Luận án về Tồn tại Toán tử Picard trong Không gian Metric Suy Rộng - Đoàn Trọng Hiếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN TRỌNG HIẾU VỀ SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ PICARD TRONG MỘT SỐ LỚP KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN TRỌNG HIẾU VỀ SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ PICARD TRONG MỘT SỐ LỚP KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG Ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Hà Trần Phương 2. Bùi Thế Hùng Thái Nguyên - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Trần Phương và TS.

Bùi Thế Hùng. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào khác. Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2023 Tác giả Đoàn Trọng Hiếu Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.

TS Hà Trần Phương và TS. Bùi Thế Hùng. Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến hai thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè trong các seminar tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã luôn trao đổi, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học cơ bản, Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Tác giả Đoàn Trọng Hiếu ii Mục lục Lời cam đoan. ii Mục lục.

iii Một số ký hiệu và viết tắt. Toán tử Picard yếu trong không gian metric đầy đủ. Toán tử Picard yếu đơn trị. Toán tử Picard yếu đa trị.

Kết luận chương 1. Toán tử Picard và Picard yếu trong không gian b−metric mạnh. Toán tử Picard đơn trị. Toán tử Picard cho một số lớp ánh xạ kiểu Kannan đối với hàm điều khiển.

Toán tử Picard cho ánh xạ Kannan-Suzuki. Toán tử Picard cho ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki. Toán tử Picard yếu cho ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị. Kết luận chương 2.

Toán tử Picard và bổ sung đủ đối với không gian b-TVS metric nón mạnh. Tính chất lân cận của nón. Không gian b-TVS metric nón mạnh. Toán tử Picard trong không gian b-TVS metric nón mạnh.

Bổ sung đủ của không gian b-TVS metric nón mạnh. Kết luận chương 3. 80 Kết luận chung. 81 Danh mục các công trình đã công bố.

82 Tài liệu tham khảo. 83 iv Một số ký hiệu và viết tắt N tập các số tự nhiên R tập các số thực R+ tập các số thực không âm (X, ρ) không gian metric {an } dãy các phần tử của X {T n a} dãy lặp của ánh xạ T tại a CB(X) tập tất cả các tập con khác rỗng, đóng và bị chặn của X H(A, B) khoảng cách Hausdorff A := B A được định nghĩa bằng B d(a, A) khoảng cách từ điểm a đến tập A (X, D, K) không gian b−metric mạnh (X, E, C, K, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh TV S không gian vectơ tôpô E không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực θ vectơ gốc trong không gian E C nón trong không gian E v int C phần trong của nón C  quan hệ thứ tự bộ phận trên E T : A → 2B ánh xạ đa trị T A⊂B A là tập con của B ∩ phép giao A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B Ā bao đóng của A C[0,1] không gian các hàm liên tục trên [0,1] 1 C[0,1] không gian các hàm khả vi liên tục cấp một trên [0,1] IE ánh xạ đồng nhất trên E kf k∞ := sup |f (t)| chuẩn supremum của hàm f trên C[0,1] t∈[0,1] 2 kết thúc chứng minh vi Mở đầu 1. Lịch sử nghiên cứu và lý do chọn đề tài Năm 1922, S. Banach đã chứng minh một định lý nổi tiếng mà ngày nay ta thường gọi là "Nguyên lý ánh xạ co Banach".

[3] Cho (X, ρ) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ. Giả sử tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho ρ(T a, T b) 6 rρ(a, b) với mọi a, b ∈ X.1) Khi đó, T có điểm bất động duy nhất ā ∈ X và với mỗi a ∈ X , dãy lặp {T n a} hội tụ đến ā. Công trình này của S. Banach được đánh giá hết sức quan trọng, nó mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lý thuyết điểm bất động, đó là lý thuyết điểm bất động metric.

Trong những thập kỷ gần đây, lý thuyết điểm bất động metric được đánh giá là một trong những thành tựu của toán học. Lý thuyết điểm bất động đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước thu được nhiều kết quả quan trọng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân,. Nguyên lý ánh xạ co Banach cho chúng ta một điều kiện đủ để một ánh xạ từ không gian metric đầy đủ X vào chính nó có điểm bất động duy nhất. Có rất nhiều tác giả đã tìm cách phát triển Nguyên lý ánh xạ 1 co Banach với các điều kiện co khác nhau và trong các lớp không gian khác nhau.

Ran và cộng sự [34] năm 2004, M. Ri [40] năm 2016 và nhiều tác giả khác. Khi nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ, năm 1983, I. Khái quát khái niệm đó cho lớp các không gian tôpô ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.

Cho X là một không gian tôpô. Một ánh xạ T : X → X được gọi là toán tử Picard yếu nếu T có điểm bất động và với mỗi a ∈ X, dãy {T n a} hội tụ đến điểm bất động của T. Nếu T là toán tử Picard yếu và có duy nhất điểm bất động thì T được gọi là toán tử Picard. Từ định nghĩa trên ta thấy, toán tử Picard và toán tử Picard yếu liên quan chặt chẽ đến điểm bất động của ánh xạ, chẳng hạn ánh xạ co Banach là một toán tử Picard trên không gian metric đầy đủ.

Trong các công trình [42], [43], [44], [45], [48] của I. Berinde và một số công trình khác, các tác giả đã nghiên cứu một số tính chất của toán tử Picard và toán tử Picard yếu liên quan đến tập các điểm bất động của ánh xạ đơn và đa trị. Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại của các toán tử Picard gắn với điều kiện co. Các kết quả nghiên cứu theo hướng này trong thời gian gần đây được chia thành ba vấn đề chủ yếu: 1.

Xây dựng các điều kiện đủ để một ánh xạ là toán tử Picard hay toán tử Picard yếu trên lớp các không gian metric liên quan đến các điều kiện co. Xây dựng một số không gian có cấu trúc được mở rộng từ lớp không gian metric (ta thường gọi là không gian metric suy rộng) và xây dựng các điều kiện đủ liên quan đến điều kiện co, để một ánh xạ là toán tử Picard hay toán tử Picard yếu trên các lớp không gian này. Nghiên cứu các ứng dụng khác nhau của các lớp toán tử Picard và toán tử Picard yếu. Theo hướng nghiên cứu thứ nhất, các tác giả tập trung vào cải tiến điều kiện co Banach và xây dựng các điều kiện co mới để một ánh xạ là toán tử Picard hay toán tử Picard yếu.

Edelstein [11] đã thiết lập điều kiện đủ để một ánh xạ là toán tử Picard cho không gian metric compact: Với (X, ρ) là không gian metric compact thì một ánh xạ T : X → X thỏa mãn ρ(T a, T b) < ρ(a, b) với mọi a, b ∈ X, a 6= b, là toán tử Picard. Ở đây, điều kiện co của M. Edelstein nhẹ hơn điều kiện co của S. Banach, tuy nhiên điều kiện về không gian lại nặng hơn.

Tiếp theo công trình của M. Edelstein, đã có nhiều tác giả phát triển Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian metric bằng cách thay thế hằng số r trong điều kiện (0.1) bởi hằng số, tham số hay hàm số khác hoặc giới hạn điều kiện (0.1) chỉ cần đúng với một số phần tử a, b ∈ X. Chẳng hạn như A. Keeler [28] thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard trong không gian đầy đủ (X, ρ) dưới điều kiện: Với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho ε 6 ρ(a, b) < ε + δ kéo theo ρ(T a, T b) < ε với mọi a, b ∈ X; năm 2016, S.

Ri [40] thay thế hằng số co bởi hàm tham số và thu được: Cho (X, ρ) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ. Giả sử tồn tại hàm ϕ : (0, +∞) → (0, +∞) thỏa mãn ϕ(t) < t, lim sup ϕ(s) < t với s→t+ mọi t > 0 và ρ(T a, T b) 6 ϕ(ρ(a, b)) với mọi a, b ∈ X. Khi đó, T là toán tử Picard. Một số kết quả khác xem trong [18, 54, 60].

Năm 2007, bằng cách sử dụng hàm tham số không tăng, T. Suzuki đã thu được kết quả sau. [56] Cho (X, ρ) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ T từ X vào chính nó. Hàm không tăng ϕ : [0, 1) → ( 12 , 1] được định nghĩa bởi √ 5−1  1 nếu 0 6 r 6 2 , √   ϕ(r) = (1 − r)r−2 nếu 5−1 − 21 2 6 r 6 2 , 1  (1 + r)r−1 nếu 2− 2 6 r < 1.

 Giả sử tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho ϕ(r)ρ(a, T b) 6 ρ(a, b) kéo theo ρ(T a, T b) 6 rρ(a, b), với mọi a, b ∈ X. Khi đó, T là toán tử Picard. Việc xây dựng các điều kiện co mới, khác với điều kiện co Banach cũng thu hút được nhiều tác giả. Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến lớp ánh xạ co Kannan.