Luận án Tiến sĩ Toán: Toán tử p-Laplace trên các đa tạp Riemann, Nguyễn Đặng Tuyên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐẶNG TUYÊN MỘT VÀI KHÍA CẠNH CỦA TOÁN TỬ P -LAPLACE TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐẶNG TUYÊN MỘT VÀI KHÍA CẠNH CỦA TOÁN TỬ P -LAPLACE TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. Nguyễn Thạc Dũng PGS. Phạm Đức Thoan Hà Nội, 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học có uy tín trên thế giới. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Đặng Tuyên ii LỜI CẢM ƠN Luận án của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình của PGS. Nguyễn Thạc Dũng và PGS. Phạm Đức Thoan. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy.

Các thầy luôn chỉ bảo, sẻ chia, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (Đại học Quốc gia Hà Nội), Phòng Sau đại học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi dành cho tôi. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã giảng dạy, giúp đỡ và góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tập đoàn Vingroup, Quỹ Đổi mới sáng tạo VINIF đã tài trợ học bổng cho tôi với thông tin tài trợ như sau: Nguyễn Đặng Tuyên được tài trợ bởi Tập đoàn Vingroup – Công ty CP và hỗ trợ bởi Chương trình học bổng thạc sĩ, tiến sĩ trong nước của Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn, mã số VINIF.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn đồng hành, khích lệ, động viên tôi và chia sẻ các khó khăn để tôi có thể hoàn thành được luận án này. Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục các quy ước và kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 1 TỔNG QUAN 11 1.1 Tính triệt tiêu của các dạng vi phân p-điều hòa trên các đa tạp Riemann .2 Tính triệt tiêu của 1-dạng vi phân p-điều hòa trên các đa tạp con thực hoàn toàn trong dạng không gian phức .3 Định lí Liouville cho phương trình elliptic trên các đa tạp Riemann .4 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplace có trọng trên các đa tạp Riemann. 24 2 TÍNH TRIỆT TIÊU CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN P -ĐIỀU HÒA TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN 26 2.1 Công thức Weitzenböck .2 Tính chất triệt tiêu trên các đa tạp với bất đẳng thức Poincaré có trọng .3 Tính chất triệt tiêu trên các đa tạp với tensor độ cong thuần túy .4 Tính chất triệt tiêu trên các đa tạp với bất biến Yamabe dương .5 Tính triệt tiêu của 1-dạng vi phân p-điều hòa trên các đa tạp con thực hoàn toàn trong dạng không gian phức. 47 3 ĐỊNH LÍ LIOUVILLE CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN 67 3.1 Tính chất triệt tiêu cho nghiệm của phương trình loại Lichnerowicz p-Laplace .2 Một số hệ quả.

72 iv 4 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH P -LAPLACE CÓ TRỌNG TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN 75 4.1 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplace có trọng .2 Các định lí Liouville và ước lượng gradient địa phương. 84 Kết luận và kiến nghị 89 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, chúng tôi thống nhất một số kí hiệu như sau: • (M n , g): Đa tạp Riemann n-chiều M với metric Riemann g. • Tx M : Không gian tiếp xúc của M tại điểm x ∈ M. • Ωℓ (M ): Tập hợp các ℓ-dạng vi phân trơn trên M.

• H p,ℓ (LQ (M )) = ℓ-dạng vi phân p-điều hòa ω sao cho  R M |ω|Q < ∞. • C ∞ (M ): Tập hợp các hàm trơn trên M. • C0∞ (M ): Tập hợp các hàm trơn có giá compact trong M. • Bx (r): Hình cầu trắc địa tâm tại điểm x, bán kính r.

vi MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích hình học là một lí thuyết toán học đẹp đẽ liên kết hình học, giải tích và tô pô, trong đó giải tích là công cụ chính để nghiên cứu hình học và tô pô của các đa tạp Riemann. Chúng ta đã biết rằng nhóm đồng điều kì dị trên một đa tạp trơn, compact có thể được nghiên cứu thông qua lí thuyết phân tích Hodge và nhóm đối đồng điều De Rham trên các dạng vi phân. Đây là một kết quả nổi tiếng trong tô pô và giải tích.

Hơn nữa, định lí tách cổ điển của Cheeger – Gromoll khẳng định rằng nếu một đa tạp đầy đủ M với độ cong Ricci không âm có chứa một đường thẳng trắc địa thì nó đẳng cự với một hình trụ N × R trong đó N là một đa tạp Riemann với độ cong Ricci không âm. Wang [52, 54] đã tổng quát hóa kết quả của Cheeger-Gromoll lên các đa tạp với độ cong Ricci bị chặn dưới. Kết quả của Li-Wang (thực chất là mở rộng lí thuyết của Cheeger-Gromoll và X. Wang [84]) nói rằng nếu giá trị riêng thứ nhất của toán tử Laplace đạt giá trị cực đại thì các đa tạp này hoặc liên thông tại vô hạn hoặc có tính chất tách.

Do đó, ta có thể sử dụng lí thuyết tuyến tính của toán tử Laplace, đặc biệt lí thuyết dạng vi phân điều hòa để tìm hiểu các tính chất hình học và tô pô của các đa tạp. Một trong các bài toán thú vị của hình học và tô pô là đi tìm các điều kiện 1 đủ trên một đa tạp đầy đủ sao cho ta có thể thu được các định lí triệt tiêu cho các dạng vi phân điều hòa hoặc p-điều hòa. Đây là một vấn đề thú vị bởi vì như chúng ta biết, khi M là đa tạp compact thì không gian các ℓ-dạng vi phân điều hòa đẳng cấu với nhóm đối đồng điều De Rham thứ ℓ của nó. Mặc dù, điều này không đúng cho trường hợp M không compact nhưng việc nghiên cứu các ℓ-dạng vi phân L2 điều hòa là quan trọng (xem [17]).

Với giả sử độ cong Ricci bị chặn dưới, P. Li [49] đã chứng minh rằng trên đa tạp compact, không gian các ℓ-dạng vi phân điều hòa có hữu hạn chiều. Wang [52] đã chứng minh được một định lí triệt tiêu của các 1-dạng vi phân L2 điều hòa nếu độ cong Ricci bị chặn dưới bởi số hạng chứa số chiều và giá trị riêng thứ nhất như sau. Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ.

Giả sử λ1 (M ) > 0 và Ric ≥ − nλn−1 1 (M ) + ε, với một hằng số ε > 0 nào đó. Lin xét đa tạp Riemann với độ cong vô hướng không âm và thu được trong bài báo [58] một định lí triệt tiêu nếu M thỏa mãn một bất đẳng thức Poincaré có trọng như sau. Cho (M n , g)(n ≥ 4) là một đa tạp Riemann không compact, đầy đủ, thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré có trọng (1.2) với hàm trọng dương ρ(x) và độ cong vô hướng R ≥ 0. Khi đó, mọi ℓ-dạng vi phân đóng và đối đóng ω trên M thỏa (ℓ−1) (n+1)(n−2)3 mãn lim inf r12 R |ω|2 = 0 đều triệt tiêu.

r→∞ Bx0 (r) Nhắc lại rằng, E và W lần lượt là tensor Ricci với vết bằng không và tensor độ cong Weyl của M. Để thấy rõ các kết quả theo hướng nghiên cứu này, chúng ta có thể tham khảo thêm trong các bài báo [9, 15, 51, 54, 55, 68, 76] và các tài liệu tham khảo trong đó. Lí thuyết về các dạng vi phân L2 điều hòa đã được phát triển nhiều. Một vấn đề rất tự nhiên là tìm các kết quả tương tự cho không gian các dạng vi phân LQ p-điều hòa.

Đối với 1-dạng vi phân p-điều hòa, khi một bất đẳng thức Poincaré có trọng đúng trên M , Chang-Chen-Wei [18] thu được một vài định lí triệt tiêu 2 cho các hàm p-điều hòa với năng lượng Lq hữu hạn, trong đó p > 1 và q ∈ R+. Zhang [96] thu được một định lí triệt tiêu nếu M có độ cong Ricci không âm như sau. Nếu M là một đa tạp không compact, đầy đủ, với độ cong Ricci không âm thì không có 1-dạng vi phân p-điều hòa khác không trong Lq (M ), trong đó 0 < q < ∞ và p > 1. Xuất phát từ kết quả này, Chang-Guo-Sung [19] tổng quát hóa kết quả của X.

Zhang và thu được tính compact cho bất kì tập hợp bị chặn của các 1-dạng vi phân p-điều hòa. Liang [41] thu được một vài định lí về tính hữu hạn và tính triệt tiêu dưới giả thiết về độ cong vô hướng và độ cong Ricci. Bên cạnh đó, Sung-Wang [80] sử dụng lí thuyết về các hàm p-điều hòa để chỉ ra vài tính chất của đa tạp Riemann với p-phổ lớn nhất. Dũng [28] chứng minh định lí triệt tiêu cho các ℓ-dạng vi phân Lp p-điều hòa như sau.

Giả sử M là đa tạp Riemann thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré có trọng với hàm trọng dương ρ. Nếu toán tử độ cong Weitzenböck 4(p−1) Kℓ > −aρ và a < p2 thì mọi ℓ-dạng vi phân p-điều hòa (2 ≤ ℓ ≤ n − 2) có chuẩn Lp hữu hạn trên M đều triệt tiêu. Chúng ta có thể xem thêm các kết quả trong các bài báo [34, 40, 41, 60, 77, 78, 83] và tài liệu tham khảo trong đó để thấy thêm sự phát triển của hướng nghiên cứu này. Từ các kết quả trên, chúng tôi đặt ra bài toán là xây dựng các định lí triệt tiêu cho dạng vi phân p-điều hòa trên các đa tạp Riemann.

Mặt khác, như ta đã biết phương trình ∆f u + h(u) = 0 có chứa nhiều lớp phương trình quan trọng trong phương trình vi phân và vật lí. Ví dụ, khi hàm h(u) = bu + up với hằng số b < 0 và p > 1 và f ≡ const thì phương trình trên trở thành một phương trình loại Yamabe như sau ∆u + bu + up = 0.