Luận án: Sự liên tục của nghiệm bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ LIỄU SỰ LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC H N i - 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ LIỄU SỰ LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC Chuyên ng nh: Toán giải tích Mã số: 9.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. Nguyễn Xuân Hồng H N i - 2024 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giả tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Xuân Hồng; đề tài của Luận án là mới, các kết quả của Luận án hoàn toàn mới và các công trình được sử dụng trong Luận án chưa từng được công bố trước đó. Nghiên cứu sinh Phạm Thị Liễu Lời cảm ơn Bằng tất cả lòng kính trọng của mình, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS.

Nguyễn Xuân Hồng, người Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua. Tác giả thực sự cảm thấy rất may mắn và hạnh phúc khi được Thầy hướng dẫn. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết hàm đã luôn chỉ dẫn, giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại Trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kỹ thuật Hậu Cần CAND, các đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản và Ngoại ngữ đã tạo điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ học tập, nghiên cứu.

Tác giả xin dành cho gia đình và người thân những lời yêu thương vì đã luôn đồng hành cùng tác giả trong những thời điểm quan trọng, động viên và chia sẻ khó khăn để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Hà Nội, tháng 3 năm 2024 NCS. Phạm Thị Liễu Mục lục Mở đầu 4 1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử Monge- Ampère phức trong miền BF -chính quy 8 1.1 Hàm F -đa điều hòa dưới và miền BF -chính quy .2 Sự tồn tại nghiệm .3 Tính không liên tục của nghiệm. 17 2 Tính liên tục Hölder địa phương của nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức 25 2.1 Nghiệm dưới của bài toán .2 Tính liên tục Hölder địa phương của nghiệm.

39 3 Tính liên tục của bao Perron-Bremermann của các hàm đa điều hoà dưới 42 3.1 Tính liên tục .2 Tính liên tục Hölder. 57 Tài liệu tham khảo 67 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức (kí hiệu là toán tử M-A phức) là một trong các vấn đề trọng tâm trong Lý thuyết đa thế vị, được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm từ những năm 1970 cho tới nay. Cegrell, Nguyễn Ngọc Cường, S.

Kolodziej, Phạm Hoàng Hiệp, J. là những nhà toán học tiêu biểu trong hướng nghiên cứu này. Trong những năm gần đây, bên cạnh việc nghiên cứu toán tử M-A phức thì các bài toán Dirichlet cho toán tử này cũng là một trong những vấn đề quan trọng của Lý thuyết đa thế vị và được nghiên cứu cho nhiều trường hợp khác nhau. Vào năm 2014, Kadiri-Wiegerinck [25] đã giới thiệu và nghiên cứu toán tử M-A phức cho hàm đa điều hòa dưới đa mịn (kí hiệu hàm F -PSH) hữu hạn xác định trên một tập con mở đa mịn (hay F -mở) của Cn.

Bài toán Dirichlet cho lớp toán tử M-A phức này trong miền giả lồi chặt với lớp độ đo đơn giản đã được nghiên cứu trong các bài báo [3], [4], [14], [20], [21]. Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính liên tục của nghiệm trong các bài báo đó. Tuy nhiên, bài toán Dirichlet này có thể tiếp tục nghiên cứu trong các lớp miền tổng quát hơn. Tiếp theo, bài toán Dirichlet cho toán tử M-A phức cho các hàm đa điều hòa dưới (kí hiệu là hàm PSH) trong miền giả lồi chặt với lớp độ đo tổng quát đã được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây.

Vào năm 2014, Dinew-Guedj-Zeriahi [13] đã đặt ra câu hỏi về sự tồn tại nghiệm liên 5 tục Hölder của bài toán Dirichlet này. Sau đó, Nguyễn Ngọc Cường trong [10] và [11] đã trả lời câu hỏi này bằng cách đã chứng minh bài toán có nghiệm toàn cục nếu bài toán có nghiệm dưới. Bài toán này vẫn tiếp tục được quan tâm nghiên cứu theo các cách tiếp cận khác nhau. Vào năm 1979, Bedford-Taylor [3] đã chỉ ra bài toán Dirichlet cho toán tử M-A cho các hàm PSH với miền giả lồi chặt, bị chặn với độ đo 0 có nghiệm duy nhất và nghiệm đó chính là bao Perron-Bremermann.

Đây là khái niệm được quan tâm nghiên cứu trong nhiều trường hợp khác nhau. Kết quả đầu tiên cho trường hợp nghiên cứu này trong miền giả lồi chặt được đưa ra bởi Bremermann [6] và Walsh [35]. Sau đó, bao Perron-Bremermann vẫn tiếp tục được nghiên cứu trong các lớp miền khác nhau. Chẳng hạn, Simioniuc và Tomassini [32] đã mở rộng nghiên cứu bao Perron-Bremermann trong miền giả lồi chặt không bị chặn.

Gần đây, Nilsson và Wikström [31] đã nghiên cứu trong miền B -chính quy bị chặn. Nhóm nghiên cứu của chúng tôi cũng rất quan tâm tới toán tử M-A phức và các bài toán liên quan tới toán tử này trong các miền xác định khác nhau. Vì vậy, để tiếp nối sự phát triển của hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: Sự liên tục của nghiệm đối với bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức. Mục đích nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các vấn đề sau đây.

Đầu tiên, chúng tôi xét bài toán Dirichlet của toán tử M-A phức trong miền BF -chính quy. Đây là bài toán Dirichlet mở rộng trong tôpô đa mịn hay còn gọi là tôpô plurifine. Tôpô đa mịn (kí hiệu F -tôpô) trên một miền Ω ⊂ Cn là tôpô yếu nhất trên Ω làm cho tất cả các hàm đa điều hòa dưới là liên tục trong Ω. Chúng tôi tìm hiểu sự tồn tại và tính liên tục của nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền BF -chính quy.

Tiếp theo, chúng tôi xem xét sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet 6 cho toán tử M-A phức trong miền bị chặn thông qua sự tồn tại nghiệm địa phương. Cuối cùng, chúng tôi tim hiểu tính liên tục trong miền B-chính quy và tính liên tục Hölder trong miền giả lồi chặt của bao Perron-Bremermann ứng với các hàm PSH. Đối tượng nghiên cứu • Miền giả lồi chặt, BF -chính quy, miền siêu lồi bị chặn và các hàm F -PSH. • Bài toán Dirichlet cho toán tử M-A phức trong miền BF -chính quy.

• Bài toán Dirichle cho toán tử M-A phức trong miền giả lồi chặt. • Bao Perron-Bremermann ứng với các hàm PSH trong miền B-chính quy và miền giả lồi chặt. Phương pháp nghiên cứu • Dùng kiến thức cơ bản của Giải tích hàm và Giải tích phức. • Dùng công cụ và các kĩ thuật cơ bản trong Lý thuyết đa thế vị và Lý thuyết đa thế vị đa mịn.

• Tham khảo kỹ thuật, ý tưởng trong các bài báo của hướng nghiên cứu này trong những năm gần đây. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án Lý thuyết đa thế vị và Lý thuyết đa thế vị đa mịn có nhiều ứng dụng trong Giải tích phức nhiều biến, Hình học vi phân phức, Phương trình đạo hàm riêng phức, Hệ động lực học phức, Giải tích hyperbolic. Trong đó, Bài toán Dirichlet cho toán tử M-A phức được nghiên cứu từ những năm 1970 và thu được nhiều kết quả quan trọng. Luận án nghiên cứu các bài toán Dirichlet cho cho toán tử M-A phức trong miền BF -chính quy, 7 miền giả lồi chặt.

Ngoài ra, trong luận án, chúng tôi còn mở rộng nghiên cứu tính liên tục và liên tục Hölder của bao Perron-Bremermann ứng với các hàm PSH trong miền siêu lồi bị chặn. Các kết quả của Luận án có ý nghĩa khoa học và đóng góp vào sự phát triển của Lý thuyết đa thế vị và Lý thuyết đa thế vị đa mịn cũng như các kỹ thuật trong lý thuyết này. Cấu trúc luận án Ngoài các phần chung theo quy định, Luận án gồm 3 chương chính sau: Chương 1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử Monge- Ampère phức trong miền BF -chính quy.

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi đưa ra khái niệm miền BF -chính quy. Đây là sự mở rộng của miền giả lồi chặt từ tôpô Euclid tới tôpô đa mịn. Tiếp đó, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử M-A phức trong miền BF -chính quy. Hơn nữa, chúng tôi còn chứng minh được nghiệm của bài toán Dirichlet đó không liên tục theo nghĩa thông thường, đây là tính chất khác biệt giữa miền giả lồi chặt và miền BF -chính quy.

Sử dụng tính chất này, chúng tôi chỉ ra ví dụ một miền là BF -chính quy nhưng không là miền giả lồi chặt. Tính liên tục Hölder địa phương của nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán Dirichlet trên miền giả lồi chặt khi và chỉ khi bài toán có nghiệm địa phương. Tính liên tục của bao Perron-Bremermann của các hàm đa điều hoà dưới Trong chương 3, phần đầu chúng tôi nhắc lại một số khái niệm trong lớp Cegrell của các hàm PSH như: Tập hợp các hàm có F a -mở rộng dưới, định nghĩa hàm non mạnh, hàm trội mạnh và một số tính chất quan trọng của chúng.

Từ đó, chúng tôi chứng minh sự liên tục và liên tục Hölder của bao Perron-Bremermann trong miền B-chính quy và miền giả lồi chặt. Chương 1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cho toán tử Monge- Ampère phức trong miền BF -chính quy Vào năm 2014, El Kadiri-Wiegerinck [25] đã giới thiệu và nghiên cứu toán tử M-A phức cho hàm F -PSH hữu hạn xác định trên một tập con F -mở của Cn. Trong đó, tôpô đa mịn trên Ω là tôpô yếu nhất trong Ω làm cho tất cả các hàm PSH trong Ω liên tục. Trong chương này, chúng tôi xét bài toán Dirichlet cho toán tử M-A phức cho các hàm F -PSH trong F -miền bị chặn trong Cn.

Cho Ω ⊂ Cn là một miền bị chặn, µ là một độ đo Borel trong Ω và φ là một hàm liên tục trong Cn .