Luận án Tiến sĩ: Định lý cơ bản thứ hai và ánh xạ phân hình trong không gian xạ ảnh phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1: GS. SĨ ĐỨC QUANG 2: PGS. PHẠM ĐỨC THOAN Hà Nội, 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín trên thế giới. Các kết quả viết chung với GS.

Sĩ Đức Quang, PGS. Phạm Đức Thoan và ThS. Nguyễn Hải Nam đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn An iii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Sĩ Đức Quang và PGS. Phạm Đức Thoan. Các Thầy đã tận tâm giảng dạy, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến hai Thầy. Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học và các phòng, ban khác của trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô giảng viên Khoa Toán - Tin, các thành viên trong Seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học, Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì đã quan tâm, giúp đỡ tôi và có những hướng dẫn, trao đổi khoa học hữu ích với tôi trong suốt thời gian tôi làm Nghiên cứu sinh. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Học viện Ngân hàng, Ban chủ nhiệm và các thầy, cô đồng nghiệp ở Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng cùng các bạn bè đã giúp đỡ, động viên, chia sẻ để tôi có được những điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và người thân đã luôn bên tôi, chia sẻ khó khăn, khích lệ và động viên tôi, để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả iv MỤC LỤC CÁC KÍ HIỆU 1 MỞ ĐẦU 3 TỔNG QUAN 9 1 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN CẶP HÀM NHỎ 20 1.1 Một số định nghĩa và kết quả của Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình .2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình .3 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ. 25 2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN Cm GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI HÀM ĐẾM CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG 38 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên Cm vào không gian xạ ảnh và các siêu phẳng .2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng .3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động. 45 3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG v DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG 52 3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic .2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động .3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động.

73 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 76 Kết luận. 76 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo. 77 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 vi CÁC KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau. • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n−chiều.

• νφ0 : divisor không điểm của hàm phân hình φ. • νφ,≤k 0 : divisor không điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các không điểm có bội lớn hơn k. • νφ,>k 0 : divisor không điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các không điểm có bội nhỏ hơn k + 1. • νφ∞ : divisor cực điểm của hàm phân hình φ.

• N [M ] (r, ν): hàm đếm của divisor ν , ngắt bội đến mức M. • m (r, f ): hàm xấp xỉ của hàm phân hình f. • T (r, f ): hàm đặc trưng của hàm phân hình f. • O(1): hàm bị chặn đối với r.

• O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. • log+ r = log max{1, r} với r ∈ R.
• “ || P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập R con Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞.

• ♯A: lực lượng của tập hợp A. Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng mỗi một đa thức bậc n (n > 0) luôn có đủ n nghiệm phức tính cả bội. Điều này dẫn đến, mỗi đa thức nhận một giá trị phức tùy ý với số lần như nhau, hay nói cách khác giá trị của mỗi đa thức được phân bố trên mặt phẳng phức là đều như nhau tại mọi điểm. Tính chất tương tự như vậy, nói chung cũng đúng với họ hàm phân hình khác hàm hằng trên C.

Người đầu tiên tìm hiểu các tính chất này của hàm phân hình là R. Nevanlinna vào những năm 20 của thế kỷ trước. Vào năm 1925, ông bắt đầu tìm hiểu về việc các hàm phân hình xác định trên C phân bố giá trị như thế nào và xây dựng một lý thuyết mới gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, hay Lý thuyết Nevanlinna. Trong lý thuyết này, ông đưa ra ba khái niệm quan trọng là hàm đặc trưng của một hàm phân hình h trên C, hàm đếm tập các a-điểm của h, với a là một giá trị thuộc C, và hàm xấp xỉ tương ứng với a của h.

Khi đó, mỗi giá trị a ∈ C như trên được gọi là một mục tiêu. Nevanlinna tìm hiểu sự phân bố các giá trị của hàm h dựa vào mối liên hệ giữa ba loại hàm này với nhau, điều này được thể hiện trong hai định lí cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Hơn thế nữa, nhờ vào hai định lí trên, ông còn chứng minh được hai kết quả nổi tiếng về tính duy nhất của hai hàm phân hình là các Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm. Định lí năm điểm của Nevanlinna phát biểu rằng, với hai hàm phân hình h và g xác định trên C, nếu tồn tại năm mục tiêu phân biệt a1 ,.

, a5 ∈ C có tập ảnh ngược qua h và g , không đếm bội, trùng nhau (tức là h−1 (ai ) = g −1 (ai ) với i = 1,. , 5) thì h và g phải bằng nhau. Định lí bốn điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm h và g sai khác một phép biến đổi Möbius nếu tập các ảnh ngược, đếm cả bội, của lần lượt bốn mục tiêu trong C qua hai hàm này trùng nhau. Cho đến nay có rất nhiều công trình nghiên cứu mở rộng hai kết quả này.

Một trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu trường hợp các mục tiêu ai trên là các hàm nhỏ. Đặc biệt, gần đây nhiều tác giả quan tâm đến trường hợp tổng quát hơn khi các mục tiêu trên được thay bởi các cặp hàm nhỏ. Những kết quả mở rộng đầu tiên cho Định lí bốn điểm được đưa ra theo hướng này bởi G. Gundersen [7] và các nhóm tác giả P.

Cao [5], và gần đây bởi S. Một trong các kết quả tốt 3 nhất đạt được gần đây là của P. Hai tác giả này đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ý khác hằng, nếu tồn tại ba cặp hàm nhỏ phân biệt sao cho ảnh ngược, đếm cả bội, của chúng qua hai hàm trên trùng nhau và tồn tại thêm một cặp hàm nhỏ khác có ảnh ngược, không kể bội, qua hai hàm trên cũng trùng nhau thì có một phép biến đổi tựa Möbius liên kết hai hàm phân hình với nhau. Nhưng kết quả này chưa đề cập đến trường hợp bội được chặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến việc bỏ qua các không điểm từ một mức nhất định.

Nếu các trường hợp này được giải quyết thì sẽ là những kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên cứu này. Lý thuyết Nevanlinna được coi là một trong những lý thuyết toán học sâu sắc nhất được xây dựng ở thế kỷ trước. Vì vậy, rất nhanh chóng, nhiều nhà toán học phát triển lý thuyết này lên cho trường hợp các ánh xạ phân hình từ không gian phức nhiều chiều Cm vào các không gian xạ ảnh phức Pn (C). Những tác giả có đóng góp đầu tiên và quan trọng nhất cho sự phát triển này phải kể đến là H.

Đặc biệt, Lý thuyết Nevanlinna cho lớp các ánh xạ phân hình từ các đa tạp phức parabolic vào Pn (C) đã được phát triển bởi W. Khoái [13] cũng xây dựng lý thuyết tương tự cho các hàm chỉnh hình p-adic. Như đã nói ở trên, trọng tâm trong lý thuyết này là hai định lí then chốt: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất phát biểu rằng, mỗi ánh xạ phân hình có hàm đặc trưng bằng tổng của hàm đếm các nghịch ảnh bởi các ánh xạ của một mục tiêu (cố định hoặc di động) cho trước và hàm xấp xỉ tương ứng với mục tiêu này của ánh xạ đó.

Như vậy hàm đếm luôn bị chặn trên bởi hàm đặc trưng. Ngược lại, Định lí cơ bản thứ hai là một bất đẳng thức có dạng hàm đặc trưng không vượt quá một số lần của tổng các hàm đếm các nghịch ảnh (được chặn bội hoặc không được chặn bội) một họ các mục tiêu cho trước nào đó.