Luận án tiến sĩ toán học: Đồng cấu chuyển Singer qua ngôn ngữ đại số lambda - Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HOÀNG CHƠN ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA VÀ DÃY PHỔ MAY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mục lục v Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 12 1. Đại số Steenrod. Giải thức bar và cobar.

Đồng cấu chuyển đại số. Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số 30 2. Giới thiệu về đại số lambda. Đại số lambda dưới lăng kính của lý thuyết bất biến modular.

Cấu trúc A -môđun của đại số lambda. Biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda. Đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7. Kết luận chương 2.

Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số 63 3. Đồng cấu chuyển đại số. Hai bài toán “hit”. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng 4.

75 v LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng cao. Chứng minh Bổ đề 3. Kết luận chương 3.

91 Kết luận 92 Dự kiến về những nghiên cứu tiếp theo 93 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 Phụ lục A. Cơ sở đơn thức của đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof 104 A. Giới thiệu về đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Cơ sở của đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof.

Kết quả liên quan. 113 vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là một vấn đề trọng tâm trong Tôpô đại số. Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị là các bất biến đồng luân thường được sử dụng, tuy nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải quyết bài toán này. Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với mỗi k ≥ 0, một toán tử đối đồng điều (được gọi là toán tử Steenrod) Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X), tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) của không gian tôpô X.

Đại số sinh bởi các Sq i (i ≥ 0) gọi là đại số Steenrod. Đại số này thường được ký hiệu là A. Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) của không gian tôpô X có cấu trúc của một A -đại số không ổn định. Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bổ sung này cho phép nhận biết sự khác biệt kiểu đồng luân của các không gian tôpô mà đồng điều và đối đồng điều không nhận biết được.

Cấu trúc của đại số Steenrod đã được Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50] nghiên cứu một cách sâu sắc. Bên cạnh các cơ sở cộng tính cổ điển đã biết (xem Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), những năm gần đây, nhiều cơ sở cộng tính khác của đại số Steenrod đã được các tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86], Palmieri-Wang [57] xây dựng và nghiên cứu. Một bài toán quan trọng trong chương trình phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là xác định nhóm đồng luân, đặc biệt là nhóm đồng luân ổn định, của mặt cầu. Năm 1958, Adams [1] xây dựng một dãy phổ hội tụ về thành phần 2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu.

Trang E2 của dãy phổ này (được gọi là dãy phổ Adams) chính là đối đồng điều của đại số Steenrod, Ext∗,∗ A (F2 , F2 ). Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều của đại số Steenrod trở thành một bài toán quan trọng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước, đáng chú ý nhất là các công trình của Adams [2], Wang 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Tuy nhiên, đây là một bài toán rất khó.

Cho đến nay Exts,∗ A (F2 , F2 ) chỉ mới được xác định hoàn toàn với s ≤ 5 (xem [80], [37, 38], [15]). Từ các nghiên cứu của Adams [2], Mahowald-Tangora [44], đã có một vài đại số con vô hạn của Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) i được xây dựng như đại số Adams, được sinh bởi các hi ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ) (xem [2]), đại số wedge (xem [44],[45]); tuy nhiên, các quan hệ trên đại số Adams vẫn chưa được xác định hết. Khi s > 5, người ta chỉ mới biết được một số thông tin rời rạc về Exts,∗ A (F2 , F2 ) (xem [11]). Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều của đại số Steenrod là đại số vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem [46, 47], [74], [37]) và giải thức cực tiểu của A (xem [11]).

Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod bằng công cụ lý thuyết bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số, gọi là đồng cấu chuyển đại số (hay còn gọi là đồng cấu chuyển Singer): T rs : F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) / Exts,s+∗ (F , F ). A 2 2 Ở đây, BVs là không gian phân loại của nhóm cộng của không gian véctơ s chiều Vs trên trường F2 ; ký hiệu PA H∗ (BVs ) dùng để chỉ không gian con của H∗ (BVs ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương. Nhóm tuyến tính tổng quát GLs tác động trên Vs , do đó nó tác động trên đồng điều và đối đồng điều của BVs. Vì các tác động của GLs và của đại số Steenrod giao hoán với nhau nên có một tác động cảm sinh của GLs trên PA H∗ (BVs ).

Đồng cấu T rs có thể được xem như một phiên bản đại số của đồng cấu chuyển hình học π∗S ((BVs )+ ) → π∗S (S0 ) trên trang E2 của dãy phổ Adams (xem [52]). Singer cũng đã chứng minh rằng T rs là đẳng cấu với s ≤ 2; và ông đưa ra giả thuyết rằng T rs là đơn cấu với mọi s ≥ 1 [63]. Sau đó, đồng cấu chuyển đại số đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Năm 1993, sử dụng một số tính toán của Kameko [34], Boardman [7] chứng minh rằng T r3 cũng là một đẳng cấu.

Ảnh của T r4 được xác định hoàn toàn bởi các tác giả: Bruner-Hà-Hưng [13], N. Vì T r = ⊕s T rs là một đồng cấu đại số và T r1 là một đẳng cấu (xem [63]), nên ảnh của đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh bởi các hi. Sự kiện này cùng với các tính toán nói trên cho đồng cấu chuyển đại số ở hạng thấp chứng tỏ 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com rằng đồng cấu chuyển đại số có khả năng phát hiện được nhiều phần tử không tầm thường của Ext∗,∗ A (F2 , F2 ). Đồng cấu T rs , với s ≥ 5, đã bước đầu được nghiên cứu bởi Singer [63] và V.

Bên cạnh đó, dùng tính giao hoán của toán tử Kameko (xem [34]) và toán tử Sq 0 cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N. Hưng [28] chứng minh rằng, khi s ≥ 5, T rs không là đẳng cấu tại vô hạn bậc. Tuy nhiên, tại những bậc đang xét, việc T rs không là đơn cấu hay không là toàn cấu vẫn chưa được biết đến nên giả thuyết của Singer vẫn còn mở. Dựa vào các tính toán trên F2 ⊗A H ∗ (BVs ), N.

Hưng và Kuhn đã đưa ra một số giả thuyết thú vị về cấu trúc của đối đồng điều của đại số Steenrod (xem [28], [9]). Cụ thể, trong [58], Peterson đưa ra giả thuyết rằng F2 ⊗A H d (BVs ) = 0 nếu α(d + s) > s, trong đó α(n) là số các chữ số 1 trong khai triển nhị phân của n. Giả thuyết này, sau đó, đã được Wood [84] chứng minh năm 1989. Từ quan sát này, Kuhn [9] đã đưa ra giả thuyết rằng Exts,t A (F2 , F2 ) = 0 nếu α(t) > s.

Giả thuyết của Kuhn đã được Bruner kiểm chứng và xác nhận tại các bậc mà ở đó nhóm Exts,t A (F2 , F2 ) đã được xác định. Mặt khác, khi nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N. Hưng [28] chứng minh rằng khi tác động toán tử Kameko lên F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) lặp lại nhiều nhất s − 2 lần thì ta nhận được một đẳng cấu lên ảnh của nó. Một giả thuyết tương tự được N.

Những giả thuyết này, nếu đúng, cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa cấu trúc của F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) và Exts,∗ A (F2 , F2 ) thông qua đồng cấu chuyển của Singer. Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số được kỳ vọng là một công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod. Các tính toán của Singer [63] được thực hiện chủ yếu trên đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số sau T rs∗ : TorAs,s+t (F2 , F2 ) / (F t GLs 2 ⊗A H (BVs )). Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu chuyển đại số có liên quan mật thiết đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của H ∗ (BVs ), xem như môđun trên đại số Steenrod.

Bài toán này được gọi là bài toán “hit”, được khởi xướng gần như đồng thời bởi Peterson [58, 59] và Singer [63] từ 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com những khía cạnh khác nhau. Sau đó, các khía cạnh khác nhau của bài toán và các ứng dụng của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Wood [84, 86], Kameko [34], Singer [64], Crabb-Hubbuck [22], N. Tuy nhiên cho đến nay, người ta chỉ mới hoàn thành việc giải bài toán này cho đến trường hợp s = 4 (xem [69]). Khi s ≥ 5, việc giải bài toán “hit” là một vấn đề khó, ngay cả với sự hỗ trợ của máy tính (xem [12]).

Đây là trở ngại chính khi dùng đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext∗,∗ A (F2 , F2 ). Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số dưới lăng kính của đại số lambda và dãy phổ May. Đại số lambda, Λ, được xây dựng năm 1966 bởi sáu tác giả Bousfield, Curtis, Kan, Quillen, Rector và Schlesinger [8], là đại số vi phân kết hợp trên trường F2 , có đồng điều H s,t (Λ) ∼ = Exts,t (F2 , F2 ). Do đó, Λ có thể được xem như trang E1 của A dãy phổ Adams.

Ngày nay, Λ là một trong những công cụ hữu hiệu nhất để tính đối đồng điều của đại số Steenrod, và được sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]). Năm 1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh rằng đại số lambda đẳng cấu với thương của đối phức cobar của đại số Steenrod.