Luận án thạc sỹ khoa học về các radical của các pi đại số

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN  NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÀ SỐ 1.03 THÁNG 02 NĂM 1998 BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN  NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.03 NGƢỜI HƢỚNG DẪN: PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ THÁNG 02 NĂM 1998 LỜI MỞ ĐẦU Ngƣời ta thƣờng xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó. Các điều kiện này thƣờng đƣợc thể hiện bởi các "hệ thức" và đòi hỏi chúng luôn luôn đúng. Chẳng hạn: Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A đƣợc gọi là đại số giao hoán. Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a ∀a∈ A đƣợc gọi là đại số Boolean.

Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c ∈ A đƣợc gọi là đại số Lie…. Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên các đại số và xét đến các PI- đại số xem nhƣ các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào đó. Khi xét đến các PI đại số, vấn đề đƣợc quan tâm chủ yếu trong luận án nàv là các radical. Chúng ta không chỉ xét đến các radical Tacobson mà còn định nghĩa và xem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đại số.

Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại số với một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt đƣợc những kết quả cho một PI đại số tổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa. Vì PI đại số đƣợc xem nhƣ đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quả về các radical của nó không chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu các tính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đƣa về việc xét các đồng nhất thức chuẩn tắc.

Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các Pl-đại số cũng nhƣ việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể nhƣ : đại số các ma trận vuông trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán .v đã dẫn đến các kết quả trình bày trong bản luận án này. Luận án đƣợc chia thành hai phần: Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal và modun đƣợc dùng đến ƣong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng nhƣ định lý về trù mật đƣợc trình bày mà không chứng minh.

Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong [1]. Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trình bày theo tuần tự nhƣ sau: A. Các radical của một đại số. Các PI-dại số.

Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại số giao hoán chỉ là một trƣờng hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số đƣợc bắt đầu với việc xét trƣờng hợp riêng này. Kết quả đƣợc chúng tối lƣu tâm tới để tiến hành tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số giao hoán là trùng nhau D.

Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số. Đây là một trong những phƣơng pháp đƣợc chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh.

Việc xét các radical của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa một bƣớc những kết quả đã đạt đƣợc về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ để tiếp tục tổng quát hóa. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có đƣợc trong các phần trên, cuối cùng chúng ta chứng minh đƣợc rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôn trùng với radical Jacobson.

Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn còn cố gắng trình bày một số trƣờng hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là trùng nhau. LỜI CẢM ƠN Luận án đƣợc hoàn thành trƣớc nhất là do sự hƣớng dần tận tình của PGS.PTS Bùi Tƣờng Trí. Không có sự hƣớng dần tận tình ấy, chắc chắn không thể có bản luận án này.

Vì vậy, tôi xin gửi tới thầy lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc. Tôi xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ Chí Minh những ngƣời đã trang bị cho tôi rất nhiều kiến thức và phƣơng pháp tƣ duy mà nhờ vào đố tôi hoàn thành đƣợc bản luận án này. Tôi cũng xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành nhất về tất cả những điều kiện thuận lợi mà Quí thày cô đã dành cho tôi. Cuối cùng, xin cho tôi đƣợc cám ơn Ban Giám Hiệu trƣờng Đại Học Kiên Trúc Tp Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác và tất cả bạn bè gần xa đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều ƣơng suốt thời gian tôi làm bản luận án.

Bản luận án này chắc chắn không tránh khỏi ứiiếu sót. Kính mong mọi sự góp ý và chỉ bảo của Quí thầy, cô và tất cả các bạn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N. LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.

PI - ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER - VERLAG - BERLIN - HEIDELBERG - NEWY0RK. STRUCTURE OF RING. NON COMMUTATIVE RING A. INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY.

MỤC LỤC CHƢƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN. Các đại số, Ideal và Môđun. Các đồng nhất thức.

6 CHƢƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ. Các Radical của một đại số. Các Pi – đại số. Các radical trên đại số giao hoán.

Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI. Các Pi – đại số thảo mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Các Radical của các Pi – đại số. 45 LỜI KẾT LUẬN.

CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN Chƣơng này sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản đƣợc sử dụng đến trong bản luận án này. Nếu không nói gì khác, ta xét phạm trù các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên vành giao hoãn có đơn vị K. Các modun đƣợc nói tới nếu không nói khác đi luôn đƣợc hiểu là các modun trái. Các đại số, Ideal và Môđun Giả sử A là một K-đại số.

Modun bất khả qui: Một A-mođun M đƣợc gọi là bất khả qui (ireducible) nếu M ≠ 0 và M chỉ có hai modun con là M và 0. Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tƣơng đƣơng: a) M là A-modun bất khả qui. b) M = Ax đối với x ∈M , x ≠ 0 nào đó. c) M A/I với I là ideal trái nào đó của A.

Modun hoàn toàn khả qui: Một A-modun M đƣợc gọi là hoàn toàn khả qui (completely reducible) nếu M= ∑ trong đó M là các A-modun bất khả qui. Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tƣơng đƣơng: a) M là A-modun hoàn toàn khả qui. b) M là tổng trực tiếp các A-raodun bất khá qui. c) Đối với mọi modun con N của M đều tồn tại modun con N' của M sao cho M = N N'.

Modun trung thành: Một A modun M đƣợc gọi là trung thành (faithful) nếu a,b∈ A, a b x∈M sao cho ax bx. Đại số nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nguyên thủy (primitive) nếu có A-modun M bất khả qui, trung thành. Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nửa nguyên thủy (semi piimitive) hay nửa đơn (semi simple) nếu có A-modun M hoàn toàn khả qui, trung thành. Ideal nguyên thủy: Một ideal của đại số A đƣợc gọi là ideal nguyên thủy nếu A/ là đại số nguyên thủy.

Ideal chính qui: Một ideal phải của đại số A (không nhất thiết có đơn vị) đƣợc gọi là ideal phải chính qui nếu a∈A để x-ax∈ ∀x∈A. Tƣơng tự đối với ideal trái chính qui. Rõ ràng khi A là đại số có đơn vị thì mọi ideal đều chính qui.Ideal tựa chính qui: Phần tử a∈A (A không nhất thiết có đơn vị) đƣợc gọi là tựa chính qui phải nếu a'∈A sao cho a+ a’ + aa’ = 0. Một ideal phải của đại số A đƣợc gọi là ideal phải tựa chính qui phải nếu ∀x∈p đều tựa chính qui phái.

Tƣơng tự đối với ideal trái tựa chính qui trái. Khi A là đại số có đơn vị, nếu a∈A là phần tử tựa chính qui phải thì từ đẳng thức a+ a + aa' = 0 1+ a+ a + aa' = 1 (1 + a)(l + a') = 1 1 + a khả nghịch phải. Tƣơng tự khi a∈ A là phần tử tựa chính qui trái. Đại số lũy linh, lũy linh địa phƣơng và nil đại số: Xét đại số A (không nhất thiết có đơn vị).

A đƣợc gọi là lũy linh nếu 3m sao cho A =0. A đƣợc gọi là lũy linh địa phƣơng nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh. A đƣợc gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. Một ideal của đại số A đƣợc gọi là lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil đại số).

Hiển nhiên là mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phƣơng và mọi ideal lũy linh địa phƣơng đều là nil ideal. Các bổ đề sau là dễ thấy: Bổ đề I.