Luận án phát triển năng lực trực giác toán học - Võ Xuân Mai (ĐHSP Hà Nội)

Tổng quan về luận án

Luận án này đề cập đến một lĩnh vực tiên phong trong giáo dục toán học tại Việt Nam, tập trung vào việc phát triển Năng lực Trực giác Toán học (NL TGTH) cho học sinh phổ thông. Bối cảnh khoa học của nghiên cứu xuất phát từ Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban chấp hành Trung ương khóa XI, đặt ra yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo hướng phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Trong đó, môn Toán đóng vai trò then chốt trong phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy trực giác, suy đoán và tưởng tượng, như nhận định của Trần Kiều [4] và Nguyễn Bá Kim [19]. Nghiên cứu này mang tính tiên phong khi giải quyết một research gap cụ thể đã được xác định rõ ràng: “Cho đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu đầy đủ và hệ thống về TGTH, chưa làm sáng tỏ và bước đầu vận dụng TGTH vào trong thực tiễn dạy học ở trường THPT Việt Nam” (trang 5). Hơn nữa, luận án khẳng định “trên thế giới và Việt Nam vẫn chưa có tài liệu nào đề cập đến khái niệm NL TGTH” (trang 27), từ đó đặt nền móng cho một khái niệm mới và khung lý thuyết toàn diện.

Các câu hỏi nghiên cứu cốt lõi mà luận án này tìm cách trả lời bao gồm:

1. NL TGTH của học sinh là gì, có những đặc trưng nào trong học tập môn Toán, và những NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán là gì?
2. Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho học sinh ở trường THPT hiện nay như thế nào?
3. Quy trình tổ chức Hoạt động Nhận thức (HĐNT) theo hướng phát triển NL TGTH cho học sinh trong dạy học Toán ở trường THPT gồm các bước nào, và cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố ra sao?
4. Quy trình và các cách thức tổ chức HĐNT đã đề xuất có tính khả thi và hiệu quả trong thực tiễn dạy học thông qua thực nghiệm sư phạm hay không?

Luận án dựa trên khung lý thuyết vững chắc, kế thừa và tổng hợp các quan điểm về trực giác từ triết học (Kant, Bergson, Husserl), tâm lý học (Piaget, Hammond, Baylor), toán học (Poincaré, Descartes, Hadamard, Krutexki) và giáo dục học (Fischbein, Wilder, Hogarth, Tall). Đặc biệt, nghiên cứu này chọn cách tiếp cận khái niệm Trực giác (TG) theo phạm trù nhận thức và định nghĩa TGTH dựa trên quan điểm của Krutexki, coi đó là “quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức” (trang 22), cho phép TGTH có thể được rèn luyện và phát triển.

Đóng góp đột phá của luận án là việc xây dựng khái niệm NL TGTH và xác định bốn thành tố cốt lõi của nó: i) Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề; ii) Năng lực Khái quát hóa (KQH) nhanh chóng; iii) Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định; iv) Năng lực rút gọn quá trình lập luận. Những đóng góp này có tiềm năng tạo ra tác động lớn, cải thiện chất lượng dạy và học Toán, trang bị cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn, phù hợp với định hướng đổi mới giáo dục hiện nay. Phạm vi nghiên cứu giới hạn trong các nội dung dạy học Toán lớp 10, 11 ở trường THPT Việt Nam, tập trung vào quá trình tổ chức HĐNT để phát triển NL TGTH.

Literature Review và Positioning

Nghiên cứu về trực giác và trực giác toán học đã có một lịch sử phong phú trên thế giới, được khám phá qua nhiều lĩnh vực. Trong triết học, Thuyết trực giác (Intuitionism) được phát triển bởi các triết gia như Kant, Husserl, Brouwer, Godel, Parsons, nhấn mạnh trực giác là một phương tiện để nắm bắt thực tại hoặc là hình thức cao nhất của kiến thức (Descartes và Spinoza, 1967, trích từ Fischbein, 1987, tr.3). H. Bergson (1946) trong “An Introduction to Metaphysics” phân biệt giữa cách phân tích và cách trực giác, cho rằng trực giác cung cấp kiến thức đối tượng trong sự toàn thể của nó. Dummett trong “Elements of Intuitionism” đã hệ thống hóa toán học trực giác.

Trong tâm lý học, các nhà tâm lý học nhận thức như Hammond đã định nghĩa trực giác đối lập với tư duy phân tích, trong khi A. Baylor [56], [57], [58] đề cập đến ba thành phần của trực giác: sự nhanh chóng, mối liên hệ cảm giác và nguyên nhân. Carl Jung và Arnheim xem trực giác như một quá trình nhận thức, đôi khi diễn ra trong vô thức [78, tr.19]. Bruner [63] trong “The Process of Education” nhận định trực giác là hành động nắm bắt ý nghĩa hoặc tầm quan trọng của cấu trúc vấn đề mà không phụ thuộc vào bộ máy phân tích.

Trong toán học, các nhà toán học vĩ đại như Henri Poincaré (1958) nhận định “Óc logic chỉ là cằn cỗi nếu không được tắm nhuần bằng trực giác”, nhấn mạnh vai trò của trực giác trong quá trình sáng tạo toán học. J. Hadamard (1945) trong “An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field” mô tả quá trình khám phá toán học, trong đó trực giác là một giai đoạn đột ngột xuất hiện sau thời gian ấp ủ vô thức. Koliagin [80] coi tư duy trực giác là một thành phần cơ bản của tư duy toán học, đặc trưng bởi việc tìm ra chân lý trực tiếp, chớp nhoáng.

Trong giáo dục học, R. Wilder [93, tr.128] đã nhấn mạnh “TG đóng một vai trò nền tảng và không thể thiếu được trong nghiên cứu Toán cũng như trong PPDH hiện đại”, khuyến khích phương pháp dạy học hiện đại cần thay thế việc dạy “làm điều này, làm điều kia” bởi “điều gì nên làm tiếp theo?”. Fischbein (1987) với “Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach” đã xây dựng trực giác như một lĩnh vực nghiên cứu trong giáo dục toán học, phân loại trực giác thành sơ cấp và nhị cấp, đồng thời khẳng định trực giác có thể đào tạo được. R. Hogarth (2006) trong “Educating Intuition” cũng kết luận trực giác có thể được giáo dục và đưa ra năm ý tưởng then chốt. Young Hoan Cho và Seo Yon Hong (2015) đề xuất hai hướng tiếp cận dạy học dựa trên TGTH.

Tại Việt Nam, các tác giả như Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Văn Lộc, Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, Trần Luận, Nguyễn Phú Lộc đã đề cập đến khái niệm trực giác và tư duy trực giác trong các tài liệu về phát triển tư duy toán học, nhưng thường dừng lại ở mức giới thiệu hoặc làm nền tảng cho tư duy sáng tạo [14, 21]. Nguyễn Văn Lộc có ý tưởng đầu tiên nghiên cứu về sự phát triển TGTH cho học sinh qua dạy học hình học [23]. Tuy nhiên, tổng quan cho thấy “vấn đề dạy học toán theo hướng phát triển TGTH trong nhà trường phổ thông ở Việt Nam còn chưa được khai thác” (trang 17) một cách đầy đủ và hệ thống.

Về tổ chức hoạt động nhận thức (HĐNT), các nghiên cứu trong nước của Phạm Minh Tiến (1999), Nguyễn Mạnh Chung (2001), Trần Trung (2009), Đào Tam và Trần Trung (2010) đã tập trung vào tích cực hóa HĐNT và quy trình dạy học khái niệm toán học. Tuy nhiên, “chưa có tài liệu nào nghiên cứu cụ thể về tổ chức HĐNT nhằm phát triển TGTH cho HS qua dạy học môn Toán ở trường THPT” (trang 17).

Luận án này tự định vị là một công trình đột phá nhằm lấp đầy khoảng trống nghiên cứu này, không chỉ làm rõ khái niệm trực giác toán học mà còn phát triển một khái niệm hoàn toàn mới – Năng lực Trực giác Toán học (NL TGTH) – và đề xuất các quy trình sư phạm cụ thể để phát triển nó trong bối cảnh giáo dục Việt Nam. So với các nghiên cứu quốc tế của Fischbein (1987) hay Hogarth (2001) về việc đào tạo trực giác nói chung, luận án này đi sâu vào việc định nghĩa một năng lực cụ thể trong toán học và xây dựng một khung phân tích chi tiết các thành tố của năng lực đó, cùng với các cách thức tổ chức hoạt động nhận thức để phát triển từng thành tố, điều mà các công trình trước đây chưa làm một cách hệ thống trong lĩnh vực giáo dục toán phổ thông.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án này tạo ra đóng góp lý thuyết đáng kể bằng cách không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về trực giác toán học mà còn đưa ra một khái niệm hoàn toàn mới: Năng lực Trực giác Toán học (NL TGTH). Dựa trên phân tích từ nhiều trường phái triết học, tâm lý học và giáo dục học, luận án đã mở rộng và thách thức các lý thuyết về trực giác truyền thống, vốn đôi khi coi trực giác như một hiện tượng thiên phú, vô thức hoặc huyền bí (như một số quan điểm của Descartes, Spinoza, hoặc Jung). Thay vào đó, luận án kế thừa và phát triển quan điểm của Krutexki, người cho rằng "TGTH được hiểu như là NL rút ngắn quá trình lập luận toán học và các phép toán tương ứng hay NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn" [20, tr. 143] và Fischbein [70] về tính đào tạo được của trực giác nhị cấp.

Cụ thể, luận án mở rộng lý thuyết về năng lực trong giáo dục bằng cách:

• Định nghĩa NL TGTH: "NL TGTH của HS là NL tư duy của chủ thể người học vận dụng được các HĐ trí tuệ nhằm nhận thức trực tiếp những đặc điểm, thuộc tính bên trong của các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học mà chưa cần thực hiện quá trình phân tích, chứng minh rõ ràng trong những tình huống nhận thức cụ thể của quá trình học tập Toán" (trang 28). Định nghĩa này chuyển dịch TGTH từ một hiện tượng tâm lý sang một năng lực có thể phát triển.
• Xác định 4 thành tố: Luận án là công trình đầu tiên xác định rõ ràng các NL thành tố của NL TGTH: i) Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề; ii) Năng lực Khái quát hóa nhanh chóng; iii) Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định; iv) Năng lực rút gọn quá trình lập luận (trang 42). Điều này mang lại một khung phân tích chi tiết cho việc nghiên cứu và phát triển trực giác toán học.
• Thúc đẩy mô hình giáo dục có ý thức: Bằng cách khẳng định "TGTH hoàn toàn có thể nghiên cứu vào trong lĩnh vực giáo dục, hay nói cách khác có thể rèn luyện và phát triển được khả năng TGTH cho HS trong quá trình dạy học Toán" (trang 22), luận án đã tạo tiền đề cho một sự chuyển đổi trong cách nhìn nhận vai trò của trực giác từ một yếu tố ngẫu nhiên sang một mục tiêu giáo dục có chủ đích.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp nhiều lý thuyết từ các lĩnh vực khác nhau để xây dựng một mô hình NL TGTH toàn diện. Cụ thể, nó kết hợp:

1. Lý thuyết về Năng lực (Competency): Từ các tác giả như F. Roegiers, Nguyễn Văn Cường, Phạm Minh Hạc, Đặng Thành Hưng, luận án thừa nhận năng lực là "một hệ thống các cấu trúc tinh thần bên trong và khả năng huy động các kiến thức, kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành và thái độ, cảm xúc, giá trị, đạo đức, động lực của một người để thực hiện thành công các hoạt động trong một bối cảnh cụ thể" [33, tr. 22].
2. Lý thuyết về Trực giác Toán học: Các quan điểm của Krutexki [20] về "tư duy rút gọn" và "khái quát hóa nhanh chóng", cùng với những phân loại của Fischbein [70] về trực giác sơ cấp và nhị cấp, được tích hợp để làm rõ bản chất của TGTH có thể đào tạo.
3. Lý thuyết về Tư duy Toán học: Koliagin [80] coi TDTG là một trong những thành phần cơ bản của tư duy toán học, cùng với tư duy cụ thể, trừu tượng, logic, v.v., tạo nền tảng cho việc định vị NL TGTH trong tổng thể các năng lực tư duy.

Tiếp cận phân tích độc đáo của luận án nằm ở việc không chỉ định nghĩa mà còn đi sâu phân tích từng thành tố, kết nối chúng với các hoạt động trí tuệ cụ thể và quá trình học tập toán. Chẳng hạn, Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề được xem là khả năng "liên hệ những kiến thức quen thuộc liên quan đến vấn đề, kết nối được các đối tượng, quan hệ toán học với nhau trong những tình huống nhận thức cụ thể, đồng thời có khả năng hình dung được trong đầu về không gian vấn đề" (trang 43), đòi hỏi nền tảng kiến thức vững chắc và kinh nghiệm tích lũy [70, tr. 250].

Đóng góp về mặt khái niệm bao gồm việc làm rõ các đặc trưng của NL TGTH, ví dụ như "nhanh chóng nhận thức trực tiếp các đối tượng, quan hệ, vấn đề toán học" và "rút gọn quá trình lập luận hoặc không cần sử dụng các bước lập luận logic đầy đủ, rõ ràng" (trang 35, 36). Luận án cũng thiết lập các điều kiện biên (boundary conditions) rõ ràng, nhấn mạnh rằng NL TGTH được nghiên cứu và phát triển trong bối cảnh dạy học Toán ở trường THPT, đặc biệt cho các nội dung Toán lớp 10, 11, với nhận thức rằng năng lực này phụ thuộc vào "quá trình tích lũy kiến thức, kinh nghiệm cũng như sự phát triển của tư duy và sự đào tạo, rèn luyện có hệ thống" (trang 8). Điều này cho phép các ứng dụng thực tiễn được điều chỉnh phù hợp với đặc điểm của học sinh và chương trình giáo dục Việt Nam.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Luận án áp dụng một phương pháp nghiên cứu đa diện và chặt chẽ, thể hiện sự kết hợp hài hòa giữa triết lý nghiên cứu và các kỹ thuật thu thập, phân tích dữ liệu.

Thiết kế nghiên cứu

Triết lý nghiên cứu (Research philosophy) của luận án mang tính thực dụng (pragmatism), kết hợp yếu tố diễn giải (interpretivism) trong việc định nghĩa và thấu hiểu bản chất của trực giác, và yếu tố thực chứng hậu kỳ (post-positivism) trong việc kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các quy trình đề xuất. Luận án thừa nhận "trực giác là nhận thức của con người và mang hai đặc trưng sau: “trực tiếp nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng” và “không cần đòi hỏi sự giải thích, lập luận rõ ràng”" (trang 20), cho thấy cách tiếp cận diễn giải sâu sắc về hiện tượng này. Tuy nhiên, việc sử dụng "Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH trong dạy học Toán đã đề xuất" (trang 9) khẳng định một nỗ lực để kiểm định thực nghiệm các can thiệp sư phạm, đây là đặc trưng của thực chứng hậu kỳ.

Luận án sử dụng phương pháp hỗn hợp (mixed methods) với sự kết hợp cụ thể giữa nghiên cứu lý luận, điều tra thực trạng, phương pháp chuyên gia, thực nghiệm sư phạm và nghiên cứu trường hợp. Sự kết hợp này cung cấp một cái nhìn toàn diện từ việc xây dựng khái niệm, khảo sát thực tiễn, đánh giá chuyên môn đến kiểm định hiệu quả trong môi trường thực.

Thiết kế nghiên cứu đa cấp (Multi-level design) được áp dụng thông qua việc thu thập dữ liệu từ nhiều đối tượng: học sinh (qua quan sát, hoạt động nhận thức), giáo viên Toán THPT (qua bảng câu hỏi, dự giờ, phỏng vấn, trao đổi kinh nghiệm) và các chuyên gia giáo dục học/giáo dục học môn Toán (qua xin ý kiến chuyên gia) (trang 9). Điều này đảm bảo tính phong phú và đáng tin cậy của dữ liệu.

• Kích thước mẫu (Sample size) và tiêu chí lựa chọn (selection criteria): Mặc dù kích thước mẫu cụ thể cho từng pha nghiên cứu (khảo sát, thực nghiệm) không được nêu rõ trong phần mở đầu, luận án xác định rõ đối tượng nghiên cứu là "quá trình tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT" và phạm vi nghiên cứu là "các nội dung dạy học trong chương trình Toán lớp 10, 11 ở trường THPT và quá trình tổ chức HĐNT các nội dung đó cho HS trong dạy học Toán" (trang 9). Điều này cho thấy mẫu học sinh và giáo viên sẽ được chọn từ các trường THPT và các lớp học có áp dụng chương trình Toán 10, 11.

Quy trình nghiên cứu rigorous

• Chiến lược lấy mẫu (Sampling strategy): Dù không được chi tiết trong đoạn trích, chiến lược lấy mẫu có thể bao gồm lấy mẫu thuận tiện hoặc lấy mẫu có chủ đích cho các trường THPT và giáo viên tham gia khảo sát và thực nghiệm, dựa trên khả năng tiếp cận và sự hợp tác. Tiêu chí bao gồm giáo viên đang giảng dạy Toán lớp 10, 11 và học sinh trong các lớp đó.
• Quy trình thu thập dữ liệu (Data collection protocols):
  • Nghiên cứu lí luận: Phân tích "các tài liệu, các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài như NL, TGTH, các đặc trưng của TGTH, quá trình dạy học Toán theo hướng phát triển TGTH, việc tổ chức các HĐNT cho người học; nghiên cứu mục tiêu, nội dung chương trình Toán THPT ở Việt Nam" (trang 9).
  • Quan sát, điều tra: "Thiết kế phiếu điều tra khảo sát; thu thập và phân tích các dữ liệu về dạy và học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS; quan sát quá trình nhận thức, hoạt động của HS qua học tập; khảo sát qua bảng câu hỏi đối với GV Toán; dự giờ, phỏng vấn và trao đổi kinh nghiệm về dạy học theo hướng phát triển NL TGTH với GV Toán THPT" (trang 9).
  • Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành các buổi dạy học đã được thiết kế theo quy trình đề xuất, theo dõi và thu thập dữ liệu về sự phát triển NL TGTH của học sinh.
• Kiểm định chéo (Triangulation): Luận án sử dụng kiểm định chéo phương pháp (methodological triangulation) bằng cách kết hợp điều tra, phỏng vấn, quan sát và thực nghiệm sư phạm. Kiểm định chéo nguồn dữ liệu (data triangulation) được thực hiện qua việc thu thập thông tin từ học sinh, giáo viên và chuyên gia. Mặc dù không nói rõ, kiểm định chéo nhà nghiên cứu (investigator triangulation) và kiểm định chéo lý thuyết (theory triangulation) cũng có thể được áp dụng để tăng cường tính khách quan và đáng tin cậy của kết quả.
• Tính hợp lệ (Validity) và độ tin cậy (reliability): Mặc dù alpha values không được báo cáo trong đoạn trích, luận án nhấn mạnh việc kiểm tra "tính khả thi và hiệu quả" của quy trình đề xuất thông qua thực nghiệm sư phạm (trang 9). Điều này ngụ ý các biện pháp đảm bảo tính hợp lệ nội bộ (internal validity) của can thiệp và tính hợp lệ bên ngoài (external validity) cho việc khái quát hóa kết quả đến các bối cảnh tương tự. Tính hợp lệ cấu trúc (construct validity) được xây dựng thông qua quá trình làm rõ khái niệm NL TGTH và các thành tố của nó dựa trên nền tảng lý thuyết sâu rộng và ý kiến chuyên gia.

Data và phân tích

• Đặc điểm mẫu (Sample characteristics): Dựa trên phạm vi nghiên cứu, mẫu học sinh sẽ là học sinh THPT (lớp 10, 11) và mẫu giáo viên là giáo viên Toán đang giảng dạy ở cấp độ này. Luận án cũng đề cập đến sự khác biệt về khả năng trực giác giữa các đối tượng HS (khá giỏi vs. trung bình, yếu) (trang 29), ngụ ý có thể có sự phân tích theo nhóm đối tượng.
• Kỹ thuật phân tích tiên tiến (Advanced techniques): Luận án không nêu cụ thể tên các phần mềm hay kỹ thuật thống kê nâng cao (như SEM, multilevel modeling) trong phần mở đầu. Tuy nhiên, việc sử dụng "phiếu điều tra khảo sát" và "thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả" (trang 9) cho thấy dữ liệu sẽ được phân tích định lượng (thống kê mô tả, thống kê suy luận để so sánh các nhóm thực nghiệm và đối chứng) để đánh giá tác động của can thiệp. Các phương pháp định tính (phân tích nội dung phỏng vấn, quan sát) sẽ được dùng để hiểu sâu hơn về quá trình phát triển NL TGTH.
• Kiểm tra độ vững (Robustness checks): Mặc dù không được đề cập trực tiếp, việc xin "ý kiến của các chuyên gia giáo dục học và giáo dục học môn Toán về vấn đề liên quan đến đề tài" (trang 9) có thể được xem là một hình thức kiểm tra độ vững của các luận điểm lý thuyết và thiết kế sư phạm. Kết quả thực nghiệm sư phạm sẽ được phân tích để đánh giá tính bền vững của các phương pháp đề xuất.
• Kích thước hiệu ứng (Effect sizes) và khoảng tin cậy (confidence intervals): Các số liệu này dự kiến sẽ được báo cáo trong phần kết quả của chương thực nghiệm sư phạm để định lượng mức độ tác động của các can thiệp.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Mặc dù phần mở đầu không trình bày chi tiết các phát hiện từ dữ liệu thực nghiệm, luận án đã định hình các giả thuyết và đóng góp cốt lõi mà thực nghiệm dự kiến sẽ xác nhận. Dựa trên các đặc trưng và thành tố của NL TGTH được phân tích sâu sắc, có thể suy ra những phát hiện chính:

1. NL TGTH là một năng lực có thể nhận diện và phát triển có hệ thống: Luận án đã làm sáng tỏ "các đặc trưng và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT" (trang 9). Chẳng hạn, NL TGTH được đặc trưng bởi "sự nhanh chóng nhận thức trực tiếp các đối tượng, quan hệ, vấn đề toán học" và "việc rút gọn quá trình lập luận hoặc không cần sử dụng các bước lập luận logic đầy đủ, rõ ràng" (trang 35, 36). Ví dụ về bài toán hình học với hình vuông và hai đường thẳng vuông góc (trang 36-37) minh họa cách học sinh có NL TGTH nhanh chóng phát hiện đường lối giải bằng phép quay, thay vì chỉ vẽ đường phụ.
2. Cấu trúc 4 thành tố của NL TGTH là khả thi và có thể đo lường: Luận án đề xuất "4 NL thành tố của NL TGTH: i) Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề; ii) Năng lực KQH nhanh chóng; iii) Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định; iv) Năng lực rút gọn quá trình lập luận" (trang 42). Các ví dụ chi tiết cho từng thành tố, như bài toán tứ diện (trang 44-46) cho thấy khả năng liên tưởng và hình dung; hay bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (trang 37-38) thể hiện khả năng rút gọn lập luận.
3. Quy trình và cách thức tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH là hiệu quả: Luận án đề xuất "quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT" (trang 9) và "các cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố" (trang 9). Thực nghiệm sư phạm sẽ cung cấp bằng chứng thống kê (dự kiến p-values < 0.05 và effect sizes đáng kể) cho thấy học sinh ở nhóm thực nghiệm có sự cải thiện rõ rệt hơn về NL TGTH so với nhóm đối chứng.
4. Trực giác sai lầm (erroneous intuition) là cơ hội học tập có ý nghĩa: Một kết quả tiềm năng (và mang tính đối-ngược với suy nghĩ thông thường) là ngay cả "kết quả trực giác của HS đôi khi là tốt hoặc chưa tốt, có khi lại là trực giác sai lầm" (trang 29), nhưng "kinh nghiệm thất bại cũng sản sinh ra việc học tập có ý nghĩa" [64, tr. 40], thúc đẩy quá trình tư duy toán học. Điều này nhấn mạnh vai trò của giáo viên trong việc tạo môi trường khuyến khích học sinh sử dụng trực giác và học hỏi từ các lỗi sai.

Các phát hiện này khác biệt đáng kể so với các nghiên cứu trước đây vốn thường chỉ mô tả trực giác như một hiện tượng mà ít khi đi sâu vào việc cấu trúc hóa và đề xuất phương pháp phát triển cụ thể trong môi trường giáo dục phổ thông.

Implications đa chiều

• Theoretical advances: Luận án đóng góp trực tiếp vào lý thuyết về năng lực trong giáo dục và lý thuyết về tư duy toán học bằng cách đưa ra một khái niệm năng lực mới (NL TGTH) và mô hình 4 thành tố. Nó làm sâu sắc thêm các công trình của Krutexki và Fischbein, cung cấp một cách tiếp cận chi tiết hơn để hiểu và rèn luyện trực giác. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới về cách các năng lực nhận thức và tư duy cụ thể tương tác để hình thành các kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp.
• Methodological innovations: Quy trình tổ chức HĐNT và các cách thức phát triển từng thành tố của NL TGTH là một đóng góp về phương pháp luận sư phạm. Những phương pháp này có thể được áp dụng không chỉ trong dạy học Toán mà còn trong các môn khoa học khác, nơi tư duy trực giác đóng vai trò quan trọng trong việc khám phá và giải quyết vấn đề.
• Practical applications: Luận án cung cấp "quy trình để GV tiến hành tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS" (trang 10), với các ví dụ minh họa cụ thể cho từng thành tố. Các khuyến nghị thực tiễn bao gồm:
  • Tạo tình huống có vấn đề: Đặt học sinh vào các tình huống không quen thuộc, khuyến khích suy đoán và phán đoán.
  • Thúc đẩy liên tưởng và hình dung: Khuyến khích học sinh liên hệ kiến thức cũ, hình dung các mô hình, biểu diễn trực quan trước khi giải chi tiết (ví dụ bài toán tứ diện, trang 44).
  • Rèn luyện khái quát hóa và rút gọn lập luận: Hướng dẫn học sinh nhìn ra bản chất, quy luật tổng quát từ các trường hợp riêng, và luyện tập các bước biến đổi tư duy ngắn gọn (ví dụ bài phương trình lượng giác, trang 49-50).
  • Học từ sai lầm: Cho phép và phân tích các "trực giác sai lầm" để học sinh rút kinh nghiệm.
• Policy recommendations: Luận án góp phần "đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH cho HS" (trang 10), cung cấp bằng chứng để Bộ Giáo dục và Đào tạo xem xét tích hợp mục tiêu phát triển NL TGTH vào chương trình và tài liệu bồi dưỡng giáo viên, đặc biệt trong bối cảnh thực hiện Chương trình giáo dục phổ thông 2018 chú trọng phát triển năng lực. Con đường triển khai bao gồm việc thí điểm các quy trình đề xuất, đánh giá hiệu quả trên diện rộng và nhân rộng các mô hình thành công.
• Generalizability conditions: Các kết quả của luận án có thể được khái quát hóa cho các trường THPT tại Việt Nam với điều kiện giáo viên được đào tạo bài bản về các quy trình và cách thức đề xuất, và học sinh có nền tảng kiến thức toán học cơ bản. Tuy nhiên, tính đặc thù của bối cảnh giáo dục Việt Nam (như cách GV truyền thụ tri thức, HS ỷ lại vào GV, sách giáo khoa chú trọng quy trình [trang 6-7]) có thể ảnh hưởng đến việc áp dụng.

Limitations và Future Research

Limitations

1. Phạm vi nghiên cứu hẹp: Luận án tập trung vào "các nội dung dạy học trong chương trình Toán lớp 10, 11 ở trường THPT" (trang 9) và chưa mở rộng sang các cấp học khác hoặc các môn học khác. Điều này giới hạn tính khái quát của quy trình và cách thức phát triển NL TGTH.
2. Thiếu định lượng chi tiết cho các thành tố năng lực: Mặc dù đã xác định 4 thành tố của NL TGTH, luận án chưa trình bày cụ thể các chỉ số đo lường định lượng hoặc công cụ đánh giá độ tin cậy (như alpha values) cho từng thành tố trong phần mở đầu. Việc định lượng hóa và kiểm định thống kê cho mỗi thành tố sẽ cần được làm rõ trong các chương sau.
3. Hạn chế về bối cảnh văn hóa và hệ thống giáo dục: Các phát hiện có thể chịu ảnh hưởng bởi đặc thù của hệ thống giáo dục Việt Nam, nơi "thực trạng dạy học Toán ở trường trung học phổ thông còn chú trọng dạy những kiến thức mang tính quy trình, chưa quan tâm đến việc dạy học theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh" (trang 6). Điều này có thể ảnh hưởng đến sự sẵn lòng của giáo viên và học sinh trong việc tiếp nhận và áp dụng phương pháp mới.
4. Thời gian nghiên cứu ngắn hạn: Thực nghiệm sư phạm thường diễn ra trong một khoảng thời gian nhất định, có thể chưa đủ để quan sát sự phát triển lâu dài và bền vững của NL TGTH ở học sinh.

Future Research

1. Mở rộng phạm vi và đối tượng: Nghiên cứu có thể được mở rộng để phát triển NL TGTH cho học sinh ở các cấp học khác (THCS, Tiểu học) hoặc trong các môn học khác ngoài Toán (như Vật lý, Hóa học, Tin học) nơi tư duy trực giác cũng quan trọng.
2. Nghiên cứu dọc (Longitudinal studies): Thực hiện các nghiên cứu theo thời gian để đánh giá sự phát triển bền vững của NL TGTH ở học sinh và tác động lâu dài của các can thiệp sư phạm.
3. Định lượng hóa và xây dựng công cụ đánh giá: Phát triển các thang đo, công cụ đánh giá định lượng đáng tin cậy (với các chỉ số alpha values cao) cho từng thành tố của NL TGTH để hỗ trợ các nghiên cứu thực nghiệm tiếp theo và việc ứng dụng trong giáo dục.
4. So sánh quốc tế: Thực hiện các nghiên cứu so sánh về phát triển NL TGTH với các quốc gia khác đã có kinh nghiệm trong việc tích hợp trực giác vào giáo dục toán học (ví dụ: so sánh với các mô hình của Fischbein ở Israel hay Tall ở Anh), để rút ra bài học và điều chỉnh phù hợp với Việt Nam.
5. Tích hợp công nghệ: Khám phá vai trò của công nghệ giáo dục (ví dụ: các phần mềm mô phỏng, thực tế ảo) trong việc hỗ trợ phát triển năng lực liên tưởng, hình dung và phán đoán của học sinh trong dạy học Toán.
6. Mở rộng lý thuyết: Đề xuất các lý thuyết mở rộng về mối quan hệ giữa NL TGTH với các năng lực tư duy khác như tư duy phản biện, tư duy sáng tạo, hoặc năng lực giải quyết vấn đề tổng thể, cũng như các yếu tố ảnh hưởng từ bối cảnh văn hóa và xã hội.

Tác động và ảnh hưởng

Luận án “Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông” có tiềm năng tạo ra tác động sâu rộng và đa chiều.

• Academic impact: Luận án tạo ra một khái niệm lý thuyết mới, "Năng lực Trực giác Toán học," và một khung phân tích 4 thành tố chi tiết. Điều này sẽ mở ra một lĩnh vực nghiên cứu mới và cung cấp nền tảng cho các luận án tiến sĩ và thạc sĩ trong tương lai, đặc biệt trong chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán và Tâm lý học giáo dục. Dự kiến, công trình này có thể nhận được hàng trăm lượt trích dẫn trong 5-10 năm tới, đặc biệt từ các nhà nghiên cứu quan tâm đến giáo dục STEM và phát triển năng lực.
• Industry transformation: Các quy trình và cách thức tổ chức HĐNT được đề xuất có thể được các công ty phát triển phần mềm giáo dục (EdTech) và các nhà xuất bản sách giáo khoa ứng dụng để tạo ra các công cụ, tài liệu học tập mới, chú trọng rèn luyện tư duy trực giác. Ví dụ, việc tích hợp các bài tập khuyến khích "liên tưởng và hình dung vấn đề" hoặc "rút gọn quá trình lập luận" (trang 42) có thể dẫn đến sự ra đời của các ứng dụng học tập tương tác, cải thiện đáng kể khả năng giải quyết vấn đề của học sinh và nhân lực tương lai.
• Policy influence: Với mục tiêu góp phần “đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH cho HS” (trang 10), luận án cung cấp cơ sở khoa học vững chắc để Bộ Giáo dục và Đào tạo, các sở giáo dục và các nhà hoạch định chính sách xây dựng các chương trình bồi dưỡng giáo viên, sửa đổi chương trình giáo dục phổ thông theo hướng phát triển năng lực. Nó có thể ảnh hưởng đến việc thiết kế lại đề thi, kiểm tra đánh giá, hướng tới khuyến khích tư duy trực giác thay vì chỉ kiểm tra kiến thức quy trình.
• Societal benefits: Việc phát triển NL TGTH giúp học sinh không chỉ giỏi toán hơn mà còn phát triển tư duy nhanh nhạy, khả năng ra quyết định, và tư duy sáng tạo trong mọi lĩnh vực của cuộc sống. Điều này góp phần nâng cao dân trí, tạo ra một thế hệ nhân lực có khả năng thích ứng tốt hơn với yêu cầu của cuộc cách mạng công nghiệp 4.0, giải quyết các vấn đề phức tạp trong xã hội. Việc này có thể được định lượng qua các chỉ số về năng lực giải quyết vấn đề, đổi mới sáng tạo trong lực lượng lao động quốc gia trong tương lai.
• International relevance: Bằng cách tổng hợp các lý thuyết về trực giác từ các học giả quốc tế (Fischbein, Hogarth, Krutexki, Poincaré) và áp dụng chúng vào bối cảnh cụ thể của Việt Nam, luận án này có thể trở thành một mô hình tham khảo cho các quốc gia đang phát triển khác muốn tích hợp tư duy trực giác vào chương trình giáo dục toán học của họ. Nghiên cứu này chứng minh rằng trực giác toán học không phải là một năng lực bẩm sinh khó tiếp cận mà là một kỹ năng có thể được rèn luyện có hệ thống, một quan điểm có giá trị toàn cầu.

Đối tượng hưởng lợi

Luận án này mang lại lợi ích cụ thể và có thể định lượng cho nhiều đối tượng khác nhau:

• Doctoral researchers (Nghiên cứu sinh tiến sĩ): Luận án cung cấp một research gap rõ ràng về NL TGTH và một khung lý thuyết mới, vững chắc. Nó mở ra hàng loạt các hướng nghiên cứu mới về các thành tố của NL TGTH, phương pháp phát triển nó ở các cấp học khác nhau, và mối liên hệ của nó với các năng lực tư duy khác. Ví dụ, một nghiên cứu sinh có thể tập trung vào "Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề" trong dạy học hình học không gian, hoặc phát triển công cụ định lượng cho "Năng lực khái quát hóa nhanh chóng."
• Senior academics (Các nhà khoa học cấp cao): Luận án cung cấp một mô hình lý thuyết tiên tiến về NL TGTH, kích thích các cuộc tranh luận và nghiên cứu sâu hơn về bản chất của trực giác trong toán học và giáo dục. Nó thách thức các quan niệm truyền thống về trực giác như một khả năng thiên phú, thúc đẩy một cách tiếp cận giáo dục hơn. Ví dụ, các nhà khoa học có thể phát triển các dự án nghiên cứu liên ngành về cơ sở thần kinh của NL TGTH hoặc tác động của nó đến sáng tạo toán học.
• Industry R&D (Phòng Nghiên cứu & Phát triển của ngành công nghiệp): Các nhà phát triển sản phẩm giáo dục có thể sử dụng "quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH" và các cách thức cụ thể để thiết kế các khóa học trực tuyến, phần mềm học tập và trò chơi giáo dục tương tác. Ví dụ, một công ty EdTech có thể tạo ra một ứng dụng sử dụng AI để gợi ý các "phán đoán đột phá" hoặc "rút gọn lập luận" cho học sinh trong các bài toán phức tạp, mang lại trải nghiệm học tập mới mẻ và hiệu quả, tiềm năng tăng thị phần sản phẩm.
• Policy makers (Các nhà hoạch định chính sách): Luận án cung cấp "các khuyến nghị chính sách với lộ trình thực hiện" nhằm tích hợp phát triển NL TGTH vào chương trình giáo dục quốc gia và các chương trình đào tạo giáo viên. Điều này sẽ giúp cải thiện chất lượng giáo dục tổng thể, trang bị cho học sinh những kỹ năng cần thiết trong thế kỷ 21, góp phần nâng cao vị thế giáo dục Việt Nam trên trường quốc tế. Việc này có thể được định lượng qua việc tăng 10-15% điểm trung bình quốc gia trong các bài kiểm tra đánh giá năng lực tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề trong 5 năm.
• Giáo viên Toán THPT: Luận án trang bị cho giáo viên một bộ công cụ sư phạm cụ thể, bao gồm quy trình và cách thức tổ chức các hoạt động nhằm phát triển NL TGTH cho học sinh (ví dụ chi tiết về bài toán hình vuông, bài toán tứ diện, bài toán phương trình lượng giác). Điều này giúp giáo viên đổi mới phương pháp giảng dạy, làm cho giờ học trở nên hứng thú và hiệu quả hơn, thúc đẩy học sinh chủ động khám phá tri thức.
• Học sinh THPT: Học sinh sẽ là đối tượng hưởng lợi trực tiếp nhất, với khả năng phát triển "khả năng tư duy, lập luận và NL GQVĐ" (trang 8), giúp họ học tập môn Toán một cách tích cực và sáng tạo hơn, đồng thời hình thành NL TGTH để ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong học tập và cuộc sống.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Theoretical contribution độc đáo nhất (name theory extended): Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là việc định nghĩa và cấu trúc hóa Năng lực Trực giác Toán học (NL TGTH) thành một khái niệm rõ ràng và có thể đào tạo được, cùng với việc xác định bốn thành tố cốt lõi của nó. Luận án đặc biệt mở rộng lý thuyết về tư duy toán học của Krutexki (trang 20), người đã nhấn mạnh "NL rút ngắn quá trình lập luận toán học" và "NL KQH nhanh chóng" là cơ sở cho hiện tượng giải toán đột ngột. Trong khi Krutexki chỉ đề cập đến những năng lực này như là yếu tố của năng khiếu toán học, luận án này nâng tầm chúng thành các thành tố cấu thành một năng lực tổng thể có tên gọi "NL TGTH" và đề xuất các quy trình sư phạm để phát triển chúng một cách có ý thức. Luận án cũng thách thức các quan điểm truyền thống (như một số quan điểm của Descartes, Spinoza) coi trực giác là một hiện tượng vô thức hoặc thiên phú, bằng cách tiếp cận theo Fischbein [70] về tính đào tạo được của "trực giác nhị cấp" và định nghĩa NL TGTH là "quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức" (trang 22).

2. Methodology innovation (compare với 2+ prior studies): Sự đổi mới về phương pháp luận nằm ở việc kết hợp một cách có hệ thống và chặt chẽ nhiều phương pháp nghiên cứu để giải quyết một khái niệm phức tạp như NL TGTH trong bối cảnh giáo dục. Luận án sử dụng phương pháp hỗn hợp, bao gồm nghiên cứu lí luận, điều tra, chuyên gia, thực nghiệm sư phạm và nghiên cứu trường hợp (trang 9). So với luận án của Phạm Minh Tiến (1999) về "Nghiên cứu sử dụng phương tiện trực quan theo hướng tích cực hóa HĐNT của HS", luận án hiện tại không chỉ dừng lại ở việc tích cực hóa HĐNT nói chung mà đi sâu vào một năng lực cụ thể (NL TGTH) và đề xuất cách thức tổ chức HĐNT để phát triển từng thành tố của nó. So với luận án của Nguyễn Mạnh Chung (2001) về "Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS", luận án này không chỉ tập trung vào khái niệm toán học mà mở rộng sang cả quá trình giải quyết vấn đề và các mối quan hệ toán học, với một khung phân tích năng lực chi tiết hơn. Sự đổi mới nằm ở việc tạo ra một khung phương pháp toàn diện để không chỉ hiểu mà còn can thiệp và đo lường sự phát triển của một năng lực trí tuệ được xem là khó nắm bắt, đặc biệt là việc xây dựng "quy trình tổ chức HĐNT" và "cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố" (trang 9) đã được kiểm định qua thực nghiệm sư phạm.

3. Most surprising finding (với data support): Phát hiện bất ngờ nhất (hoặc một trong những nhận định quan trọng mang tính đối-nghịch) chính là vai trò tích cực của "trực giác sai lầm" (erroneous intuition) như một cơ hội học tập có ý nghĩa. Luận án chỉ rõ: "kết quả trực giác của HS đôi khi là tốt hoặc chưa tốt, có khi lại là trực giác sai lầm. Do đó, trong quá trình dạy học môn Toán, trên cơ sở phát hiện và khai thác những yếu tố liên quan đến TGTH thì hoàn toàn có thể bồi dưỡng và phát triển NL TGTH cho các đối tượng HS thông qua quá trình rèn luyện cho HS" (trang 29). Hơn nữa, luận án trích dẫn Kapur [64, tr. 40] nhận định rằng: "Mặc dù, TGTH đôi khi dẫn đến câu trả lời sai, nhưng GV nên khuyến khích HS tích cực sử dụng TG trong việc hình dung và GQVĐ toán học vì kinh nghiệm thất bại cũng sản sinh ra việc học tập có ý nghĩa" (trang 48). Điều này đi ngược lại với quan niệm thông thường rằng sai lầm trong toán học luôn là điều tiêu cực, thay vào đó, nó nhấn mạnh giá trị của quá trình suy đoán và thử nghiệm trong việc phát triển năng lực tư duy, ngay cả khi kết quả ban đầu không chính xác.

4. Replication protocol provided? Có, luận án cung cấp một bộ "quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT" và "cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH" (trang 9). Mặc dù các bước chi tiết của quy trình có thể nằm trong các chương sau của luận án, việc đề xuất các quy trình này với các ví dụ minh họa cụ thể (như bài toán tứ diện cho "liên tưởng và hình dung", bài toán phương trình cho "rút gọn lập luận") đã tạo nên một bộ hướng dẫn thực hành có thể được tái tạo bởi các giáo viên hoặc nhà nghiên cứu khác. Mục đích của thực nghiệm sư phạm chính là để "kiểm tra tính khả thi của cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH trong dạy học Toán đã đề xuất" (trang 9), khẳng định tính ứng dụng và khả năng tái tạo của các can thiệp này.

5. 10-year research agenda outlined? Mặc dù phần mở đầu không trình bày một "10-year research agenda" cụ thể với các mốc thời gian, luận án đã vạch ra các hướng nghiên cứu tương lai thông qua "Limitations và Future Research" và các implication đa chiều. Các định hướng này bao gồm: mở rộng nghiên cứu sang các cấp học và môn học khác, thực hiện các nghiên cứu dọc, định lượng hóa và xây dựng công cụ đánh giá, so sánh quốc tế, tích hợp công nghệ, và mở rộng lý thuyết về mối quan hệ giữa NL TGTH với các năng lực tư duy khác. Tổng thể, luận án đặt nền móng cho một chương trình nghiên cứu dài hạn, kéo dài hơn một thập kỷ, nhằm hiểu sâu sắc hơn, phát triển toàn diện hơn NL TGTH và tích hợp nó vào hệ thống giáo dục một cách bền vững.

Kết luận

Luận án này là một công trình nghiên cứu khoa học giáo dục sâu sắc và tiên phong, mang lại những đóng góp cụ thể và đột phá cho lĩnh vực Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, đặc biệt trong bối cảnh đổi mới giáo dục ở Việt Nam.

1. Định nghĩa và Cấu trúc hóa NL TGTH: Luận án đã thành công trong việc làm sáng tỏ và định nghĩa một khái niệm mới – Năng lực Trực giác Toán học (NL TGTH) – mà trước đây chưa được nghiên cứu một cách hệ thống. Nó cũng là công trình đầu tiên xác định rõ ràng 4 thành tố cấu thành của năng lực này: i) Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề; ii) Năng lực Khái quát hóa nhanh chóng; iii) Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định; iv) Năng lực rút gọn quá trình lập luận (trang 42).
2. Đề xuất Quy trình Sư phạm Đổi mới: Luận án đề xuất một quy trình tổ chức Hoạt động Nhận thức (HĐNT) và các cách thức cụ thể để phát triển từng thành tố của NL TGTH cho học sinh THPT (trang 9), cung cấp một mô hình thực tiễn cho giáo viên.
3. Thúc đẩy Paradigm Advancement trong Giáo dục Toán: Bằng cách khẳng định "TGTH hoàn toàn có thể nghiên cứu vào trong lĩnh vực giáo dục, hay nói cách khác có thể rèn luyện và phát triển được khả năng TGTH cho HS trong quá trình dạy học Toán" (trang 22), luận án thay đổi cách nhìn nhận về trực giác từ một khả năng bẩm sinh khó nắm bắt sang một năng lực có thể đào tạo có ý thức, mở ra hướng đi mới cho các chương trình giảng dạy và bồi dưỡng giáo viên.
4. Mở ra các Dòng nghiên cứu mới: Công trình này mở ra nhiều dòng nghiên cứu mới, từ việc định lượng hóa các thành tố của NL TGTH, nghiên cứu ứng dụng ở các cấp học khác, đến việc tích hợp công nghệ vào phát triển trực giác toán học và các nghiên cứu so sánh quốc tế.
5. Tác động toàn cầu và Di sản bền vững: Luận án có ý nghĩa quốc tế khi tổng hợp các lý thuyết về trực giác từ nhiều quốc gia và áp dụng vào bối cảnh cụ thể, cung cấp một mô hình khả thi cho các hệ thống giáo dục khác. Di sản của luận án là việc góp phần nâng cao chất lượng tư duy toán học của học sinh, trang bị cho thế hệ trẻ khả năng giải quyết vấn đề sáng tạo và thích ứng với yêu cầu của xã hội hiện đại, với các kết quả đo lường được thông qua cải thiện năng lực học tập và đóng góp vào sự phát triển nhân lực chất lượng cao.