Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu diễn dương và một số v
Luận án: Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan luận án tiến sĩ. Xem tóm tắt và tải về tại LuanAn.net
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
90
Thời gian đọc
14 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- 1. Tổng quan về Đa thức ma trận và Lý thuyết phổ
- Số trang:
- 90 trang
- Trường:
- Trường Đại học Quy Nhơn
- Chuyên ngành:
- Đại số và Lý thuyết số
- Tác giả:
- Dư Thị Hòa Bình
- Năm:
- 2018
Tóm tắt nội dung luận án
I. Tổng quan về Đa thức ma trận và Lý thuyết phổ
Đa thức ma trận là một lĩnh vực quan trọng trong đại số tuyến tính và lý thuyết phổ. Nghiên cứu này khám phá các khía cạnh cơ bản của chúng. Đa thức ma trận là tổng hữu hạn các ma trận lũy thừa của một biến vô hướng. Các hệ số là ma trận hằng. Sự hiểu biết về đa thức ma trận rất cần thiết. Nó giúp phân tích hệ thống động lực, lý thuyết điều khiển và tối ưu hóa. Các khái niệm như giá trị riêng và phổ ma trận được mở rộng từ trường hợp vô hướng. Tài liệu đặt nền móng cho các phát triển lý thuyết sâu hơn. Nó cũng đề cập đến các ứng dụng thực tiễn của đa thức ma trận trong kỹ thuật.
1.1. Khái niệm cơ bản về Đa thức ma trận
Đa thức ma trận là một dạng mở rộng của đa thức vô hướng. Các hệ số của chúng là ma trận thay vì số vô hướng. Một đa thức ma trận P(λ) có thể được viết dưới dạng P(λ) = A_kλ^k + ... + A_1λ + A_0. Ở đây, A_i là các ma trận vuông cùng kích thước. Đây là một đối tượng nghiên cứu cốt lõi trong đại số tuyến tính. Nó có liên quan mật thiết đến các hệ phương trình vi phân tuyến tính. Sự hiểu biết về cấu trúc này là nền tảng. Nó cho phép phân tích hành vi của các hệ thống phức tạp.
1.2. Giá trị riêng và Phổ ma trận
Giá trị riêng của một đa thức ma trận P(λ) là các giá trị λ mà tại đó det(P(λ)) = 0. Tập hợp tất cả các giá trị riêng này tạo thành phổ ma trận. Khái niệm này mở rộng khái niệm giá trị riêng của một ma trận đơn lẻ. Phân tích phổ ma trận rất quan trọng. Nó tiết lộ thông tin về tính ổn định và phản ứng tần số của hệ thống. Lý thuyết phổ cung cấp công cụ mạnh mẽ. Nó được dùng để nghiên cứu các đặc tính này. Miền giá trị riêng cung cấp các ranh giới cho phổ. Điều này hỗ trợ việc dự đoán hành vi của đa thức.
1.3. Tính xác định dương của Đa thức ma trận
Một đa thức ma trận được gọi là xác định dương trên một miền nhất định. Điều này có nghĩa là giá trị của nó là ma trận xác định dương với mọi giá trị của biến trong miền đó. Tính xác định dương là một điều kiện quan trọng. Nó thường xuất hiện trong các bài toán tối ưu đa thức và tính ổn định. Việc chứng minh tính xác định dương của đa thức ma trận thường rất phức tạp. Nó đòi hỏi các công cụ từ hình học đại số thực và các định lý biểu diễn dương. Việc này đảm bảo các giải pháp tối ưu hoặc tính ổn định của hệ thống.
II. Phân bố Giá trị riêng của Đa thức ma trận
Sự phân bố giá trị riêng của đa thức ma trận là một chủ đề trung tâm. Nó cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của các hệ thống tuyến tính. Nghiên cứu này mở rộng các định lý giá trị riêng cổ điển. Các định lý này áp dụng cho trường hợp ma trận. Mục tiêu là xác định các vùng trong mặt phẳng phức. Trong đó giá trị riêng của đa thức ma trận phải nằm. Kiến thức này rất quan trọng. Nó dùng để đảm bảo tính ổn định và hiệu suất của hệ thống. Việc áp dụng các phương pháp phân tích phức giúp đạt được điều này. Các kết quả có ý nghĩa thực tiễn rộng rãi. Chúng được dùng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và toán học ứng dụng.
2.1. Các định lý về phân bố nghiệm
Các định lý giá trị riêng cổ điển như định lý Eneström-Kakeya cho đa thức vô hướng được mở rộng. Chúng áp dụng cho đa thức ma trận. Các phiên bản dạng ma trận của những định lý này cung cấp các ranh giới. Những ranh giới này chứa giá trị riêng của đa thức ma trận. Điều này hỗ trợ việc xác định miền giá trị riêng trong mặt phẳng phức. Các kết quả này rất hữu ích. Chúng giúp nhanh chóng đánh giá tính ổn định của hệ thống. Các giới hạn này có thể được tính toán dựa trên các hệ số ma trận.
2.2. Định lý dạng Cauchy cho đa thức ma trận
Các định lý giá trị riêng dạng Cauchy là một công cụ mạnh mẽ khác. Chúng được sử dụng để phân tích phân bố giá trị riêng của đa thức ma trận. Các định lý này thường cung cấp các vòng tròn hoặc đĩa chứa giá trị riêng. Vị trí và bán kính của các miền này phụ thuộc vào các chuẩn ma trận của các hệ số. Chúng cung cấp các ước lượng quan trọng cho phổ ma trận. Các kết quả này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn. Họ có thể dự đoán được các đặc tính động lực của hệ thống.
2.3. Nghiệm đa thức ma trận và Miền giá trị riêng
Nghiệm đa thức ma trận là các giá trị vô hướng làm cho định thức của đa thức ma trận bằng không. Nghiên cứu phân bố giá trị riêng tập trung vào việc mô tả các miền giá trị riêng chứa tất cả các nghiệm này. Các phương pháp hình học và giải tích được sử dụng. Chúng giúp xác định chính xác các miền này. Việc này có ý nghĩa quan trọng trong thiết kế hệ thống điều khiển. Nó cũng có ý nghĩa trong việc đảm bảo tính ổn định của cấu trúc. Phân tích này là trụ cột của lý thuyết phổ ứng dụng.
III. Định lý Biểu diễn dương cho Đa thức ma trận
Các định lý biểu diễn dương là nền tảng trong hình học đại số thực. Chúng cũng quan trọng trong tối ưu đa thức. Nghiên cứu này mở rộng các định lý này sang đa thức ma trận. Mục tiêu là cung cấp các phương pháp để biểu diễn một đa thức ma trận dương. Điều này có thể là tổng bình phương hoặc các dạng cấu trúc khác. Các định lý này rất quan trọng. Chúng giúp chứng minh tính xác định dương của các đa thức ma trận trên các miền cụ thể. Ứng dụng của chúng trải rộng từ lý thuyết phổ đến tính ổn định hệ thống. Chúng cũng hỗ trợ trong đại số tuyến tính tính toán.
3.1. Định lý Putinar Vasilescu dạng ma trận
Định lý Putinar-Vasilescu là một công cụ mạnh mẽ trong hình học đại số thực. Nó được mở rộng cho đa thức ma trận. Định lý này phát biểu rằng một đa thức ma trận xác định dương trên một semialgebraic compact có thể được biểu diễn. Biểu diễn này là một tổng của bình phương đa thức ma trận với các hệ số trong ideal bậc nhất. Việc này là một bước tiến quan trọng. Nó cho phép các nhà nghiên cứu chứng minh tính xác định dương một cách hiệu quả hơn. Định lý này có ảnh hưởng lớn đến tối ưu đa thức và lý thuyết phổ.
3.2. Định lý Dickinson Povh và Handelman
Các định lý biểu diễn dương của Dickinson-Povh và Handelman cũng được nghiên cứu. Chúng được mở rộng cho đa thức ma trận. Định lý Handelman đặc biệt quan trọng. Nó liên quan đến biểu diễn đa thức ma trận dương trên các đa diện lồi compact. Các biểu diễn này thường dưới dạng các tổng của tích của các đa thức affin. Những kết quả này cung cấp các phương pháp cấu trúc. Chúng được dùng để kiểm tra tính xác định dương của đa thức ma trận. Điều này có ý nghĩa sâu sắc đối với tính ổn định của hệ thống.
3.3. Vai trò trong Tối ưu và Lý thuyết điều khiển
Các định lý biểu diễn dương cho đa thức ma trận có vai trò then chốt trong tối ưu đa thức. Chúng cũng quan trọng trong lý thuyết điều khiển. Chúng cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc chuyển đổi các bài toán tối ưu. Các bài toán này là bài toán tìm đa thức xác định dương. Chúng chuyển thành bài toán tối ưu ma trận bán xác định. Việc này giúp tìm các giải pháp tối ưu cho các hệ thống phức tạp. Nó cũng giúp đảm bảo tính ổn định và hiệu suất tối ưu. Nghiên cứu này đóng góp vào sự phát triển của các công cụ tính toán mới.
IV. Xác định Tính ổn định Đa thức ma trận và Ứng dụng
Xác định tính ổn định là một vấn đề trung tâm trong lý thuyết phổ. Nó cũng quan trọng trong kỹ thuật điều khiển. Phần này xem xét các phương pháp để phân tích tính ổn định của hệ thống. Những hệ thống này được mô tả bởi đa thức ma trận. Việc này thường liên quan đến việc xác định miền giá trị riêng. Tất cả giá trị riêng cần nằm trong nửa mặt phẳng trái hoặc trong đĩa đơn vị. Các công cụ từ hình học đại số thực được áp dụng. Tối ưu đa thức cũng cung cấp các khuôn khổ. Chúng giúp đảm bảo các điều kiện ổn định thông qua các định lý biểu diễn dương. Chuẩn ma trận đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá và giới hạn các yếu tố phổ ma trận.
4.1. Tối ưu Đa thức ma trận
Tối ưu đa thức với các ràng buộc ma trận là một lĩnh vực nghiên cứu đang phát triển. Các bài toán này thường yêu cầu tìm kiếm đa thức ma trận xác định dương. Điều này có thể để giảm thiểu một hàm mục tiêu. Các định lý biểu diễn dương cung cấp một phương tiện. Chúng giúp chuyển đổi các điều kiện xác định dương thành các ràng buộc tối ưu ma trận bán xác định. Điều này cho phép sử dụng các thuật toán hiệu quả hiện có. Ứng dụng rộng rãi trong thiết kế bộ điều khiển và phân tích an toàn.
4.2. Hình học Đại số thực cho ma trận
Hình học đại số thực cung cấp một khuôn khổ. Nó giúp nghiên cứu tính xác định dương của đa thức ma trận từ góc độ hình học. Các tập hợp semialgebraic, nơi đa thức ma trận dương, được phân tích. Các phương pháp này liên quan đến việc xây dựng các biểu diễn cụ thể. Chúng xác nhận tính dương của đa thức trên các miền nhất định. Sự giao thoa giữa đại số tuyến tính và hình học này rất phong phú. Nó mở ra những con đường mới để hiểu miền giá trị riêng và phổ ma trận.
4.3. Chuẩn ma trận và Ứng dụng
Chuẩn ma trận là một công cụ cơ bản trong đại số tuyến tính. Nó được sử dụng để định lượng kích thước hoặc độ lớn của ma trận. Trong ngữ cảnh đa thức ma trận, chuẩn ma trận giúp ước lượng. Nó giúp ước lượng vị trí của giá trị riêng và đánh giá tính ổn định. Các giới hạn dựa trên chuẩn ma trận cung cấp thông tin. Chúng giúp xác định miền giá trị riêng một cách hiệu quả. Điều này hữu ích trong việc phân tích độ nhạy và thiết kế hệ thống điều khiển mạnh mẽ.
V. Thuật toán Biểu diễn dương Phổ ma trận hiệu quả
Phần này tập trung vào các phương pháp tính toán. Chúng nhằm mục đích tìm kiếm các biểu diễn dương cho đa thức ma trận. Đặc biệt, là trên các miền cụ thể như đa diện lồi compact. Việc xây dựng thuật toán là một thách thức lớn. Nó đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết và tính toán. Các thuật toán này có ý nghĩa thực tiễn. Chúng giúp giải quyết các bài toán tối ưu đa thức quy mô lớn. Nó cũng giúp trong việc xác minh tính ổn định của hệ thống. Các cải tiến trong thuật toán có thể dẫn đến các ứng dụng rộng rãi hơn. Điều này đặc biệt quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết phổ và đại số tuyến tính ứng dụng.
5.1. Xây dựng thuật toán hiệu quả
Một thuật toán được phát triển. Nó tìm kiếm biểu diễn dương cho đa thức ma trận. Thuật toán này dựa trên các định lý biểu diễn dương đã biết. Mục tiêu là chuyển đổi các vấn đề lý thuyết thành các bài toán có thể giải quyết được bằng máy tính. Tính hiệu quả của thuật toán rất quan trọng. Nó cần xử lý đa thức ma trận với kích thước lớn. Điều này đòi hỏi các kỹ thuật tối ưu hóa và đại số tuyến tính số.
5.2. Ứng dụng trên đa diện lồi compact
Thuật toán này được áp dụng thành công trên các đa diện lồi compact. Đây là các miền giới hạn. Chúng thường xuất hiện trong các bài toán thực tế. Ví dụ, trong các ràng buộc về điều khiển hoặc các điều kiện hoạt động của hệ thống. Việc tìm kiếm biểu diễn dương trên các miền này là rất quan trọng. Nó giúp đảm bảo tính ổn định của hệ thống. Đồng thời nó cũng tối ưu hóa hiệu suất trong các điều kiện cụ thể. Kết quả này củng cố lý thuyết phổ trong các tình huống thực tế.
5.3. Hướng nghiên cứu và phát triển
Các hướng nghiên cứu tương lai bao gồm việc cải thiện hiệu quả của thuật toán. Điều này bao gồm việc mở rộng phạm vi áp dụng của nó. Nó có thể áp dụng cho các lớp đa thức ma trận và các miền phức tạp hơn. Việc phát triển các phương pháp tính toán nhanh hơn là rất cần thiết. Nó giúp giải quyết các bài toán lớn hơn. Sự kết hợp giữa lý thuyết phổ và tối ưu hóa hiện đại sẽ tiếp tục mở ra những khả năng mới. Nó sẽ giúp trong việc hiểu và kiểm soát tính ổn định của các hệ thống động.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (90 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộBË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN A THÙC MA TRN: SÜ PH N BÈ GI TRÀ RING, CC ÀNH LÞ BIU DIN D×ÌNG V MËT SÈ VN LIN QUAN LUN N TIN S TON HÅC BNH ÀNH - NM 2018 BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN A THÙC MA TRN: SÜ PH N BÈ GI TRÀ RING, CC ÀNH LÞ BIU DIN D×ÌNG V MËT SÈ VN LIN QUAN Chuy¶n ng nh: ¤i Sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè: 9460104 Ph£n bi»n 1: PGS. Ph¤m Ti¸n Sìn Tr÷íng ¤i hå L¤t Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n Vi»n To¡n hå - Vi»n H n l¥m Khoa hå v Cæng ngh» Vi»t Nam Ph£n bi»n 3: TS. L¶ ù Thoang Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n BNH ÀNH - NM 2018 Líi am oan Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa TS.
L¶ Cæng Tr¼nh v TS. Tæi xin am oan ¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , ÷ñ ¡ çng t¡ gi£ ho ph²p sû döng v h÷a tøng ÷ñ ai æng bè tr÷î â. Tªp thº h÷îng d¨n T¡ gi£ TS.
L¶ Cæng Tr¼nh D÷ Thà Háa B¼nh Líi £m ìn Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh. Thy ¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î u l m nghi¶n ùu. Thy t¤o ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng ng r§t nghi¶m tó.
Thy luæn ëng vi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå. ÷ñ hå tªp, l m vi» vîi thy l i·u may mn v h¤nh phó èi vîi tæi. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Thy luæn ëng vi¶n, kh½ h l», gióp ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi.
M° dò thy khæng ð trong n÷î , nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do thy tê hù ¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng. Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu ½ h v· ¡ v§n · li¶n quan ¸n ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen.
Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, Pháng o t¤o sau ¤i hå ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. ° bi»t, tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ thy gi¡o, æ gi¡o trong Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. i·u n y gióp tæi â ëng lü º ph¡t triºn b£n th¥n. Tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng Tê hù ¡n bë ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t ho tæi i hå.
Tæi ng xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n, hia s´ ¡ æng vi» º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn. Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn ¢ luæn ëng vi¶n, hia s´ gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu. Tæi xin gûi líi bi¸t ìn ¸n gia ¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n tæi.
Hå l hé düa tinh thn vúng h º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n ùu khi xa nh. ° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s ¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn sü hy sinh ao £ ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on.
i Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m ° bi»t ¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn anh v hai on ¢ ¸n b¶n íi em, gióp ï, ëng vi¶n em. Gia ¼nh luæn l nìi b¼nh y¶n õa em. Mö lö Danh mö ¡ kþ hi»u iii Mð u 1 1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 12 1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n .2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù 18 1.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v ành lþ Artin .2 Mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù .3 B i to¡n tèi ÷u a thù v b i to¡n mæmen .1 B i to¡n tèi ÷u a thù .4 H¼nh hå ¤i sè thü ho a thù ma trªn .5 T½nh x¡ ành d÷ìng õa ¡ a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa hóng 32 1.6 Chu©n ma trªn.
36 2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn 38 2.1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Enestrom-Kakeya .2 C¡ ành lþ d¤ng Cau hy ho a thù ma trªn. 55 i 3 C¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn 58 3.1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Putinar-Vasiles u .2 D¤ng ma trªn õa ành lþ Di kinson-Povh .3 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman .1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n n- ìn h¼nh .2 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n ¡ a di»n lçi, ompa t 66 3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi ompa t. 71 KT LUN 75 Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n Luªn ¡n 77 T i li»u tham kh£o 78 ii Danh mö ¡ kþ hi»u R : Tr÷íng ¡ sè thü R+ : Tªp hñp ¡ sè thü khæng ¥m C : Tr÷íng ¡ sè phù N : Tªp ¡ sè tü nhi¶n K : R ho° C Rn : Khæng gian thü n hi·u Cn : Khæng gian phù n hi·u Mt (R) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R Mt (C) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n C St (R) : V nh ¡ ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R) X : bë n bi¸n (X1 , ., αn ) ∈ Nn C[z] : V nh a thù mët bi¸n z vîi h» sè phù R[X] : V nh a thù n bi¸n X = (X1 , ., Xn ) vîi h» sè thü R(X) : Tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh a thù R[X] Mt (R[X]) : V nh ¡ ma trªn §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R[X] St (R[X]) : V nh ¡ ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R[X]) AT : Ma trªn huyºn và õa ma trªn A ∈ Mt (R[X]) A<0 : Ma trªn A nûa x¡ ành d÷ìng A≻0 : Ma trªn A x¡ ành d÷ìng ||A|| : Chu©n to¡n tû õa ma trªn A P 2 : Tªp hñp t§t £ ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n A phn tû trong mët v nh giao ho¡n A iii Mð u Kþ hi»u K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] l v nh ¡ a thù n bi¸n X1 , · · · , Xn vîi h» sè trong K. Méi ma trªn A ∈ Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët ma trªn a thù ho° mët a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët a thù n ©n X1 , · · · , Xn vîi h» sè tr¶n Mt (K) nh÷ sau: Xd A= Aα X α , |α|=0 trong â, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn , |α| := α1 + · · · + αn , X α := X1α1 · · · Xnαn , Aα ∈ Mt (K), d l bª ao nh§t õa ¡ ìn thù trong A.
Do â, º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn. èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ a thù ma trªn, v èi vîi méi tr÷íng hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m ¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do â, º thuªn ti»n ho ng÷íi å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng bi»t nh÷ sau. C¡ a thù ma trªn mët bi¸n Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan ¸n ¡ a thù ma trªn mët bi¸n, tù l x²t ¡ a thù ma trªn â d¤ng P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 , trong â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0,.
C¡ a thù ma trªn mët bi¸n l sü mð rëng tü nhi¶n õa a thù ° tr÷ng λIt − A õa mët ma trªn A ∈ Mt (C), trong â It l ma trªn ìn và trong Mt (C). N¸u Ad 6= 0, th¼ P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It , P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn moni. N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct v λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ ÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi â x ÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.
Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa a thù ° tr÷ng det(P (z)). Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) ÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v ÷ñ gåi l phê õa a thù ma trªn P (z). 1 Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, a thù ° tr÷ng õa ma trªn A ∈ Mt (C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn A. Do â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.
B i to¡n gi¡ trà ri¶ng a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡ trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct sao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1 hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t Ax = λBx. Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n Ax = λx. B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng hñp d = 2.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Dư Thị Hòa Bình (2018). Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di [Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Quy Nhơn]. LuanAn.net. https://luanan.net/tai-lieu-khac/da-thuc-ma-tran-su-phan-bo-gia-tri-rieng-cac-dinh-ly-bieu-dien-duong-va-mot-so
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án: Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan luận án tiến sĩ. Xem tóm tắt và tải về tại LuanAn.net
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Quy Nhơn. Năm bảo vệ: 2018.
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Danh mục: Tài liệu khác.
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" có bao nhiêu trang?
Luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" có 90 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng các định lý biểu di" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.