Một số vấn đề về đồng cấu lannes zarati modulo p some problems about the modulo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS. LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS. NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.

PHAN HOÀNG CHƠN PGS. NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. Phan Hoàng Chơn và PGS. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các kết quả trong luận án là trung thực, được đồng tác giả là thầy hướng dẫn của tôi cho phép sử dụng khi đưa vào luận án và chưa từng được ai công bố trước đó. TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tác giả PGS. Phan Hoàng Chơn PGS. Nguyễn Sum Phạm Bích Như i Lời cảm ơn Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự tận tình hướng dẫn và giúp đỡ của PGS.

Phan Hoàng Chơn, PGS. Nguyễn Sum và rất nhiều người khác. Nhân dịp này tôi xin gửi lời tri ân đến tất cả những người đã giúp đỡ tôi. Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.

Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh và là người bạn đồng hành luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu sinh. Mặc dù rất bận rộn nhưng thầy đã rất kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho tôi những kiến thức cơ bản nhất về Tôpô đại số mỗi tuần trong suốt 2 năm. Nếu không có thầy tôi không thể có quyết tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ. Tôi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc đối với PGS.

Nguyễn Sum, thầy đã giảng dạy, hướng dẫn và cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý báu về chuyên môn cũng như định hướng nghiên cứu. Thầy là người nghiêm túc trong học thuật nhưng lại rất gần gũi, giản dị trong cuộc sống và là nhân duyên để tôi trở thành nghiên cứu sinh của Trường Đại học Quy Nhơn. Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS. Lê Công Trình, thầy đã luôn động viên và hướng dẫn các thủ tục cần thiết để tôi có thể hoàn thành chương trình học.

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học và quý Thầy, Cô của Khoa Toán đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành tốt việc học tập tại trường. Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, quý thầy cô ở Bộ môn Toán đã chia sẻ công việc, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều để tôi có thể thuận lợi hoàn thành việc học tập nâng cao trình độ. Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền đã luôn thấu hiểu và cho em những lời khuyên chân thành. ii Xin cảm ơn các anh, chị, em cùng học nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là hai cô em gái dễ thương TS.

Dư Thị Hòa Bình và TS. Lưu Thị Hiệp, đã luôn sát cánh động viên, giúp đỡ rất nhiều cho tôi ngay từ những ngày đầu ra Quy Nhơn học tập để tôi vượt qua được những khó khăn và có thêm động lực hoàn thành tốt nhất chương trình nghiên cứu sinh của mình. Lời cuối cùng, tôi muốn cảm ơn đến đại gia đình của tôi đã luôn chia sẻ, động viên tôi trong lúc khó khăn, đặc biệt tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến mẹ tôi, người đã sinh ra tôi, suốt đời hy sinh cho chị em tôi. Cảm ơn mẹ đã chăm sóc các cháu để con yên tâm học tập.

Cảm ơn chồng đã luôn ủng hộ quyết định của em. Cảm ơn hai con đã cho mẹ thêm động lực để mẹ không ngừng cố gắng. Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng trong luận án D[s]: Không gian con của tất cả các bất GLs : Nhóm tuyến tính tổng quát, 17 biến dưới tác động của GLs của H n (X, F2 ): Đối đồng điều thứ n của X Fp [y1 ,. , ys ], 18 lấy hệ số trên F2 , 12 Es = (Z/p)s : Không gian véctơ s chiều Hs (M ): Đồng điều thứ s của M , 20 hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, N # : Đối ngẫu của N , 2 4, 15, 17, 28 P i : Lũy thừa Steenrod bậc i trên Fp , 1, P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )): Đối ngẫu của 12 đại số Dickson F2 ⊗A D[s], 44 QX: Không gian vòng lặp vô hạn của Ps = H ∗ BEs : Đối đồng điều của không X, 2 gian phân loại BEs , 15, 17 Ss : Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 Sq : Toán tử squaring, 77 0 Sq i : Toán tử Steenrod bậc i trên F2 , 1, ∗,∗ (Fp , M ): Đồng điều của đại số TorA 11 Steenrod lấy hệ số trên A -môđun Sts : Lũy thừa toàn thể (không ổn định) M , 16, 20, 22, 35 , 29, 31, 35 A : Đại số Steenrod trên trường Fp , 1, ExtA (M, Fp ): Đối đồng điều của đại ∗,∗ 13, 14 số Steenrod lấy hệ số trên A - A∗ : Đối ngẫu của đại số Steenrod trên mô đun M , 4, 17 trường Fp , 14 ∗,∗ ExtA (F2 , F2 ): Đối đồng điều của đại Ds (−): Dẫn xuất thứ s của hàm tử D , số Steenrod lấy hệ số trên trường 16, 35, 36 F2 , 10, 77 Ds : Dẫn xuất thứ s của hàm tử D , 15 ∗,∗ ExtA (Fp , Fp ): Đối đồng điều của đại e ∗ (BZ/p): Đối đồng điều thu gọn của H số Steenrod lấy hệ số trên trường không gian phân loại của p-nhóm Fp , 2, 4, 51, 52 abel sơ cấp, 4, 6, 75 e ∗ (BZ/p), Fp ): Đối đồng điều ∗,∗ ExtA (H 0 e : Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của P của đại số Steenrod lấy hệ số P , 44, 45, 48 0 trên H e ∗ (BZ/p), 8, 47, 60, 73 BEs : Không gian phân loại của Es , 15, Γ+ M : Phức dây chuyền của A -môđun 17 M , 4, 20, 21 iv Λ: Đại số Lambda, 5, 23, 24 Rs : Hàm tử Singer , 15 Λs : Không gian con của Λ sinh bởi tất Rs M : Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, cả các đơn thức có độ dài là s, 31–33, 35, 36, 76 23 P 0 : Toán tử lũy thừa, 44, 76 Σs M : Treo thứ s của M , 14, 15, 36 π∗S (S0 ): Nhóm đồng luân ổn định của Σpn : Nhóm đối xứng tác động lên tập mặt cầu, 2 cơ sở của Es , 5, 28 Ann(N ): Không gian con của N # bao # β: Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 gồm tất cả các phần tử triệt tiêu F2 : Trường số có 2 phần tử, 1 bởi tác động của các phần tử bậc Fp : Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 dương của A , 2, 51, 52 Z/p: Σps -môđun tầm thường của Z/p, e ∗ RP ∞ : Đối đồng điều thu gọn của H 28 không gian xạ ảnh vô hạn chiều, B [s]: Ảnh của ánh xạ hạn chế từ đối 3 đồng điều của nhóm đối xứng e ∗ RP n : Đối đồng điều thu gọn của không H Σpn đến đối đồng điều của p- gian xạ ảnh n chiều, 3 nhóm abel sơ cấp lấy hệ số trên e ∗ (BZ/p): Đồng điều thu gọn của không H Z/p, 29 gian phân loại của p-nhóm abel M: Phạm trù của các A -môđun trái sơ cấp, 47, 58 phân bậc, 14 P̂ : A -môđun mở rộng của P1 , 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs : Không gian con của R, 6, 24, 52, 58 U : Phạm trù của tất cả các A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z/p: Σps -môđun của Z/p thông qua tác động dấu, 28 B [s]: Ảnh của ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều của nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều của p- nhóm abel sơ cấp lấy hệ số trên Z/p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D : Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục vi Mở đầu 1 Chương 1.

Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đại số Steenrod .2 Môđun trên đại số Steenrod .3 Đồng cấu Lannes-Zarati .4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum .5 Đại số Lambda và đại số Dyer-Lashof. Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati 28 2.1 Hàm tử Singer .2 Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati .3 Chứng minh Mệnh đề 2.4 Toán tử lũy thừa .5 Trường hợp p = 2 .6 Kết luận Chương 2. Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati 51 3.1 Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p trên Fp .2 Đối đồng điều của đại số Steenrod .3 Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p trên H e ∗ (BZ/p) .4 Ảnh của đồng cấu Lannes-Zarati modulo 2 trên F2 và H e ∗ (BZ/2) .5 Kết luận Chương 3. 89 vi Kết luận 90 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều và đối đồng điều kì dị là các công cụ được sử dụng để nghiên cứu bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô.

Tuy nhiên các công cụ này chưa đủ mạnh để giải quyết bài toán quan trọng này. Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng các toán tử đối đồng điều như sau với mỗi số nguyên i ≥ 0 Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), trong đó X là không gian tôpô, F2 là trường có 2 phần tử là 0, 1 và H ∗ (X, F2 ) là đối đồng điều của X trên trường F2. Toán tử Sq i gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i. Toán tử này tác động một cách tự nhiên trên đối đồng điều của X với hệ số trên F2.

Đến năm 1952, ông [60] đã mở rộng kết quả này cho trường hợp p là số nguyên tố lẻ. Cụ thể với mỗi số nguyên không âm i, ông đã xây dựng một toán tử P i : H q (X, Fp ) → H q+2(p−1)i (X, Fp ), và P i được gọi là lũy thừa Steenrod.