Luận án tiến sĩ: Nhóm con của nhóm tuyến tính đầy đủ - Nguyễn Hữu Trí Nhật

Nhóm tuyến tính sơ cấp E(n,R) được sinh bởi các phép co sơ cấp tij(ε) với i≠j và ε∈R. Phép co sơ cấp là ma trận đơn vị cộng với εeij. Nhóm sơ cấp là nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n,R). Cấu trúc này đóng vai trò nền tảng trong nghiên cứu nhóm tuyến tính. Nhóm con sơ cấp mức A, ký hiệu E(n,R,A), được định nghĩa với ideal A của R.

Nhóm con trung gian H thỏa E(n,R) ≤ H ≤ GL(n,R) tạo thành dàn L(E(n,R), GL(n,R)). Bài toán mô tả dàn này là trung tâm của luận án. Khi nhóm con chuẩn tắc, dàn đẳng cấu với các nhóm con của nhóm thương. Trường hợp tổng quát phức tạp hơn, cần xây dựng họ các nhóm con đặc trưng. Nghiên cứu sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa tử và nhóm con bất biến.

Vành S là mở rộng của vành R với hạng hữu hạn như R-môđun. Điều kiện hạng hữu hạn đảm bảo cấu trúc khả kiểm soát. Luận án nghiên cứu nhóm E(n,S) trên vành mở rộng này. Kết quả áp dụng cho nhiều lớp vành quan trọng. Phương pháp sử dụng biểu diễn chính qui và lý thuyết môđun.

Chuẩn hóa tử N_GL(E(n,R)) bao gồm các ma trận g thỏa gE(n,R)g^(-1) = E(n,R). Cấu trúc chuẩn hóa tử liên quan đến nhóm tự đẳng cấu vành. Kết quả mô tả dưới dạng tích nửa trực tiếp. Định lý chính xác định chuẩn hóa tử qua nhóm tự đồng cấu môđun. Ứng dụng vào bài toán phân loại nhóm con.

Nhóm trực giao O(n,R) bảo toàn dạng song tuyến tính đối xứng. Nhóm trực giao sơ cấp EO(n,R) sinh bởi phép co trực giao sơ cấp. Chuẩn hóa tử của EO(n,R) trong GO(n,R) được xác định. Kết quả sử dụng lý thuyết dạng toàn phương. Phương pháp mở rộng cho nhóm trực giao tổng quát.

Nhóm symplectic Sp(n,R) bảo toàn dạng song tuyến tính phản xứng. Nhóm symplectic sơ cấp ESp(n,R) có cấu trúc tương tự nhóm tuyến tính sơ cấp. Chuẩn hóa tử được mô tả qua nhóm symplectic tổng quát GSp(n,R). Kết quả áp dụng cho vành giao hoán và không giao hoán. Kỹ thuật sử dụng ma trận đường chéo phụ.

Vành S có hạng hữu hạn n như R-môđun, tồn tại cơ sở {s₁,...,sₙ}. Mỗi phần tử s∈S biểu diễn duy nhất qua cơ sở này. Phép co tij(s) phân tích thành tổ hợp phép co trên R. Biểu diễn chính qui cho đồng cấu S → End_R(S). Kỹ thuật này chuyển bài toán về trường hợp vành cơ sở.

Nhóm E(n,S) có chuỗi hợp thành liên quan đến E(n,R). Chuỗi dẫn xuất và chuỗi trung tâm hạ của E(n,S) được nghiên cứu. Nhóm con giao hoán tử [E(n,S), E(n,S)] có cấu trúc đặc biệt. Tính chất nilpotent và giải được được xét. Kết quả áp dụng cho nhóm p-sơ cấp.

Nhóm con đặc trưng bất biến qua mọi tự đẳng cấu. Nhóm con bất biến dưới tác động của nhóm lớn hơn. Luận án xác định các nhóm con đặc trưng của E(n,S). Họ các nhóm con này tạo khung cho việc mô tả dàn. Phương pháp sử dụng lý thuyết nhóm con Sylow.

Định lý sandwich mô tả nhóm con H với E(n,S) ≤ H ≤ GL(n,S). Tồn tại ideal A của R sao cho E(n,S,A) ⊆ H. Nhóm H nằm trong tích nửa trực tiếp của E(n,S) và chuẩn hóa tử. Cấu trúc này cho phép phân loại hoàn toàn. Kết quả áp dụng cho vành giao hoán và không giao hoán.

Nhóm con chuẩn tắc của GL(n,S)/E(n,S) tương ứng với nhóm con trung gian. Tương ứng này là song ánh trong nhiều trường hợp. Điều kiện đủ cho tính chuẩn tắc được xác định. Ứng dụng vào lý thuyết K-đại số. Kết quả liên quan đến nhóm Steinberg.

Khi R là trường, kết quả trở về định lý cổ điển. Trường hợp vành địa phương cho mô tả đơn giản. Vành Dedekind có tính chất đặc biệt về nhóm con. Ứng dụng cho vành đa thức và vành chuỗi lũy thừa. Kết quả mở rộng sang nhóm Chevalley tổng quát.

Biểu diễn chính qui nhúng S vào End_R(S). Ma trận trong GL(n,S) trở thành ma trận khối cấp n×n. Mỗi khối là ma trận cấp m×m trên R với m=rank_R(S). Phép co sơ cấp biểu diễn qua ma trận khối đặc biệt. Kỹ thuật này đơn giản hóa nhiều chứng minh.

Nhóm Aut(S/R) gồm tự đẳng cấu vành đồng nhất trên R. Tác động của Aut(S/R) lên GL(n,S) qua liên hợp. Chuẩn hóa tử liên quan mật thiết đến Aut(S/R). Kết quả sử dụng lý thuyết Galois mở rộng. Ứng dụng cho mở rộng tách được.

Chứng minh sử dụng quy nạp theo cấp ma trận n. Địa phương hóa đưa bài toán về vành địa phương. Kỹ thuật gluing ghép nghiệm địa phương thành nghiệm toàn cục. Phương pháp patching sử dụng tính chất dàn. Kết quả tổng hợp từ các trường hợp đặc biệt.

Luận án giải quyết bài toán mở về dàn nhóm con trên vành mở rộng. Kết quả tổng quát hóa các định lý kinh điển lên lớp vành rộng. Kỹ thuật mới phát triển cho nghiên cứu tiếp theo. Ứng dụng vào K-lý thuyết đại số và hình học đại số. Công trình được công bố trên tạp chí quốc tế uy tín.

Kết quả liên quan đến lý thuyết biểu diễn nhóm. Ứng dụng trong hình học đại số qua nhóm đại số tuyến tính. Kết nối với lý thuyết số qua vành số nguyên. Liên hệ với tô pô đại số qua K-lý thuyết. Phương pháp áp dụng cho lý thuyết nhóm lượng tử.

Mở rộng kết quả cho vành hạng vô hạn. Nghiên cứu nhóm con của nhóm Chevalley tổng quát hơn. Áp dụng cho nhóm trên vành không giao hoán tổng quát. Phát triển lý thuyết cho nhóm lượng tử. Nghiên cứu ứng dụng trong mật mã học và lý thuyết mã.