Luận án Tiến sĩ: Các hàm p, W-chỉnh hình và ứng dụng - Nguyễn Văn Đại, ĐH Quy Nhơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN ĐẠI CÁC HÀM p  , W q -CHỈNH HÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN ĐẠI CÁC HÀM p  , W q -CHỈNH HÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.02 Phản biện 1: GS. Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: GS. Đặng Đức Trọng Phản biện 3: PGS. Đinh Huy Hoàng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.

Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. Thái Thuần Quang. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó.

Tác giả Nguyễn Văn Đại LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và đầy nhiệt tâm của Thầy Thái Thuần Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa 1 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp gần xa đã giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình làm luận án.

Xin cảm ơn Liên Vương Lâm, giảng viên Trường Đại học Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi, đã nhiệt tình cùng tác giả học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và các người bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức cho tác giả để hoàn thành bản luận án này. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU H pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F HG pD, F q : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F H 8 pD, F q : Không gian con của tất cả các hàm bị chặn trong H pD, F q Hb pE, F q : Không gian của tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào F mà bị chặn trên các tập bị chặn trong E Hub pE, F q : Không gian của tất cả các hàm chỉnh hình loại bị chặn đều HLB pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương trên D H W pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình H W,8 pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn W Hloc pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình địa phương W,8 Hloc D, Fp q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương p K H pX q : H pX q-bao của K ∆nr pz0 q : tz P Cn : }z
z0 } ru ∆r pz0 q : ∆1r pz0 q ∆nr : ∆nr p0q ∆n : ∆n1 ∆ : ∆1 B pE q : Tập tất cả các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E K pE q : Tập tất cả các tập con compact, lồi, cân trong E Uk : tx P E : }x}k 1u P SH pΩq : Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω  U pK, Ωq : tu P P SH pΩq : u ¤ 1, uK ¤ 0u uK,Ω pz q : Hàm cực trị tương đối của cặp pK, Ωq uK,Ω : Hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của uK,Ω Ox : Vành các mầm chỉnh hình tại x P X OX : Bó các mầm chỉnh hình trên X Mục lục Danh mục các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Tính chỉnh hình của hàm p, W q-chỉnh hình 8 1.1 Một vài khái niệm .1 Không gian các dãy Köthe .2 Các bất biến tôpô tuyến tính .3 Các hàm chỉnh hình, mầm hàm chỉnh hình .4 Hàm đa điều hòa dưới .5 Tập cực, tập đa cực, tập đa chính quy .2 Một số đặc trưng mới của tính chất pΩq .3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương .4 Các hàm σ p, W q-chỉnh hình.

Thác triển chỉnh hình các hàm p, W q-chỉnh hình 34 2.1 Thác triển từ bao tuyến tính của một tập bị chặn .2 Thác triển từ tập compact không đa cực. Hàm p, W q-chỉnh hình phân biệt 52 3.1 Một số vấn đề cơ bản về không gian Stein .1 Không gian phức .2 Không gian Stein .2 Mở rộng Định lý Hartogs trên tích Descartes .3 Mở rộng Định lý Hartogs trên các tập chữ thập. Một số áp dụng 70 4.1 Bài toán Wrobel .2 Các định lý hội tụ kiểu Vitali .1 Định lý Vitali đối với dãy các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương .2 Định lý Vitali đối với dãy các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn. 74 Kết luận 77 Danh mục công trình của tác giả 79 Tài liệu tham khảo 80 Chỉ mục 88 ii MỞ ĐẦU Các hàm chỉnh hình giá trị véctơ là công cụ rất hữu ích trong việc nghiên cứu các lĩnh vực toán học khác, ví dụ như trong lý thuyết nửa nhóm một tham số (xem chẳng hạn, Arendt và các cộng sự [9]) hoặc trong lý thuyết phổ và các tính toán giải tích hàm (xem chẳng hạn, Vasilescu [77]).

Ngay cả khi để chứng minh các định lý về các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng, đôi lúc cũng rất hữu ích nếu ta xét các hàm với giá trị trong không gian Banach. Trong giải tích hàm, có thể nói rằng có hai cách tiếp cận chính với tính chất giải tích của các hàm giá trị véctơ thông qua các khái niệm hàm chỉnh hình yếu và chỉnh hình, trong đó khái niệm “yếu” là dễ kiểm tra hơn nhiều trong thực hành. Ở đây, hàm f : D Ñ F được gọi là chỉnh hình yếu nếu u  f là chỉnh hình với mọi u P F 1 , trong đó E, F là các không gian lồi địa phương và D là một miền (tập mở và liên thông) trong E. Ta biết rằng, một hàm chỉnh hình là chỉnh hình yếu.

Vì vậy bài toán được đặt ra một cách tự nhiên là “Khi nào tính chất chỉnh hình của hàm f được quyết định nếu nó chỉnh hình yếu?”. Có thể nói người đầu tiên giải quyết bài toán này vào năm 1938 là Dunford [18]. Ông khẳng định rằng điều này xảy ra khi D € C và F là một không gian Banach. Sau đó Grothendieck [25] mở rộng kết quả này khi F là tựa đầy đủ.

Trong thực tế, điều này cũng đúng khi E và F là các không gian Hausdorff và E là khả mêtric [48, Théorème 1. Như vậy, trong các trường hợp trên, nói chung người ta không kiểm tra tính chỉnh hình của một hàm giá trị véctơ bằng việc kiểm tra các tính chất của định nghĩa, mà sẽ thuận lợi hơn nếu ta tiến hành kiểm tra thông qua tính chỉnh hình yếu. Tuy nhiên, người ta cảm nhận rằng có thể làm bé hơn tập thử F 1 cho tính chất chỉnh hình của hàm f. Khi đó một câu hỏi quan trọng được đặt ra là “xác định tập thử nhỏ nhất W € F 1 ” sao cho vẫn đủ để kiểm tra tính chất chỉnh hình của f.

Vì vậy một số khái niệm chỉnh hình yếu khác (yếu hơn khái niệm truyền thống) được đề xuất và nhận được sự quan tâm nghiên cứu rất gần đây. Đó là hàm pF, W q-chỉnh hình, theo nghĩa, u  f là chỉnh hình với mọi u P W € F 1. Chính vì thế, gần đây một số tác giả đã gọi là hàm chỉnh hình “rất yếu” thay cho tên gọi “yếu” thông thường nhằm phân biệt với các khái niệm yếu mới xuất hiện. 1 Để trả lời câu hỏi đó, trong hơn thập niên gần đây, hai bài toán sau dành được sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới.

Tìm kiếm các lớp F các hàm pF, W q-chỉnh hình trên D € E với giá trị trong F và các điều kiện của các không gian lồi địa phương E, F, các tập xác định D € E, các tập thử W € F 1 sao cho mọi f P F đều chỉnh hình. Tìm kiếm các lớp F các hàm f : M Ñ F và các điều kiện của các không gian lồi địa phương E, F, các tập xác định M € E, các tập thử W € F 1 sao cho nếu u  f có một thác triển chỉnh hình đến một lân cận D nào đó của M thì f có thể thác triển (duy nhất) chỉnh hình trên D với mọi f P F. Kết quả sớm nhất của Bài toán 1 có thể tìm thấy trong [40, p. 139] cho trường hợp D € C, F Banach, W xác định chuẩn và F là lớp hàm bị chặn địa phương (cũng xem [8, Theorem 1.

Nó là một hệ quả trực tiếp của công thức tích phân Cauchy. Sau đó, trong luận án Tiến sĩ của mình, Grosse-Erdmann [23] đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp W tách điểm F nhưng với một chứng minh khá phức tạp. Năm 2000, trong [8] Arendt và Nikolski đã cải thiện chứng minh của Grosse- Erdmann bằng cách sử dụng các định lý Vitali. Thậm chí họ còn khẳng định rằng kết quả trên đúng cho trường hợp F là không gian Fréchet.

Cũng trong công trình này, các tác giả cũng chỉ ra rằng, nếu W không xác định tính bị chặn thì kết luận này không còn đúng nữa [8, Theorem 1. Ở đây chú ý rằng, nếu W xác định tính bị chặn thì nó xác định chuẩn. Tính chất bị chặn địa phương của lớp hàm F cũng được chứng minh là không thể bỏ qua. Tuy nhiên, cũng trong [8], Arendt và Nikolski đã chứng tỏ rằng, trong trường hợp này nếu W là không gian con hầu xác định chuẩn thì f P F sẽ chỉnh hình nhưng chỉ trên một tập con trù mật D0 nào đó của D [8, Theorem 1.

Sau đó, vào năm 2004, Grosse-Erdmann đã đạt được kết quả tổng quát của Bài toán 1 với D là một miền trong không gian E lồi địa phương, F là đầy đủ địa phương, F là lớp các hàm bị chặn khuếch đại và W là tách điểm [24, Theorem 3]. Từ kết quả nói trên, trong [23] Grosse-Erdmann dễ dàng giải quyết Bài toán 2 cho trường hợp M  DzK, với K là tập compact trong miền D của C, và sự thác 2 triển là duy nhất [23, Theorem 5.