Luận án Tiến sĩ: Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa

Mục lục Lời cam đoan. 3 Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án. Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 .1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính .2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính .3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 .1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 .2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 .4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 .1 Khái niệm chỉ số 1 .2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1. 35 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần hoàn.

PTSP tựa tuyến tính ẩn .1 Một số định lý tồn tại nghiệm .1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 .2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61 2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn .1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn .2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn. PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 .1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 .2 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 .1 Khái niệm chỉ số 1 .2 Một số tính chất của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 .3 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 .1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard .2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 .4 Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn. 88 Kết luận chung. 96 Danh sách các bài báo đã được công bố.

97 Tài liệu tham khảo. 98 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án R(C) : trường số thực (phức). Rm×n (Cm×n ) : không gian các ma trận thực (phức) kích thước m × n. Ok×s : ma trận không kích thước k × s.

xT : ma trận (véctơ) chuyển vị của x. L(Rm ) : không gian các ánh xạ tuyến tính trên Rm. C(X, Y ) : không gian các hàm liên tục từ X vào Y. ker A : nhân của A.

imA : ảnh của A. rankA : hạng của A. det A : định thức của A. dim W , dim(W ) : số chiều của không gian W., v} : không gian sinh bởi các véctơ u, ., z : ma trận cột tạo bởi các véctơ x, y,.

i = k, s : i lần lượt nhận các giá trị tự nhiên từ k đến s. 0: véc tơ không trong không gian tương ứng đang xét. ind: chỉ số. {A, B} : cặp ma trận.

⊕: tổng trực tiếp. Re(z): phần thực của số phức z. PTSP: phương trình sai phân.): ma trận đường chéo khối. 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Trong những năm gần đây, phương trình sai phân (PTSP) ẩn là đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng.

PTSP thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắp hàng, trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triển dân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v. Mặt khác, PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần đây (xem [20, 21, 23, 33, 35-37, 40-42]). Cho đến nay, PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Axn+1 + Bxn = fn , trong đó A ∈ Cm×m suy biến, đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ và được tổng kết trong [20, 21, 25]. Theo [20, 21], bài toán giá trị ban đầu cho PTSP tuyến tính thuần nhất (tức là fn = 0) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho λA + B không suy biến.

PTSP ban đầu được đưa về dạng tương đương diag(C, N )yn+1 + diag(I − λC, I − λN )yn = 0. Theo cách phân tích như trên, các tác giả đã đưa ra công thức tường minh cho nghiệm tổng quát của bài toán giá trị ban đầu của phương trình thuần nhất, điều kiện tồn tại nghiệm, công thức nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất. Các kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng đã được thiết lập cho bài toán điều khiển rời rạc xk+1 = Axk + Buk , k = 0, N − 1. Đồng thời, những kết 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com quả thu được từ PTSP suy biến hệ số hằng đã được áp dụng để khảo sát bài toán về mô hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]).

Tuy nhiên, những kết quả này không thể mở rộng trực tiếp cho PTSP ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên. Nhóm nghiên cứu M. Rutkas quan tâm đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn trong không gian Bannach và thu được một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận để khảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu (xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc tính của phổ của cặp toán tử {A, B} khi A, B là các toán tử tuyến tính đóng trong không gian Bannach. Từ đó đưa ra định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính (xem [15]) Axn+1 + Bxn = ψn (xn ).

Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng Exk+1 = Axk + Buk , yk = Cxk + Duk , bài toán có nhiễu Exk+1 = (A + ∆A)xk + (B + ∆B)uk , yk = Cxk + Duk , bài toán có trễ Exk+1 = Axk + F xk−d(k) + Buk , yk = Cxk + Duk , và bài toán vừa có nhiễu, vừa có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q. Liu, David Hill, X. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v. Nhiều kết quả về PTSP suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập, được mở rộng cho PTSP có trễ [38].

Những kết quả đó chưa được mở rộng, phát triển cho PTSP suy biến với hệ số biến thiên. Nói cách khác, PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng, còn những kết quả nghiên cứu về PTSP ẩn với hệ số biến thiên chưa nhiều. Nhóm nghiên cứu Bondarenko và A. Rutkas quan tâm tới một lớp các PTSP ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt Tn xn+1 + xn = fn , 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trong đó Tn là ma trận suy biến với mọi n.

Họ đã đưa ra một số kết quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuần hoàn cho dạng phương trình này (xem [17, 18, 19]). Như đã đề cập đến ở trên, phương trình vi phân đại số là đối tượng được đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được khi rời rạc hóa phương trình vi phân đại số. Vì thế, khi bắt đầu nghiên cứu đề tài này chúng tôi hi vọng có thể thu được những kết quả tương tự như đã biết đối với phương trình vi phân đại số.

Một trong những kỹ thuật cơ bản khi nghiên cứu phương trình vi phân đại số nói chung và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nói riêng là kỹ thuật đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass. Nói một cách đơn giản là đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường và phương trình đại số tuyến tính. Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng, cho bởi cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình được định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrass của cặp ma trận như sau: Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn tại cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa mãn A = P diag(Ir , U )Q và B = P diag(W, Im−r )Q trong đó U là ma trận lũy linh thì {diag(Ir , U ),diag(W, Im−r )} được gọi là dạng Kronecker - Weierstrass của cặp {A, B}. Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Ax0 (t) + Bx(t) = q(t) là diag(Ir , Om−r )x̄0 (t) + diag(W, Im−r )x̄(t) = q̄(t) trong đó x(t) = Qx̄(t), q̄(t) = P q(t).

Dạng chuẩn tắc Kronecker -Weierstrass của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng được mở rộng cho phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên (trình bày tóm tắt trong Chương 1). Trên cơ sở đó, nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình vi phân đại số đã được thiết lập [33, 36, 37, 41, 42]. Từ cuối những năm 90 của thế kỷ 20 cho tới nay, nhóm nghiên cứu của GS. Phạm Kỳ Anh và GS.

Nguyễn Hữu Dư dành nhiều 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thời gian nghiên cứu PTSP ẩn và đã thu được một số kết quả nhất định (xem [1-3, 5-12, 27-29, 39]). Khái niệm về chỉ số của PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng Anxn+1 + Bn xn = qn đã được giới thiệu trong [11, 28, 39] và tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cũng như bài toán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [2, 5-10, 39]. Hơn nữa, trong [1, 2, 12, 39], khái niệm tựa chỉ số và chỉ số lạ cho PTSP ẩn cũng được thiết lập. Theo [5, 8], khi áp dụng công thức Euler hiện cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, ta thu được PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1.

Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên hai điểm của hệ rời rạc hội tụ tới nghiệm của bài toán liên tục tương ứng. Thêm vào đó, theo [11], mọi PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 đều đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và mọi PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn với Bn không suy biến đều tương đương với PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng. Lý thuyết Floquet, lúc đầu được thiết lập cho phương trình vi phân tuyến tính (xem [22, 32]), sau đó được xây dựng cho PTSP tuyến tính (xem [4, 34]), và phương trình vi phân đại số (xem [36]), được mở rộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]).