Luận án Tiến sĩ: Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. ĐOÀN THẾ HIẾU 2. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS. Đoàn Thế Hiếu và TS.

Nguyễn Hà Thanh. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Duyên ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS.

Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp.

Hồ Chí Minh, - Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Người thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Duyên iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 SƠ LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU 6 1.1 Độ cong trung bình .2 Mặt cực tiểu. Một số ví dụ .3 Một số kết quả quan trọng về mặt cực tiểu .4 Dòng độ cong trung bình.

Các nghiệm tự đồng dạng .5 Kết luận Chương 1. 20 2 MẶT f -CỰC TIỂU 21 2.1 Đa tạp với mật độ .2 Mặt f -cực tiểu. Một số ví dụ .3 Một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu .4 Mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình .5 Kết luận Chương 2. 32 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH 34 3.1 Không gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz .2 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong không gian tích cong R+ ×w Gn .3 Một số kết quả về mặt f -cực đại trong không gian tích Lorentz Gn × R1 .4 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu đối chiều cao.

Đồ thị tự co rút đối chiều cao trong không gian Ơclit.5 Kết luận Chương 3. 72 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 73 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa BRn Hình cầu tâm O bán kính R trong Rn Gn Không gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss H, H~ Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Hf , H~f Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ n, N Vectơ pháp đơn vị SRn−1 Siêu cầu tâm O bán kính R trong Rn CR Siêu trụ tâm O bán kính R trong Rn+1 L(C) Độ dài Riemann của đường cong C Lf (C) Độ dài của đường cong C theo mật độ e−f ds, dA Phần tử diện tích Riemann dsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−f dV Phần tử thể tích Riemann dVf Phần tử thể tích theo mật độ e−f p r(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 ,. , xn ) ∈ Rn Area(M ) Diện tích của M Areaf (M ) f -diện tích của M Vol(M ) Thể tích của M Volf (M ) f -thể tích của M Tp Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p δij Ký hiệu Kronecker   ∆f ; ∇f Laplace của hàm f ; Gradient của hàm f , tức là ∇f = df dxi ∇X Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc trường vectơ X α(t) Đường cong α ∂Ω Biên của miền Ω |x| Chuẩn của vectơ x p. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn  Kết thúc chứng minh v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ HÌNH TÊN HÌNH TRANG Hình 1.1 Mặt cực tiểu Catenoid 12 Hình 1.2 Mặt cực tiểu Helicoid 13 Hình 1.3 Mặt cực tiểu Scherk 14 Hình 1.4 Đường cong Grim Reaper 20 Hình 2.1 Mật độ của không gian Gauss tập trung về gốc tọa độ 22 Hình 3.2 Mặt trụ là một không gian tích cong 38 Hình 3.3 Mặt hyperbolic 1-tầng là một không gian tích cong 38 Hình 3.4 Mặt Catenoid là một không gian tích cong 38 Hình 3.5 Vectơ kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong R31 42 Hình 3.5 Một phần của slice và đồ thị cùng biên 47 Hình 3.6 Slice P, đồ thị toàn phần Σ và Gn trong R+ ×w Gn 49 Hình 3.7 Đồ thị toàn phần Σ và G trong G ×a G n + n 51 Hình 3.8 Slice P và đồ thị toàn phần Σ trong G+ ×a Gn 52 Hình 3.9 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ trong Gn × R1 57 1 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M, g) cùng với một hàm mật độ trơn, dương e−f được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.

Thể tích với mật độ của một miền E và diện tích với mật độ của một siêu mặt Σ lần lượt được xác định bởi các công thức Z Z Volf (E) = e dV và Areaf (Σ) = −f e−f dA, E Σ trong đó dV và dA tương ứng là phần tử thể tích và phần tử diện tích Riemann. Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng bộ ba (M, g, e−f dV ) để chỉ đa tạp Riemann (M, g) cùng với với mật độ e−f , đặc biệt khi M là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng chính tắc và mật độ e−f thì ta ký hiệu đơn giản là (Rn , e−f ). Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M. Gromov (xem [26]) đã mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ của siêu mặt, ký hiệu Hf , được xác định bởi công thức 1 Hf := H + h∇f, Ni, n−1 trong đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt.

Định nghĩa trên đã được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]). Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu,. với mật độ còn được gọi một cách đơn giản là f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu,. Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý khi nghiên cứu các mặt hoặc các vùng trên mặt có sự phân bố mật độ nội tại khác nhau tại các điểm khác nhau, để xác định khối lượng của chúng ta cần tính tích phân theo mật độ.

Ngoài ra, đa tạp với mật độ còn liên quan đến lĩnh vực Kinh tế khi mặt phẳng xác suất Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ 2π 1 −r2 /2 e , được dùng thường xuyên trong xác suất thống kê. Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn ý nghĩa thực tiễn. Đa tạp với mật độ đã xuất hiện khá lâu trong Toán học dưới tên gọi khác là “ mm-không gian” hoặc “đa tạp với trọng” (weighted manifolds). Sau này, giáo sư Morgan đã gọi tên lớp đa tạp này là “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]).

2 Hiện nay, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực mới đang được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học, trong đó phải kể đến giáo sư Morgan và nhóm cộng sự của ông. Họ đã chứng minh được nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). Một siêu mặt Σ trong (M, g, e−f dV ) (tương ứng trong (M, g)) được gọi là f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) nếu f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) của Σ thỏa mãn Hf (Σ) = 0 (H(Σ) = 0). Nếu Hf (Σ) = λ là một hằng số thì Σ được gọi là một λ-siêu mặt.

Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát các tính chất của mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình hằng trong đa tạp với mật độ đã và đang nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). Rosenberg đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình hằng (xem [13]). Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f -cực tiểu trong không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]).

Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích của các siêu mặt f -cực tiểu cũng đang được quan tâm. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f -cực tiểu diện tích (xem [29]). Mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss chính là các shrinker, một nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu kỳ dị của dòng độ cong trung bình (xem [12]). Đây cũng là một vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay: dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, mối liên hệ giữa chúng với các siêu mặt f -cực tiểu trong các không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]).

Những năm gần đây, mặt cực tiểu trong các không gian dạng tích được nghiên cứu bởi Harold Rosenberg và các cộng sự của ông (xem [13], [44]). Nó đang là một đề tài thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học.