Luận án Tiến sĩ Toán: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 Phản biện 1: GS. Đặng Đức Trọng Phản biện 2: PGS. Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 3: TS. Đào Văn Dương Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS.

Đinh Thanh Đức TS. Lê Quang Thuận BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Lời cam đoan Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tập thể hướng dẫn Tác giả PGS. Đinh Thanh Đức Nguyễn Ngọc Huề Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn đầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của PGS.

Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận. Lời đầu tiên, cho tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt, hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm việc, nghiên cứu hoàn thành Luận án của mình. Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến thầy GS.

Vũ Kim Tuấn, các em Dương Quốc Huy và Nguyễn Dư Vi Nhân, đã có những giúp đỡ, đóng góp quan trọng cho tôi trong việc nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng tất cả quý thầy, cô giáo đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Trường Đại học Tây Nguyên, gia đình, anh em bạn bè, những người luôn chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành Luận án. i Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn i Danh mục các kí hiệu iv Mở đầu 1 Chương 1.

Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và áp dụng 9 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho các hàm (Mφ , Mψ )-lồi .3 Áp dụng vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma và các trung bình đặc biệt. Bất đẳng thức kiểu Jensen và áp dụng 38 2.1 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân .2 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy .1 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân .2 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy. 53 ii Chương 3. Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trên không gian đo được và áp dụng 55 3.2 Bất đẳng thức đối với tích phân cho hàm lồi trên không gian đo .3 Áp dụng vào tích phân bậc không nguyên .1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen đối với tích phân bậc không nguyên .2 Bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với tích phân bậc không nguyên.

Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và áp dụng 69 4.1 Trung bình có trọng kiểu Hölder .2 Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder .3 Các đặc trưng của hàm lồi suy rộng kiểu Hölder dương .4 Các bất đẳng thức cho hàm lồi suy rộng kiểu Hölder .1 Các bất đẳng thức kiểu Jensen .2 Các bất đẳng thức kiểu Popoviciu và Rado .5 Một số áp dụng .1 Tính lồi Hölder của hàm Gamma và áp dụng .2 Áp dụng vào chuỗi lũy thừa .3 Áp dụng vào trung bình lũy thừa. 96 Kết luận 98 Danh mục công trình liên quan 100 Tài liệu tham khảo 100 Chỉ mục 110 iii Danh mục các kí hiệu Rn : không gian Euclide n-chiều Rn+ : tập hợp {(x1 ,. , xn ≥ 0} R2+ : tập tất cả các (w1 , w2 ) ∈ R2+ sao cho w1 + w2 = 1 x : (x1 ,. , xn > 0, Wn 1 Wn n Mn (r, x, w) : −( w1 (−x1 )r + · · · + wn (−xn )r )1/r x1 > 0,.

, xn > 0  Wn Wn Mn (0, x, w) : lim+ Mn (r, x, w) = lim− Mn (r, x, w) r→0  r→0  w1 f s (x1 ) + · · · + wn f s (xn ) 1/s nếu s 6= 0, 
Wn Wn Mn (s, f x, w) : [f (x1 )]w1 /Wn. [f (xn )]wn /Wn  nếu s = 0. Pn Wn : i=1 wi > 0 iv ∆k f (0) : Sai phân cấp k của hàm f tại x = 0 Xcp (a, b) : Không gian các hàm giá trị phức f thỏa mãn R 1/p b c p dt  a |t f (t)| t  < ∞ nếu 1 ≤ p < ∞, kf kXcp = ess sup |tc f (t)| < ∞  nếu p = ∞. , x∗n ) f (k) (x) : đạo hàm bậc k của f tại x f k (x) : lũy thừa bậc k của giá trị f (x) f 0 (x) : đạo hàm cấp một của f tại x f 00 (x) : đạo hàm cấp hai của f tại x t.ư : tương ứng v Mở đầu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH), được Hermite [41] nêu ra lần đầu tiên vào năm 1883 và được phát hiện lại mười năm sau đó bởi Hadamard [37], cho ta các ước lượng chặn trên và chặn dưới đối với giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một khoảng đóng, liên quan đến trung điểm và các điểm cuối của miền xác định.

Chính xác hơn, nếu f : [a, b] → R là hàm lồi liên tục thì ta có   Z b a+b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)dx ≤. Cụ thể, nếu f : [a, b] → R là hàm lồi và w : [a, b] → R là hàm mật độ đối xứng qua a+b 2 thì a + b Z b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)w(x)dx ≤. (FI) 2 b−a a 2 Các bất đẳng thức (HH), (FI) là các công cụ mạnh để ta ước lượng giá trị trung bình tích phân của một hàm lồi trên một đoạn. Một điểm khá thú vị là khái niệm hàm lồi lại được đề xuất một cách chính thức muộn hơn bởi Jensen [53] vào cuối năm 1906.

Ông đã sử dụng hạng tử đầu và hạng tử cuối trong (HH) để định nghĩa hàm lồi thông qua bất đẳng thức hàm. Cụ thể hơn, nếu I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là một hàm thì f được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên I khi   x+y f (x) + f (y) f ≤ (JC) 2 2 với mọi x, y ∈ I. Nếu bất đẳng thức (JC) đổi chiều thì f được gọi là hàm lõm theo nghĩa Jensen hay J-lõm trên I. Ý tưởng cơ bản của bất đẳng thức hàm (JC) là dựa trên đánh giá các giá trị của hàm thông qua các trung bình số học.

Đây là một đóng góp to lớn của Jensen cho sự phát triển của toán học mà ngày nay dường như nó bao phủ rộng khắp các lĩnh vực khác nhau của toán học [30]. 1 Ngày nay, người ta thường định nghĩa hàm lồi thông qua trung bình số học có trọng. Cụ thể hơn, nếu I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là một hàm thì ta nói f là hàm lồi trên I nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (CF) với mọi λ ∈ [0, 1] và mọi x, y ∈ I. Nếu bất đẳng thức (CF) đổi chiều thì f được gọi là hàm lõm trên I (xem [75, Chương 1]).

Từ các định nghĩa hàm lồi và J-lồi ở trên, dễ thấy rằng nếu f là hàm lồi trên khoảng I thì nó cũng là hàm J-lồi trên I. Tuy nhiên, để một hàm J-lồi trên I trở thành hàm lồi trên I thì nó phải có thêm tính chất liên tục trên đó. Bất đẳng thức kép (HH) không chỉ là một hệ quả của tính lồi mà còn đặc trưng cho tính lồi. Tức là, mọi hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức bên trái hoặc bên phải trên mọi khoảng con của miền xác định thì hàm đó là hàm lồi [85, Định lý 1].

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và trở thành viên đá nền móng quan trọng trong giải tích toán học và tối ưu. Nhiều kết quả cổ điển liên quan đến bất đẳng thức này có thể được tìm thấy trong chuyên khảo của Pečarić, Proschan và Tong [75]. Đặc biệt, trong hai thập kỷ gần đây, nó đã nhận được rất nhiều sự chú ý. Thực tế, có sự tăng lên đáng kể về các tài liệu cung cấp các chứng minh mới, các làm mịn, tổng quát hóa, các nội suy khác nhau và các áp dụng trong lý thuyết các trung bình.

Chuyên khảo của Dragomir và Pearce [25] cho chúng ta một cái nhìn toàn diện về lĩnh vực này. Sự hiện diện của nó trong các áp dụng là động lực chính thúc đẩy việc mở rộng nó đến các trường hợp tổng quát hơn. Để tổng quát hóa khái niệm tính lồi, một vấn đề tự nhiên là thay thế các trung bình số học có trọng trong bất đẳng thức (CF) bởi các cặp trung bình tổng quát hơn. Dựa vào ý tưởng này, trước hết, chúng tôi xây dựng một khái niệm suy rộng mới về trung bình được định nghĩa trên một khoảng thực.

Sau đó, dựa vào trung bình suy rộng như vậy, một khái niệm mới về hàm lồi suy rộng sẽ được giới thiệu và nghiên cứu.