Congruences Among Automorphic Forms on U(2,2) - Luận án Klosin

Luận án nhằm thiết lập các đồng dư giữa dạng tự đẳng cấu trên U(2,2) và các dạng Siegel modular. Nghiên cứu tập trung vào Maass lifts và tính chất số học của chúng. Mục tiêu bao gồm tính toán chuẩn Petersson của các Maass lifts. Công trình xác định các cực và thặng dư của chuỗi Eisenstein trên nhóm unitary. Kết quả cho phép xây dựng biểu diễn Galois liên kết với các dạng tự đẳng cấu cuspidal.

Nghiên cứu sử dụng lý thuyết toán tử Hecke trên đại số Hermitian. Các kỹ thuật p-adic automorphic forms được áp dụng để nghiên cứu đồng dư. Công cụ từ lý thuyết biểu diễn Galois đóng vai trò quan trọng. Phương pháp deformation theory được sử dụng để nghiên cứu vành biến dạng. Kỹ thuật tính toán hệ số Fourier của chuỗi Eisenstein và theta series được phát triển.

Luận án thiết lập các công thức tích vô hướng mới cho dạng Jacobi. Kết quả về đồng dư giữa Maass lifts và các dạng không phải Maass được chứng minh. Nghiên cứu xây dựng mối liên hệ giữa đại số Hecke và vành biến dạng Galois. Các ứng dụng cho lý thuyết nhóm Selmer được phát triển. Công trình mở rộng kết quả về CAP representations cho trường toàn phương ảo tổng quát.

Chuỗi Siegel Eisenstein được xây dựng từ parabolic subgroup cực đại. Chúng có trọng số dương và tính chất giải tích phức tạp. Chuỗi Klingen Eisenstein liên quan đến parabolic subgroup nhỏ hơn. Các cực của chuỗi này mang thông tin số học quan trọng. Thặng dư tại các cực cho ra các dạng tự đẳng cấu cuspidal. Nghiên cứu tính toán tường minh vị trí và bậc của các cực này.

Chuẩn Petersson đo độ lớn của dạng tự đẳng cấu trong không gian L². Đối với Maass lifts, việc tính toán chuẩn này đòi hỏi kỹ thuật tinh vi. Luận án sử dụng phương pháp khai triển Fourier và tích phân trên không gian đối xứng. Công thức cuối cùng liên hệ chuẩn với hàm L đặc biệt. Kết quả có ứng dụng trong nghiên cứu đồng dư modulo số nguyên tố.

Dạng Jacobi là đối tượng trung gian giữa dạng elliptic và dạng Siegel. Luận án phát triển công thức tích vô hướng mới cho không gian này. Công thức liên hệ tích vô hướng với giá trị đặc biệt của hàm L. Kết quả được sử dụng để nghiên cứu tính chất số học của Maass lifts. Phương pháp có thể mở rộng cho các nhóm unitary khác.

Đại số Hecke Hermitian được sinh bởi các toán tử tương ứng với double cosets. Cấu trúc đại số này mở rộng trường hợp elliptic cổ điển. Luận án xây dựng cấu trúc nguyên tường minh cho đại số này. Các quan hệ giao hoán giữa các toán tử được thiết lập. Kết quả cho phép nghiên cứu tính chất số học của các giá trị riêng.

Không gian Maass là không gian con đặc biệt của Hermitian modular forms. Các toán tử Hecke bảo toàn không gian này dưới điều kiện nhất định. Luận án nghiên cứu cách nâng toán tử từ không gian elliptic lên không gian Maass. Phương pháp sử dụng tính chất của Maass lifts và khai triển Fourier. Kết quả cho phép so sánh giá trị riêng Hecke giữa các không gian khác nhau.

Giá trị riêng Hecke của Maass lifts liên hệ với giá trị riêng của dạng elliptic gốc. Luận án tính toán giá trị riêng của chuỗi Siegel Eisenstein một cách tường minh. Hàm L chuẩn được định nghĩa thông qua tích vô hướng Petersson. Công thức tích vô hướng Rankin-Selberg được phát triển cho trường hợp này. Kết quả có ứng dụng trong nghiên cứu tính chất giải tích của hàm L.

Hệ số Fourier của dạng tự đẳng cấu chứa thông tin số học quan trọng. Luận án chứng minh tính đại số của các hệ số này trong nhiều trường hợp. Kết quả sử dụng tính chất của hàm L đặc biệt và chu kỳ. Tính đại số là điều kiện cần thiết để nghiên cứu đồng dư modulo số nguyên tố. Phương pháp có thể áp dụng cho các nhóm unitary tổng quát hơn.

Kết quả chính thiết lập đồng dư giữa Maass lifts và dạng không nằm trong không gian Maass. Đồng dư xảy ra modulo ước tử nguyên tố của giá trị L đặc biệt. Chứng minh sử dụng công thức chuẩn Petersson và tính toán hệ số Fourier. Kết quả mở rộng các công trình trước đó của Skinner và Urban. Ứng dụng bao gồm xây dựng biểu diễn Galois với tính chất đặc biệt.

Congruence modules của Hida đo độ lớn của đồng dư giữa các dạng tự đẳng cấu. Luận án nghiên cứu các modules này trong ngữ cảnh nhóm unitary U(2,2). Kết quả liên hệ cấu trúc của congruence modules với tính chất của hàm L. Phương pháp sử dụng lý thuyết vành biến dạng và không gian tiếp tuyến Zariski. Các ứng dụng cho lý thuyết Iwasawa được thảo luận.

Vành biến dạng universal tham số hóa tất cả biến dạng của biểu diễn Galois. Luận án xây dựng vành này trong ngữ cảnh biểu diễn liên kết với dạng trên U(2,2). Các điều kiện biến dạng như ordinary và unramified được áp đặt. Cấu trúc của vành biến dạng phản ánh tính chất số học của biểu diễn. Phương pháp sử dụng lý thuyết cohomology Galois và functor biến dạng.

Định lý chính thiết lập đại số Hecke là thương của vành biến dạng universal. Chứng minh sử dụng tính chất universal của vành biến dạng và tác động Hecke. Kết quả cho phép chuyển thông tin từ lý thuyết biến dạng sang lý thuyết dạng tự đẳng cấu. Kernel của ánh xạ thương liên quan đến đồng dư giữa các dạng. Ứng dụng bao gồm nghiên cứu cấu trúc của đại số Hecke và congruence ideals.

Không gian tiếp tuyến Zariski của functor biến dạng liên hệ với nhóm cohomology Galois. Luận án tính toán chiều của không gian này trong các trường hợp cụ thể. Kết quả cho phép ước lượng số chiều của vành biến dạng. Phương pháp sử dụng duality trong cohomology Galois và Euler characteristic. Ứng dụng bao gồm nghiên cứu tính trơn của vành biến dạng tại các điểm đặc biệt.

Nhóm Selmer được định nghĩa như kernel của ánh xạ từ cohomology Galois toàn cục đến tích các cohomology địa phương. Điều kiện Selmer tại các số nguyên tố khác nhau phản ánh tính chất số học của biểu diễn. Luận án tập trung vào nhóm Selmer cho biểu diễn adjoint. Các điều kiện ordinary và unramified đóng vai trò quan trọng. Kết quả về tính hữu hạn sinh của nhóm Selmer được sử dụng.

Biểu diễn adjoint của biểu diễn Galois tác động lên không gian endomorphism. Cohomology Galois của biểu diễn adjoint kiểm soát không gian biến dạng. Luận án tính toán chiều của nhóm Selmer adjoint trong các trường hợp cụ thể. Kết quả liên hệ với chiều của không gian tiếp tuyến vành biến dạng. Phương pháp sử dụng công thức Euler characteristic địa phương-toàn cục.

Luận án xây dựng ví dụ biểu diễn Galois với rút gọn không nửa đơn tại số nguyên tố p. Kết quả sử dụng đồng dư giữa các dạng tự đẳng cấu khác nhau. Biểu diễn không nửa đơn liên quan đến extension không tách trong nhóm Galois. Phương pháp có ứng dụng trong nghiên cứu giả thuyết Fontaine-Mazur. Các kết quả mở rộng công trình trước đó cho nhóm symplectic và unitary.