Luận án tiến sĩ về chỉ số chính quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức – Trương Thị Hiền

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Trần Nam Trung HÀ NỘI - 2023 Tóm tắt Cho R = k[x1 ,. , xr ] là vành đa thức trên trường k, r biến x1 ,. Cho I là iđêan đơn thức của R và I (n) là lũy thừa hình thức thứ n của I.

Luận án nghiên cứu về hàm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I, ký hiệu reg(I (n) ). Dựa trên việc nghiên cứu về đa diện lồi, các môđun đối đồng điều địa phương, luận án đã đạt được một số các kết quả chính về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy reg(I (n) ) khi I là iđêan đơn thức. Đồng thời, luận án cũng đưa ra một chặn trên tốt cho reg(I (n) ) khi I = I∆ là iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ và áp dụng trong trường hợp I = I(G) là iđêan cạnh của đồ thị G. Cuối cùng, luận án chỉ ra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stab(J(G)), trong trường hợp J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G.

Luận án được chia làm 04 chương. Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster, công thức Takayama; và nghiên cứu một số tính chất của các đa diện lồi. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứng dụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị.

Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên cho chỉ số ổn định reg-stab(J(G)) với G là đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị. ii Abstract Let R = k[x1 ,. , xr ] be a polynomial ring over a field k with r variables x1 ,. Let I be a monomial ideal of R and I (n) be the n-th symbolic power of I.

The thesis aims to focus on studying the Castelnuovo- Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I (n) ). Based on inves- tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module, we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ) when I is a monomial ideal. In addition, the thesis also gives a sharp upper bound for reg(I (n) ) when I = I∆ is a Stanley-Reisner ideal of a simplicial complex ∆ and applies to the case the edge ideal of a simple graph. Finally, the thesis gives an upper bound for the stability index of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of a bipartite graph G.

The thesis is divided into four chapters. Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the sim- plicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’s formula. We also study some important properties of the convex polyhedra. Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ), when I is a monomial ideal.

Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolic powers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edge ideal of a simple graph. Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is a bipartite graph and J(G) is its cover ideal. iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Nam Trung.

Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Trương Thị Hiền iv Lời cảm ơn Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tôi đã hoàn thành nội dung luận án "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức". Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy: TS.

Trần Nam Trung. Thầy đã dành cho tôi nhiều thời gian, tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa những chi tiết nhỏ trong luận án, giúp luận án của tôi được hoàn thiện hơn về cả mặt nội dung và hình thức. Thầy đã dạy cho tôi kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu và cũng luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong mọi mặt. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc của mình đến Thầy.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến GS. Lê Tuấn Hoa. Thầy đã luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có cơ hội tham gia các hội thảo quan trọng, các buổi học về các vấn đề mới. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS.

Lê Xuân Dũng, TS. Đỗ Trọng Hoàng, TS. Nguyễn Thu Hằng những người luôn quan tâm, động viên tôi trong toàn bộ quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các phòng ban của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu tại Viện.

Tôi cũng trân trọng cảm ơn GS. Ngô Việt Trung, PGS. Đoàn Trung Cường, TS. Trần Giang Nam đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia các buổi sinh hoạt khoa học của phòng Đại số-Lý thuyết số, các seminar tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu v vi Toán học đã có những hỗ trợ tích cực về mặt tài chính cũng như về mặt tinh thần để tôi có thêm động lực và điều kiện tập trung cho việc học tập và nghiên cứu của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên - trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành việc học tập của mình. Tôi xin cảm ơn các anh, chị, em nghiên cứu sinh đang học tập, nghiên cứu tại phòng Đại số và phòng Lý thuyết số, Viện toán học đã giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ, các em và mọi người trong đại gia đình, những người luôn yêu thương, là nguồn động viên và truyền nhiệt huyết để tôi hoàn thành luận án này.

Tác giả Trương Thị Hiền Bảng các ký hiệu N tập các số tự nhiên Z tập các số nguyên Q tập các số hữu tỷ R tập các số thực I (n) lũy thừa hình thức thứ n của iđêan I reg(I) chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của iđêan I d(I) bậc sinh lớn nhất của iđêan I βi (M ) số Betti thứ i của môđun M G(I) tập các đơn thức sinh tối tiểu của iđêan I K α (I) phức đơn hình Koszul trên liên kết với iđêan I tại bậc α Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m e i (∆, k) H đồng điều đơn hình rút gọn thứ i của ∆ trên k N P (I) đa diện Newton của I SP(I) đa diện hình thức của I ∆ phức đơn hình I∆ iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ F(∆) tập các mặt cực đại của phức đơn hình ∆ ∆(I) phức đơn hình liên kết với iđêan I G = (V (G), E(G)) đồ thị với tập đỉnh V (G) và tập cạnh E(G) vii viii NG (S) tập các đỉnh kề với tập S trong G degG (u) bậc của đỉnh u trong G G[S] đồ thị con cảm sinh của G trên S J(G) iđêan phủ của đồ thị G I(G) iđêan cạnh của đồ thị G I bao đóng nguyên của iđêan I H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H I(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H pd(M ) chiều xạ ảnh của môđun M lk∆ F phức con nối của F trong ∆ ∆∗ đối ngẫu Alexander của phức đơn hình ∆ I∗ đối ngẫu Alexander của I Gα đối giá của véctơ α (H) số trội cạnh thành phần của siêu đồ thị H ∆(G) phức độc lập của G match(G) số ghép cặp của G ν(G) số ghép cặp cảm sinh của G ord-match(G) số ghép cặp có thứ tự của G Mục lục Tóm tắt ii Abstract iii Lời cam đoan iv Lời cảm ơn v Bảng các ký hiệu vii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner. Công thức Hochster - Công thức Takayama.

Công thức Hochster. Công thức Takayama. Đồ thị hai phần. Ghép cặp trong đồ thị.

Tập lồi đa diện. Phức bậc và đa diện. Đa diện hình thức. 24 2 Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy 28 2.

Hàm bậc sinh lớn nhất. Hàm chỉ số chính quy. Tính không tuyến tính của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. 38 3 Chặn trên của hàm chỉ số chính quy 47 3.

Iđêan đơn thức không chứa bình phương. Iđêan cạnh của đồ thị G. 57 4 Tính ổn định của hàm chỉ số chính quy 64 4. Đa diện nguyên ứng với đồ thị hai phần.

Chỉ số chính quy của lũy thừa của iđêan phủ. 72 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 83 Bảng thuật ngữ 89 Mở đầu Cho R = k[x1 ,. , xr ] là vành đa thức của r biến x1 ,. , xr trên trường k và I là iđêan thuần nhất của R.

Đối tượng nghiên cứu trong luận án của chúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của iđêan, ký hiệu reg(I). Đối với lũy thừa thường của iđêan I, hàm reg(I n ) không tuân theo quy luật nào khi n nhỏ. Tuy nhiên, dựa trên tính chất phân bậc chuẩn của đại số Rees của I thì Cutkosky, Herzog, N. Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằng reg(I n ) là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn.

Điều này có nghĩa là, tồn tại các số nguyên không âm d, b và n0 sao cho reg(I n ) = dn + b với mọi n > n0 .