Luận án tiến sĩ về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán - Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội (1991)

BỘ GIÁO ĐỤC & ĐẢO TẠO TRUỒNG ĐẠI HỌC TỔNG HỘP HÃNỘI Hé Dink Duan ii { a 14/24 | __ MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀVÀNH - Se AUSLANDER-GORENSTEIN KHONG GIAO HOAN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mi so: 1.03 Luận án Phó tiến sĩ khoa học Toán - Lý Nguồi hướng dấn khoa học: Gs.Ts Nguyễn dink Ngoc Hà nội - 1991 MO BAU. CHUGNG CHUGNG 0: 1,1 HỆ sổ Phần chuẩn hị- Cac kí hiệu. : } , Nhắc lại một số kết quả cua lý thuyết vành và đại số đồng điều, x a + 3 £. ‘ Nhắc lại một số kết quá cuá dai sO giao hoan.

Vành Auslander - Gorenstein, mỗ dun thuần túy và mỗ đun holonom. Day phổ Roos - BJjork ~ Ischebeck 1.1 kay dung day phổ.2 2 Hệnh đề (sự hội tụ của day phổ Lz05 120 & | Bloc cia một md dun.0 ` Hệ quả ( cud Ménh dé 1.2 2 Định nghĩa ( vanh Auslander - Gorenstein ) Nhận xét. anh Auslander —= Gorenstein. Điều kiện Auslander.0 Nhận xét, 2 Đỉnh nghĩa ( vành Auslander ~ Gorengtein ).7 Hệ luận (của Fiệnh đề 1.8 Hệ quả ( của hệ luận 1.

Hồ đun thuần tuy (pure modules).5 Hệ quả (của Mệnh đề 1.7 Hễ quả (của Dinh 1i 1.8 MOt m6 ta khéc của EH-loc.0 Hệnh đề (By = Feo y Ko = Gye eeeegpde 1.1 Dinh 1i (Bloc cla md dun can >.4 Mo dun holonom ( holonomic modiules>.1 Định nghĩa (m6 dun holonam.6 H@ qua (cua Ménh đề 1. Vành Auslander ~ Gorenstein giao hoan .0 Nhắc lại về các vanh Gorenstein gia hoán. cn on on on ccococ ~& ee dễ 1. + 1,5,1 Định lÍ (€ điều kiện cần và đủ để một vành giao hoán là Auslander - Gorenstein }.

Hệ quả ( cua Định lí 1. , l tHiệnh đã ( về các ideal nguyễn tổ liên kết ), Định nghĩa, ( ideal đẳng chiều )„, Hệ quả ( của Hệnh đề 1.5 1 Gui in xe CHUNG 2 : Vành Auslander-Gorenstein cO loc, ideal đặc trưng và mö đun thuần túy. Nhắc lại về vành lọc và mỡ đun lọc 2.0 Lọc của vành và mỗ đun. ‹1 TỔ pỗ sinh bởi một lọc.

2 Vanh phan bac 1ién kết với một lọc.4 Binh nghiadloc Artin-Rees,loc Artin-Rees yaw 2.6 Hệnh dé ‘ tính chất của lọc Artin ~ Rees ).2 Mbt day phổ cuả mỏ đun lọc.1 Hễnh đề ( sự tồn tại của mot day pha }„ # Nhận xét .ð Hệ quả ( của Nhận xết 3.3 Vanh loc vA tinh Auslander - Gorenstein.1 Ménh de ¢ mot bat qq thức của grade ).2 Nhae lại Dinh 11 Roos-Biork (về su bảo toàn tinh ñus1ander~Borenstein của vành lọc), 3.4 Ideal đặc trưng của md dun thuận túy. l a Nhac lai Dinh li Kashiwara- Gabber-Bjork vé đẳng chiều của ideal đặc trung. 4 Nhận xét, l 4 -ð5 Định nghĩa (điều kiểm Ass~ cực tiểu), & Hệnh đề (điều kiện can cha tinh thuần túy) 2. Tes hop Vim.

bạ un Hệnh đề (một tính chất của các tập Vind). Hệ quả ( của Hệnh đề 2.4 Dinh nghĩa ( tap Yomi ye 2.0 Cầu hỏi, CHUNG 3: MG dun holonom trên vành Auslander — Gorenstein có lac.1 Vanh loc va tinh holonom.0 Sul ton tai cha caéc m6 dun holonom.3 SQ bOi thea ideal nquyén td v& cycle.4 Ménh dé ( số bồi và dấy khốp r 3.4 Mệnh đề ¢ day hộp thành và cycle >.7 MG dun holonom va ham tử H ===—=* Ññ.# Pỗ đụn thuộc lốp Berntein.1 Ngoặc Foisson và ideal đối hdp. We ee in ©. one Nhẫn xét.

sa Nhắc tại định lí Babber (€ về tính đổi hợp của đa tạp đặc trứng ). | CAc ideal nguyễn tổ phần bậc và đổi hợp.6 Định nghĩa ( lốp Bernstein 3. nh 1Í Gn@ dun holonam v&é lép Bernstein).1 Nhận = Pe 2 Nhận oa aD Nhận KẾ. , ð,2,10 Liên hệ với kết quả của Essen.5 Phép vi mo dia phương hóa, lớp Bernstein và _tinh dang chiều, Sin oa Phép - vi mỗ địa phưổng hóa.

Nhắc lại định lí của Essen (vành vi mỗ địa phường của một vành lạc ). 2 Nhắc lại định lí của Essen ( mỗ đun vi m6 dia phiidng >. = i Định 1í ( một đẳng cấu cổ gỗ >.1 Da tạp đặc trưng của mo dun vi md dia phudng. địa phudng hóa, tính Auslander-Gorenstein va tính thuần túy.0 Nhận xét, HỆ quả ( của định 11 5.

Liên hệ gia u và : 3.1 Ménh d& (mSt diéu kien da dé Hae 4.4 Định 11 ( Sự bảo toàn tính holonom > .0 BỘ đề, “vành, tỉnh Auslander~Gorenstein, ki di chinn qui Định nghĩa ( T ~ vành ). Định 1Í ( sử bảo toàn tinh Auslander = Gorenstein cla caéc T ~ vành >. Hệ quả ( của dinh 11 35. Địa phương hóa T — vành.5 T- ch ñ LRCR t ' ia] TAI LIEU THAM KHAD.

> ^ ma DAU Lý thuyết Vành toán tử vi phan , bat d&u tat -ÁC cổng trình Mal grange EMAL 61] va Matsuura CMA 611; dã mỗ ra mot hướng nghiên cứu mới cho lý thuyết phương trình đạo ham eieéna, biệt là các phường trình với hệ s hằng sé. tưởng sem hệ phương trình tuyển tính như một mOdun 1a quen thuc chẳng hạn trong hình học đại SỐ, tuy nhiên việc việc đại số hóa các hệ ví phản thành những mỗdun trên các vành nào đó chỉ mỗi xuất hiện trong những năm &Õ~ “G1. Theo hướng đó, mỗi hệ phưổng trình dao ham riéng đước hiểu là một (bó) mödun trên một (bó) vành toán tử vi phản thích hợp. f Ị Những đóng góp đầu tiên của D.

Fashiwara trong những nam 60, và đầu 7ö đã đất một cổ sở vũng chắc cho lý thuyết và khẳng định hiểu qủa của việc áp dụng nhiễu phương phắp khắc nhau của đại số vào các bài toán phương trình đạo hàm riêng. Noi mt cach naam gon, ly thuyết D-mödun nghiễn ! cứu các bó vành todn tử vị phần: trên một. ác vành toắn tử có bản nhất là z đại số Weyl Aye), các bó Dy và E, trên một đa tap Ke Trang nhiều trường, "hợp y CÁC tinh chat dia phương của bó nói lên hầu hết những tính chất của bó đó, cho nên tạ luôn luôn có thé nghiễn cửu các stalk của các bỏ vành và mödun nói trên. Theo cách đó nhiều lý thuyết khác nhau: dùng những công cụ của lý thuyết vành , đại số đồng điều, đại số giao hoán ssa €0 thể được xây dựng để nghiên cứu các vang toán tử nói trên về mặt đại SỐ, £ các Chúng ta hãy mỗ tả qua các vành toán tử vị phần vừa nau.

Chúng là nguồn xuất phat của các bài toán vừa là ứng dụng của các nghi ân cầu lý thuyết, Cho Èk là trường có đặc sé Ö (thường là C), khi đó An(E) là vành các toán tử vi phần với hệ số trên vành đa thức ETSg g«« «sa 1x Cho X là một đa tạp phúc - Ủy là bod vành tán tu vi phan trén X sinh bởi bo OY các hàm chỉnh hình, và đại số Lie cAac trường vectd trên X. E là bố vành các mam toan tử vỉ mỗ~ địa phường trên phan tha đổi tiếp ;rúc TẦXX. Ngoài tay trong nhiễu trường húp , các đại số bao US qg) ( g “đại số Lie hữu hạn chiều ) cũng xuất hí trong các vành toán tử vi phần nao đó, (xem CMAC - ROB 87, ch. Ta chú ý rằng các vành này đều Noether va cb lọc, I.

Bernstein 1a người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ „thống dai sé Weyl AMC). Trong những nấm 69~ 72, bang những công cu tương đối sở cấp, ông đã thiết lap dude những tinh chất cđ bản nhất của vành này nhữ su tan tại của các phương trình hàm cho thắc triển chỉnh hình của nam „đánh giả s chiều của đa tạp đặc trưng của các hệ ví phan (bất đẳng thức Hernstein), su ton tai của mỘt lốp 2 md dun h6lé6ndn wee Chỉ: sau những công trình của Bernstein mat KỆ s trong những nam đầu của thập ky 70 , trưởng phai Nhật nỗi bật lên với các cong trinh cla H. Komatsu 8 he Sata Kashiwara, và T. Trong số đó đầu tiện pl xuan an của rasnauara về các nghiễn cứu đại số của các hệ vi phan [KASH 71] và bai bao pone (Sato ~ Kashiwara ~ Kawai vé lý thuyết giêu hầm và toán tũ gia vi phan CSA-KASH-KAW 73] Đi ếm ,dang chú ý là, khắc với các phưởng pháp tulổng đối cổ điển của Bernstein, cac tac gid nói trên đã hình thức hóa khá thành công các khái niệm giải tích sang các khải niệm đại số, nhỡ đó ap dụng được những kết qua sau sắc của dai sé hiện đại nhu lý thuyết giải kỳ dị của H, Hironaka.

Với công trình vưà kế , các tác gia da đưa ra mốt quan điểm moi "vi mỗ địa phưởng'" về các hệ vi phần, qua đó đạt được những kết qủa quan trong nhu tinh ,d0i) hộp của đa tạp đặc trưng hoặc các định lý cấu trúc tổng ¡ quật sem ( xem CSCHA B851 ). TU đó cho đến nay, ly thuyết vành toán tử vi phan có một vai trò quan trong trong nhiéu ngành toán học khác nhữử hình học đại số , lý thuyết kỳ di , đại sé Lie, - và cả lý thuyết tích phẫn Feynman. ị _bến cuối những năm 70, dã có thêm nhiều tác giả tham gia nghiên cấu lý thuyết D=miduri ; trong „số đó có thể kế T. Hjork (Thụy Điển), và đặc biệt là trường phái Fhap với F, Schapira, F.

TAt nhién khéng thể không nhắc đến những kết qủa của các ngành toán học khắc có ảnh hưởng lớn đến lý thuyết D-möđun trong đó có các công trình của Vv. trong phưởng trình dao ham riêng, của A. trong dai so , của L. trong ly thuyét hằm suy rộng; và của nhiều tác giả khắc.

Xuất phat tử giải tích và sử dụng phương phap của đại số § hau hết các bài toán của lý thuyết vành toán tử vi phan đều nằm gia ranh giỏi của hai lĩnh vực này. Tuy nhién, do sul sang sửa và tính khái quát cua minh, có thể nói rằng rruỗn ngữ và công cụ đại số đã hằu nhữ xuyên suốt các ý tưởng của lý thuyết. Chẳng hạn, bài toán Cauchy trong phương trình đạo hàm riêng di cách nhìn của lý thuyết D-mödun y LÀ giới hạn ngược (inverse limit) của một họ mỗdt nào đó .