Luận án tiến sĩ Toán học: Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN HOANG LUC MOT SO BAI TOAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH VOI DAO HAM CAPUTO VA RIEMANN-LIOUVILLE LUAN AN TIEN Si TOAN HOC TP. H6 Chi Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN HOANG LUC SOME CAUCHY PROBLEMS FOR EQUATIONS WITH CAPUTO AND RIEMANN LIOUVILLE DERIVATIVES Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN HOANG LUC MOT SO BAI TOAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH VOI DAO HAM CAPUTO VA RIEMANN-LIOUVILLE Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS.

Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS. Nguyễn Dinh Huy Phan bién 3: PGS. Nguyén Bich Huy NGUOI HUONG DAN KHOA HOC PGS. Nguyễn Huy Tuấn TP.

Hồ Chí Minh - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ toán học của tôi - "Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville" là công trình khoa học do tôi thực hiện đưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Huy Tuan. Những kết quả được trình bày trong luận án cùa tôi hoàn toàn trung thực và không trùng lắp với các công trình nghiên cứu đã công bố trong và ngoài nước. Cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS.

Nguyễn Huy Tuan Nguyễn Hoàng Lực LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi lời cám ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn của tôi - PGS. Nguyễn Huy Tuan. Nhờ Thay mà tôi được học không những các kiến thức chuyên môn, mà còn học hỏi được nhiều điều trong cuộc sống thông qua việc tiếp xúc với Thay va cac anh chi em, ban be trong nhom nghién cứu cua Thay. Tôi xin gởi lời cám ơn đến quý Thay, Cô của Khoa Toán - Tin Hoc, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tâm dạy bảo, truyền đạt những kiến thức chuyên môn cũng như đạo đức, lối sống trong những năm học ở nhà trường.

Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến các phòng, ban đã hỗ trợ hết sức nhiệt tình trong các thủ tục và phổ biến các quy chế học vụ. Tôi xin gởi lời cám ơn đến gia đình tôi, đặc biệt là ba mẹ và vợ tôi đã luôn ủng hộ, tạo điều kiện để tôi được học tập, nghiên cứu một cách thoải mái nhất và hoàn thành luận án tiến sĩ của mình. Tôi xin gởi lời cám ơn đến các Thay, Cô của Bộ Môn Toán, Trường Dai Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn đến các anh chị em, bạn bè trong nhóm nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, những người đã luôn giúp đỡ tôi tận tình trong suốt những năm học tập cùng nhau.

Dù rất cố gắng, những những sai sót trong luận án là rất khó tránh khỏi. Rất mong nhận được những đóng góp cũng như những chỉ bảo của quý Thay, Cô, bạn bè, và quý độc giả. it TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann Liouville Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: NGUYỄN HOÀNG LỰC Khóa đào tạo: 2020 Người hướng dẫn khoa học: PGS. NGUYEN HUY TUẦN Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, DHQG.

TOM TAT NOI DUNG LUẬN ÁN: Kết qua của luận án này được tổng hợp từ 4 bai báo đã được công bố trên các tạp chi: Mathematical Methods in the Applied Sciences, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Advances in Continuous and Discrete Models: Theory and Modern Applications (Tên cũ: Advances in Difference Equations ). Các kết quả này được chia thành 4 phan chính như sau. e Phần 1: Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến. Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau du — Au — mofAu =F(u), (x,t) € Ox (0,T), u(x,t) =0, x €aQ, (0.

Với A là toán tử Laplace, O C IR? (d > 1) là miền bị chặn có biên trơn dQ, và T > 01a thời gian cho trước, ? là số thực dương.) là hàm Gamma. Trong phần này, bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến được nghiên cứu trong hai trường hợp, cụ thể là với hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương. Nhờ vào phép phân tích phổ, nguyên lý điểm bat động, và một số không gian hàm thích hợp, chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại toàn cục nghiệm nhẹ và tính bùng nổ của của nó.

e Phần 2: Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau 9u — Au — potAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T), (0. df là dao hàm Riemann-Liouville bậc € (0, 1) 3jm(x,£) = T'(1—.) là hàm Gamma. Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến với các điều kiện phi địa phương. Sự ton tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ của bài toán được nghiên cứu trong một số không gian.

Khi tham số tiến về 0, chúng tôi nghiên cứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ. e Phan 3: Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa phương. 1V Xét bài toán Rayleigh-Stokes như sau dpu — Au — pofAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T), (0.3) u(x,t) =0, x Ed với điều kiện tích phân phi địa phương T &u(x,0) + & | v(s)u(x,s)ds = g(x), xcO, với €i,ða > 0, và G+ & > 0.) là hàm Gammma. Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu sự tổn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương.

Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầu cũng được nghiên cứu trong phần này. Để chỉnh hóa nghiệm không chỉnh này, bằng phương pháp chặt cụt Fourier, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này. e Phan 4: Bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo hàm Ca- puto. Xét phương trình dao hàm riêng cấp không nguyên như sau: DƑ(u + k.

trong đó Ï' là hàm Gamma. Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình giả parabolic với đạo hàm Caputo. Chúng tôi nghiên cứu tính tổn tại và tính duy nhất của nghiệm nhẹ. Trường hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục với dữ liệu đầu ug € L2.

Trong trường hợp du liệu đầu up € L1, q # 2, chúng tôi khảo sát kết quả tổn tại địa phương. Công cụ chính chúng tôi sử dụng ở đây là các công cơ bản, định lý điểm bất động Banach và định lý nhúng Sobolev. NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN: Nội dung chính của luận án này được tổng hợp từ các công trình đã được đăng trên các tạp chí uy tín trên thế giới, có nhiều kết quả mới hơn những kết quả trước đó. Trong luận án này, các kết quả mới của chúng tôi có thể liệt kê như sau.

© Phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến được chúng tôi nghiên cứu trong hai trường hợp: hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương. Chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh được sự tổn tại toàn cục nghiệm nhẹ và tính bùng nổ của của nó. © Với phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến cùng các điều kiện phi địa phương, chúng tôi chỉ ra tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ của bài toán được trong một số không gian.

Bên cạnh đó, chúng tôi nghiên cứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ khi các tham số tiến vẻ 0. ¢ Sự tổn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương đã được chúng tôi nghiên cứu. Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầu cũng được nghiên cứu trong phần này, chúng tôi cũng đã đưa ra Mái nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này. e Với phương trình gia parabolic với dao ham Caputo.

Sự tổn tại và tính duy nhất của nghiệm nhẹ của bài toán đã được chúng tôi nghiên cứu. Trường hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục với dir liệu đầu up € L2. Trong trường hợp dữ liệu đầu up € L, q # 2, chúng tôi khảo sát kết quả tổn tại địa phương. CÁC UNG DUNG/KHA NANG UNG DỤNG TRONG THỰC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau ¢ Hướng 1: Khảo sát sự tổn tại, tính chính quy, sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính tắt dần, tính phân rã, tính bùng nổ.

của nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/ điều kiện phi địa phương với các dao hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian. ® Hướng 2: Nghiên cứu phương pháp số cho các bài toán với đạo ham cấp không nguyên. ¢ Hướng 3: Nghiên cứu các các phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên với các đạo hàm không nguyên kết hợp với các chủ đề trên. vii THESIS INFORMATION Thesis title: Some Cauchy problems for equations with Caputo and Riemann- Liouville derivatives Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: NGUYEN HOANG LUC Academic year: 2020 Supervisor: Associate Professor NGUYEN HUY TUAN At: VNUHCM- University of Science 1.

SUMMARY: The primary findings of this thesis are derived from a synthesis of four journal publications: Mathematical Methods in the Applied Sciences, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Advances in Continuous and Discrete Models: Theory and Modern Applications (Previous name: Advances in Dif- ference Equations). These results are divided into the four parts listed below. e Part 1: On the initial value problem for the nonlinear fractional Rayleigh- Stokes equation We consider the Rayleigh-Stokes problem with regard to the time-fractional derivative and a nonlinear source term as follows d;u — Au — mofAu =F(u), (x,t) € Ox (0,T), u(x,t) =0, x€ 9O, (0. Here A is the Laplacian, Q C IR? (d > 1) is a bounded domain with smooth boundary 0Q, and T > 0 is a given time.

The real constant m is positive, uo viii is the initial data in L*(Q), the notation 9# is the Riemann-Liouville fractional derivative of order + € (0,1) defined by [2|B]: where ÏI'(.) is the Gamma function. In this part, an initial-boundary value problem for the nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation is studied in two cases, namely when the source term is globally Lipschitz or locally Lipschitz. The time-fractional derivative used in this work is the classical Riemann-Liouville derivative. Thanks to the spectral decomposition, a fixed point argument, and some useful function spaces, we establish global well-posed results for our problem.