng ký hiệu 1 TONG QUAN 3 1 Kiến thức mở đầu 7 1.1 Khái niệm và ký hiệu cơbản.2 Nhóm tuyến tính so cap .3 Nhóm trực giao.5 Biễu diễn chính qui.

cv2 12 2 Chuẩn hóa tử của nhóm cổ điển 14 2.1 Chuẩn hóa tử của nhóm tuyến tính sơ cấp.2 Chuẩn hóa tử của nhóm tuyến tính đặc biệt.3 Chuẩn hóa tử của nhóm trực giao.4 Chuẩn hóa tử của nhóm symplectie. 27 3 Nhóm con của nhóm tuyến tính day đủ chứa nhóm sơ cấp trên mở rộng vành có hạng hữu hạn 31 3.1 Sự phân tích của các phép co so cap 2.2 Phép co sơ cấp trong các nhóm con chứa f(n,S).3 Mô ta dan các nhóm con chứa E(n,S) 2. Q Q Q 37 11 Kết quả của luận án 46 Ket luận và dé xuât của luận án 49 Danh mục các công trình của tác giả 50 Báo cáo tại các Hội nghị Khoa học và Seminar 51 Tài liệu tham khảo 52 1V Bảng ký hiệu ký hiệu Ý nghĩa Trang U(R) Nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành #7 Hx K Tích nửa trực tiếp của H bởi K ĩ No(#) Chuẩn hóa tử của nhóm con H trong G ĩ e,E Ma trận đơn vị 8,13 diag(a1,.-,@n) Ma trận đường chéo 20 sdiag(a1,.,@n) Ma trận đường chéo phụ 11 G¡j; Bij Đơn vị ma trận 8,13 tii (€), Tij(€) Phép co sd cap 8,13 Ti (6) Phép co trực giao sơ cap 10 Ti; (€) Phép co symplectic so cap 12 Ey(M) Nhóm tuyến tính sơ cấp 8 GL(n, R) Nhóm tuyến tính day đủ ĩ SL(n, R) Nhóm tuyến tính đặc biệt 8 D(n, R) Nhóm ma trận đường chéo 3 E(n, R) Nhóm sơ cấp 9 E(n, R, A) Nhóm con sơ cấp mức A 9 GL(n, R, A) Nhóm con tương dang chính mức A 9 EO(n, R) Nhóm trực giao sơ cấp 10 O(n, R) Nhóm trực giao 10 GO(n, R) Nhóm trực giao tổng quát 10 Ep(n, R) Nhóm symplectic sơ cấp 11 Spín, R) Nhóm symplectic 11 GSp(n, R) Nhóm symplectic tổng quát 11 Ký hiệu Ý nghĩa Trang M* Modun đối ngẫu của modun M 8 PA Dong cau rit gon modulo A 9 Aut(S/R) Nhóm các tự đẳng cấu vành của 9 đồng nhất trên R 14 Endp(M) Nhóm các tự đồng cấu R-méddun 14 Autr(M) Nhom các tự đẳng cấu R-médun 9 TONG QUAN Bài toán mô ta dan các nhóm con của một nhóm đóng một vai trò quan trong trong lý thuyết nhóm cổ điển. Cho G là một nhóm, ký hiệu L(G) là dàn tất cả các nhóm con của G.

Với Go là một nhóm con của G, tập hợp tất cả những nhóm con H của G thỏa Go < H < G là một dàn và được gọi là dàn các nhóm con trung gian giữa Gp và G, được ký hiệu là (Go, G). Mỗi nhóm con A như vậy được gọi là một nhóm con trung gian giữa Gp và G. Trong trường hợp Go là một nhóm con chuẩn tắc của G, từ định lý về sự đẳng cấu, ta có mô tả đơn giản sau đây của dan L(Go, G). Nếu Go chuẩn tắc trong G thi dan L(Go,G) dang cấu uới din các nhóm con của G/Go.

Nói cách khác, có một tương ứng 1-1 giữa các nhóm con trung gian giữa Go va G va các nhóm con của nhóm thương G/Go. Cách mô ta dàn L(Go,G) trong trường hợp tổng quát được nhiều nhà toán học quan tâm là xây dựng họ 4M = {Ga, Na}aer gồm những nhóm con trung gian Gy va Ng giữa Go và G thỏa các tính chất sau: (i) Go chuẩn tắc trong No. (ii) Với mỗi nhóm con H € L(Go,G) tồn tại duy nhất một chỉ số a € 7 sao cho G„< H< Nụ. Khi đó, dan L(Go,G) sẽ được mô tả thông qua dang thức @ L(Go,G) = J L(Na/Ga), ael trong đó @ để chỉ phép hợp rời nhau.

Trong phạm vi của luận án, chúng tôi quan tâm đến trường hợp G là nhóm tuyến tính đầy đủ. Sau đây là một số kết quả có liên quan đến chủ đề trên. Trường hợp G = GL(n, R) và Go = D(n, R) là nhóm các ma trận đường chéo khả nghịch. Borevich đã mô tả dàn L(D(n, R),GL(n, R)) trong trường hợp # là một trường chứa ít nhất 7 phần tử, tác giả đã chỉ ra rằng 3 Cho R là một trường chứa ít nhất 7 phan tử.

Khi đó, uới mỗi nhóm con H của GL(n,R) chúa D(n, R), tồn tại duy nhất một D-lưới ø sao cho E(ø) < H < Nữ), trong đó N(ø) là chuẩn hóa tử của E(ø) trong GL(n, R). Sau đó, kết quả trên được mở rộng trong [7] vào năm 1978 bởi Z. Vavilov cho trường hợp FR là vành nửa địa phương. Trường hợp G = GL(n, R) va Go = E(n, R) là nhóm sơ cấp.

Năm 1973, Wilson [10] và Golubchik [11] đã giải bài toán với R là một vành giao hoán. Cho R là một vanh giao hoán va n > 3. Khi đó, uới mỗi nhóm cơn H của GL(n, R) được chuẩn hóa bởi E(n, R), tồn tại duy nhất một idéan I của R sao cho E(n,R,I) < H < Cận, R, 1). Vasertein [30] giải bài toán trong trường hợp tổng quát.

Cho A là một uành kết hợp uới tâm là R. Giả sử rằng uới mọi idéan tối đại M cua R, ton tại một tập đóng nhân S C R\ M sao cho sr(S~!A) <n — 1. Khi đó, uới mỗi nhóm con H < GL(n, A) chuẩn hóa bởi E(n, R), tồn tại duy nhất một idéan I của R sao cho E(n, R,I) < H < Cín, R,]). Trường hợp G = GL(n, R) và Go là nhóm symplectic sơ cấp Ep(n, R).

Petrov [25] đã giải quyết bài toán cho # là vành giao hoán. Cho R là uành giao hoán. Giả sử rằng hoặc l > 3 hoặc khil = 2,R không có trường thing dư gồm hai phần tủ. Khi đó, uới mỗi nhóm con H của GL(21, R) chứa nhóm con symplectic sơ cấp Ep(2l, R), tồn tại duy nhất một idéan I của R sao cho Kết quả tương tự cũng được các tác giả chứng minh trong [26] cho Go là nhóm trực giao sơ cấp EO(n, R).

Cho R là uành giao hoán. Giả sử rằng 2€ U(R) van > 7. Khi đó, uới mỗi nhớm con H của GL(n, R) chúa nhóm trực giao sơ cấp EO(n, R), ton tại duy nhất một idéan I của R sao cho 4 Bây giờ, cho R là một vành giao hoán có đơn vi và S là một mở rộng vành giao hoán của R sao cho Š là #-môđun ty do có hạng m. Ta nói S là một mở rộng vanh giao hoán có hạng m của R., œm là một cơ sở của S/R.

Với mỗi a € S và 1 <j <m, tồn tại r;,.,m; € R sao cho Aa; = T1701 + --- + Tmjdm, và ta đặt [a] = (rij) € M(m, R) hay [a] là ma trận biểu diễn trong cơ sở ai,., đ„ của đồng cấu Lạ € Endp(S), La(y) = œ+ với + € 8. Vì Ù¿+¿ = Lo + bạ; nên [a+ 8] = [œ]+ [6| và Log = L„b;¿ nên [af] = [al[ö] với mọi a,8 € S và do đó ánh xạ a r> [a] là một đơn cấu vành từ S vào M(m,R). Do đó, ta có thé xem # là vành con của M(m, R). Bài toán mô tả dàn các nhóm con trung gian L(Go,G), trong đó Gp < GL(n,S) va G = GL(mn, R) đang được nhiều nhà toán hoc quan tâm.

Lưu ý rằng, những trường hợp đã nói ở trên có thể được xem là các trường hợp đặc biệt của bài toán này cho vành giao hoán. Chú ý rằng, đây là bài toán khá tổng quát, những kết quả nghiên cứu được công bố còn chưa nhiều, chúng tôi xin nêu một kết quả tiêu biểu của ShangZhi Li trong [19] năm 1989 về bài toán này. Cho R,S là các vanh chia, R C S, va dưnnS = m. Khi đó, uới mỗi nhóm con H của GL(nm, R) chứa SL(n, S), tồn tại duy nhất một vanh chia con E,RCECS,dimgS = d sao cho SL(nd, E) < H < Netmn,n)(SL(nd, E)).