Luận án Tiến sĩ: Định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan, hàm đếm rút gọn & duy nhất

ẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET VỀ àNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO HÀM ẾM RÚT GỌN VÀ VẤN Ề DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2023 ẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET VỀ àNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO HÀM ẾM RÚT GỌN VÀ VẤN Ề DUY NHẤT Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG TS. NGUYỄN VĂN THÌN THÁI NGUYÊN 2023 i Lời cam oan Tôi xin cam oan ây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Trần Phương và TS. Các kết quả viết chung với các tác giả khác ã ược sự nhất trí của ồng tác giả khi ưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng ược công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2023 Tác giả INTHAVICHIT Padaphet ii Lời cảm ơn Luận án ược thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Hà Trần Phương và TS. Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất ến thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám ốc ại học Thái Nguyên, Ban ào tạo ại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, Phòng ào tạo, Ban chủ nghiệm khoa Toán và các phòng Ban chức năng Trường ại học Sư phạm - ại học Thái Nguyên ã tạo mọi iều kiện thuận lợi giúp ỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng, Khoa Toán Trường ại hoc Sư phạm - ại học Thái Nguyên ã luôn giúp ỡ, ộng viên tác giả trong nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao ẳng Sư phạm Luangpra- bang nước CHDCND Lào cùng các ồng nghiệp ã tạo iều kiện giúp ỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn những người thân trong gia ình, những người ã chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm yêu thương, ộng viên, chia sẻ, khích lệ ể tác giả hoàn thành ược luận án. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2023 Tác giả INTHAVICHIT Padaphet Möc löc Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 ành lþ cì b£n thù hai vîi h m ¸m rót gån cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh tr¶n tr÷íng khæng Acsimet 14 1. Mët sè ki¸n thùc cì sð.

ành lþ cì b£n thù hai kiºu Cartan. 35 Ch÷ìng 2 Mët sè d¤ng ành lþ cì b£n thù hai cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh 36 2. ành lþ kiºu Cartan-Nochka cho ÷íng cong tr¶n tr÷íng khæng Acsimet. ành lþ cho ÷íng cong tr¶n h¼nh v nh khuy¶n.

63 Ch÷ìng 3 ành lþ duy nh§t cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh tr¶n h¼nh v nh khuy¶n 64 3. ành lþ duy nh§t kiºu Chen-Yan. ành lþ duy nh§t kiºu Fujimoto. 82 K¸t luªn 83 Danh möc Cæng tr¼nh cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n 84 T i li»u tham kh£o 85 1 Mð ¦u 1.

Làch sû nghi¶n cùu v lþ do chån · t i Trong nhúng n«m g¦n ¥y, Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh, hay cán gåi l Lþ thuy¸t Nevanlinna-Cartan ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc. ÷ñc xem nh÷ b­t ¦u bði c¡c cæng tr¼nh cõa H. Cartan v o n«m 1933 khi Æng x¥y düng c¡c d¤ng ành lþ cì b£n thù nh§t v thù hai cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh, Lþ thuy¸t Nevanlinna-Cartan ÷ñc ¡nh gi¡ l mët trong nhúng th nh tüu s¥u s­c, µp ³ v câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n håc nh÷ v§n · duy nh§t cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh, t½nh suy bi¸n cõa ÷íng cong ¤i sè, lþ thuy¸t h» ëng lüc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phùc v mët sè l¾nh kh¡c. K½ hi»u K tr÷íng âng ¤i sè, câ °c sè khæng, ¦y õ vîi chu©n sinh bði gi¡ trà tuy»t èi khæng Acsimet, W l C ho°c K v Pn (W) l khæng n gian x¤ £nh n chi·u tr¶n W.

Vîi ÷íng cong ch¿nh h¼nh f : C −→ P (C) câ mët biºu di¹n tèi gi£n l (f0 ,. Cho H l mët si¶u ph¯ng, L l mët d¤ng tuy¸n t½nh x¡c ành H v M l mët sè nguy¶n d÷ìng. Ta gåi nf (r, H) v nM f (r, H) l¦n l÷ñt l sè khæng iºm cõa L(f )(z) trong ¾a {|z| 6 r}, t÷ìng ùng kº c£ bëi hay bëi c­t cöt 2 bði M. H m Z r nf (t, H) − nf (0, H) Nf (r, H) = Nf (r, L) = dt + nf (0, H) log r 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m kº c£ bëi v h m Z r M nf (t, H) − nM f (0, H) NfM (r, H) = NfM (r, L) = dt + nM f (0, H) log r 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m bëi c­t cöt bði M cõa ÷íng cong f k¸t hñp vîi si¶u ph¯ng H.

Cartan ¢ chùng minh mët d¤ng ành lþ cì b£n thù hai cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc nh÷ sau: ành lþ A ([6]). Cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh f : C −→ Pn (C) v q si¶u ph¯ng H1 ,. , Hq ð và tr½ têng qu¡t trong Pn (C). Khi â b§t ¯ng thùc q X (q − n − 1)Tf (r) 6 Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 óng vîi måi r > 0 õ lîn n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n.

ành lþ A cho ta mët quan h» giúa h m °c tr÷ng cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh vîi c¡c h m ¸m bëi c­t cöt vîi möc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng ð và tr½ têng qu¡t. Cæng tr¼nh n y cõa H. Cartan ÷ñc ¡nh gi¡ h¸t sùc quan trång, mð ra mët h÷îng nghi¶n cùu mîi cho vi»c ph¡t triºn lþ thuy¸t Nevanlinna - nghi¶n cùu c¡c d¤ng ành lþ cì b£n thù hai cho ¡nh x¤ ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh v c¡c ùng döng cõa nâ. C¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu theo h÷îng n y trong thíi gian g¦n ¥y tªp trung v o hai v§n ·: 1.

X¥y düng c¡c d¤ng cõa ành lþ cì b£n thù hai cho ÷íng cong ch¿nh p p n h¼nh tø W ho°c mët mi·n trong W v o P (W) ho°c mët a t¤p ¤i sè x¤ n £nh trong P (W) vîi möc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng, si¶u m°t cè ành ho°c di ëng, b¬ng c¡ch thi¸t lªp quan h» giúa h m °c tr÷ng Nevanlinna-Cartan vîi c¡c h m x§p x¿ ho°c c¡c d¤ng h m ¸m kh¡c nhau. Nghi¶n cùu c¡c ùng döng cõa c¡c d¤ng cõa ành lþ cì b£n thù hai trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc, ch¯ng h¤n, t½nh ch§t cõa sè khuy¸t, v§n · duy nh§t cho h m hay ÷íng cong ch¿nh h¼nh, sü suy bi¸n cõa c¡c ÷íng cong ¤i sè v mët sè l¾nh vüc kh¡c. Theo h÷îng nghi¶n cùu thù nh§t, ti¸p nèi cæng tr¼nh cõa H. Cartan, ¢ câ nhi·u t¡c gi£ x¥y düng c¡c d¤ng ành lþ cì b£n thù hai b¬ng c¡ch thi¸t lªp c¡c quan h» b§t ¯ng thùc giúa h m °c tr÷ng cõa mët ÷íng cong ch¿nh h¼nh vîi c¡c x§p x¿ v h m ¸m khæng kº bëi hay h m ¸m bëi c­t cöt.

Tu ¢ nghi¶n cùu ành lþ A cho tr÷íng hñp ÷íng cong ch¿nh h¼nh tr¶n tr÷íng K v thu ÷ñc k¸t qu£: ành lþ B ([26]). Cho f : K → Pn (K) l mët ÷íng cong khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh v H1 ,. , Hq c¡c si¶u ph¯ng ph¥n bi»t Pn (K) ð và tr½ têng qu¡t. Yang ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa H.

Tu cho tr÷íng hñp hå si¶u ph¯ng ð và tr½ d÷îi têng qu¡t. Trong nhúng n«m g¦n ¥y, câ r§t nhi·u t¡c gi£ trong v ngo i n÷îc ¢ nghi¶n m cùu c¡c d¤ng ành lþ cì b£n thù hai cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh tø W m n hay mët mi·n tr¶n W v o P (W) hay mët a t¤p ¤i sè x¤ £nh trong W, trong c¡c tr÷íng hñp möc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng hay si¶u m°t cè ành hay di ëng, vîi c¡c d¤ng h m ¸m kh¡c nhau. Thin ([23]) v nhi·u t¡c gi£ kh¡c. N«m 2014, düa tr¶n c¡c nghi¶n cùu v· bëi khæng iºm cõa c¡c tê hñp tuy¸n t½nh khæng t¦m th÷íng cõa mët hå húu h¤n c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc t¤i mët iºm, J.

Hinkkanen ([4]) ¢ ÷a ra mët kh¡i ni»m mîi v· h m ¸m, ÷ñc gåi l h m ¸m rót gån v chùng minh mët d¤ng ành lþ cì b£n thù hai vîi h m ¸m rót gån n y cho tr÷íng hñp möc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng cè ành. Cö thº nh÷ sau: n Cho f : W −→ P (W) l mët ÷íng cong ch¿nh h¼nh v (f0 ,. , fn ) l mët biºu di¹n tèi gi£n cõa f. , fn ) l tªp hñp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh khæng t¦m th÷íng cõa c¡c h m f0 , .4 ta th§y, vîi méi z0 ∈ W, c¡c bëi khæng iºm câ thº câ cõa c¡c h m thuëc L t¤i z0 t¤o n¶n mët d¢y thäa m¢n 0 = d0 (z0 ) < d1 (z0 ) < · · · < dn (z0 ).

Vîi si¶u ph¯ng H x¡c ành bði d¤ng tuy¸n t½nh L, hiºn nhi¶n L(f ) ∈ L n¶n tçn t¤i j ∈ {0,. , n} sao cho bªc khæng iºm cõa L(f ) t¤i z0 b¬ng dj (z0 ), tùc l ordL(f ) (z0 ) = dj (z0 ). Ta k½ hi»u ν(H, z0 ) = j v gåi l bëi rót gån t¤i khæng iºm cõa L(f ) t¤i z0 , hay cán gåi l bëi rót gån cõa f k¸t hñp vîi si¶u ph¯ng H t¤i z0. Ta gåi ε(H, z0 ) = dj − j l bëi d÷ cõa L(f ) t¤i z0 hay cán gåi l bëi d÷ cõa f k¸t hñp vîi si¶u ph¯ng H t¤i z0.

Vîi méi r > 0, ta k½ hi»u νf (r, H) = P ν(H, z). V |z|6r h m Z r νf (t, H) − νf (0, H) Nf (r, H) = dt + νf (0, H) log r 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m rót gån cõa h m f k¸t hñp vîi si¶u ph¯ng H. n Tø ành ngh¾a ta th§y ν(H, z0 ) 6 min{dj , n} n¶n νf (r, H) 6 nf (r, H). , Hq } l mët hå c¡c si¶u ph¯ng ð và tr½ têng qu¡t 5 n trong P (W) v Lj l d¤ng tuy¸n t½nh ành ngh¾a Hj , j = 1, 2,.

Lq (f ) H= , W trong â W l ành thùc Wronskian cõa f0 , .