Luận án tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận và bài toán điều khiển phương trình parabolic suy biến mạnh - Nguyễn Xuân Tú, ĐHSP Hà Nội 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN TÚ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN TÚ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học 1 Người hướng dẫn khoa học 2 GS. TS Cung Thế Anh TS Trần Văn Bằng Hà Nội, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS Cung Thế Anh và TS Trần Văn Bằng. Các kết quả được viết trong luận án là hoàn toàn mới và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình của ai khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Xuân Tú i LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.

TS Cung Thế Anh và TS Trần Văn Bằng. Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy.

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô và các thành viên của Seminar Giải tích, Khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2; Seminar Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, trường ĐHSP Hà Nội đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường khoa học sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hùng Vương, các anh chị em đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người thân đã luôn ở bên, động viên, chia sẻ để tác giả hoàn thành luận án này.

ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN. ii MỤC LỤC. 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài.

Mục đích nghiên cứu. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu. Kết quả của luận án.

Cấu trúc của luận án. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Các lớp toán tử. Toán tử ∆λ -Laplace.

Toán tử suy biến mạnh Ps,γ. Các không gian hàm. Lí thuyết tập hút toàn cục. Lí thuyết điều khiển được của hệ parabolic tuyến tính.

Một số định nghĩa. Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM). Một số kết quả bổ trợ. Một số bất đẳng thức.

Một số bổ đề và định lí quan trọng. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN. Đặt bài toán. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.

Sự tồn tại của tập hút toàn cục. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn. Tính compact tiệm cận của nửa nhóm {S(t)} t≥0. TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN.

Đặt bài toán. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Sự tồn tại của tập hút toàn cục. Sự tồn tại các tập hấp thụ bị chặn.

Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L 2 (RN ). Sự tồn tại tập hút toàn cục trong S 1 (RN ). TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH. Đặt bài toán và phát biểu kết quả chính.

Một số kết quả bổ trợ. Tính đặt đúng của bài toán. Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ. Bất đẳng thức Carleman.

Chứng minh kết quả chính. Lược đồ chứng minh Định lí 4. Chứng minh tính điều khiển được trong Định lí 4. Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 4.

84 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 91 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ. 93 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN không gian vectơ thực N chiều; C0∞ (Ω) không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω; |x| chuẩn Euclide của x trong không gian RN ; 〈·, ·〉 tích đối ngẫu giữa H và H ∗ ; (·, ·) tích vô hướng trong không gian Hilbert H; + hội tụ yếu; +∗ hội tụ ∗ -yếu; → hội tụ mạnh; ,→ phép nhúng liên tục; ,→,→ phép nhúng compact; h.n hầu khắp nơi; D2 ma trận Hessian; ∇ vectơ gradient; 1ω hàm đặc trưng của miền ω; N ∆λ toán tử suy biến mạnh ∆λ := ∂ x i (λ2i ∂ x i ); P i=1 γ1 giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất; D(∆λ ) miền xác định của toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất; ◦ 1,2 W λ (Ω) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong Chương 2; ◦ ∗ ◦ 1,2 1,2 W λ (Ω) không gian đỗi ngẫu của không gian W λ (Ω);
S 1 (RN ) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong Chương 3; S −1 (RN ) không gian đối ngẫu của không gian S 1 (RN ); S01 (Ω) không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán trong Chương 3, Chương 4. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Nhiều quá trình trong tự nhiên, khoa học, công nghệ và kĩ thuật dẫn đến việc nghiên cứu các lớp phương trình parabolic, như các quá trình truyền nhiệt, quá trình khuếch tán, các mô hình trong sinh thái học quần thể,.

Vì vậy, việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một trong những hướng tiếp cận đó là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Bên cạnh đó việc nghiên cứu tính điều khiển được của các lớp phương trình parabolic cũng có ý nghĩa rất quan trọng vì dưới tác động các lớp hàm điều khiển chấp nhận được bài toán có thể điều khiển được về các vị trí mong muốn.

Trong những năm gần đây, sự tồn tại và các tính chất định tính của nghiệm, nói riêng là dáng điệu tiệm cận và tính điều khiển được đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic. Chẳng hạn, lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính trong trường hợp không suy biến hoặc suy biến yếu được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [18, 21, 22, 28, 55, 59, 60, 69]). Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút, lí thuyết điều khiển đối với lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và khá hoàn thiện. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phương trình parabolic suy biến mạnh chưa có nhiều.

Khi xét trường hợp này do tính suy biến mạnh của hệ đã làm xuất hiện những khó khăn lớn về mặt toán học. Chẳng hạn, bài toán thiếu các định lí nhúng cần thiết, thiếu các kết quả cần thiết về tính chính quy nghiệm, thiếu các kết quả về nguyên lí cực trị, thiếu các ước lượng kiểu Carleman cần thiết,. Do đó bài toán đòi hỏi phải có những ý tưởng tiếp cận mới. Các phương trình parabolic suy biến mạnh xuất hiện một 5 cách tự nhiên trong vật lí, hóa học, sinh học,.

Hiện nay, việc nghiên cứu các lớp phương trình parabolic suy biến mạnh về dáng điệu tiệm cận nghiệm và bài toán điều khiển được đang là vấn đề mở, có nhiều ý nghĩa và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số kết quả về lí thuyết tập hút đối với phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lớp phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin (xem [34]), Gs u = ∆ x u + |x|2s ∆ y u, (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , s ≥ 0. Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập trong [62], một số lớp phương trình parabolic chứa toán tử này đã được nghiên cứu về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm. Kế đã mở rộng kết quả trong [3] với lớp phi tuyến tốt hơn (xem [4]), đó là lớp phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức C1 |u| p − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u| p + C0 với p ≥ 2, f 0 (u) ≥ −`, trong đó C, C0 , C1 , C2 , ` là các hằng số dương.

• Phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh Ps,γ : Trong những năm qua đã có nhiều tác giả nghiên cứu về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic chứa toán tử Ps,γ (xem [62, 63]). Cho tới nay, với hai lớp số hạng phi tuyến là thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev hay tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, theo hướng tiếp cận được sử dụng trong [4], các tác giả trong công trình 6 [64] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và tập hút toàn cục trong miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet. Tính chính quy của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu trong [61] và [64]. Kết quả trong [61, 64] sau đó đã được mở rộng đối với trường hợp miền không bị chặn (xem [1, 8]), trường hợp mà thiếu tính compact của các phép nhúng Sobolev.

Ta có thể tham khảo thêm các kết quả liên quan từ [2, 3, 9, 31, 38, 39, 44, 50, 51, 66]. Trong các công trình này, có một số hạn chế về điều kiện tăng trưởng của số hạng phi tuyến được áp đặt và số hạng phi tuyến kiểu mũ, như f (u) = eu , là không thỏa mãn.