Bổ sung Yukawa vòng lặp cho quá trình pp → bb̄H trong Mô hình Chuẩn tại LHC: Singularities Landau

LAPTH-1261/08 Université de Savoie, Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique THÈSE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR EN PHYSIQUE DE L’UNIVERSITÉ DE SAVOIE Spécialité: Physique Théorique par LÊ Đức Ninh Sujet : ONE-LOOP YUKAWA CORRECTIONS TO THE PROCESS pp → bb̄H IN THE STANDARD MODEL AT THE LHC: LANDAU SINGULARITIES. Soutenue le 22 Juillet 2008 après avis des rapporteurs : Mr. Guido ALTARELLI Mr. Ansgar DENNER devant la commission d’examen composée de : Mr.

Guido ALTARELLI Rapporteur Mr. Patrick AURENCHE Mr. Fawzi BOUDJEMA Directeur de thèse Mr. Ansgar DENNER Rapporteur Mr.

Luc FRAPPAT Président du jury Mr. HOÀNG Ngọc Long Co-directeur de thèse Mr. NGUYỄN Anh Kỳ Résumé Le sujet de ma thèse recouvre deux aspects. En premier lieu, l’objectif était d’étudier et d’améliorer les méthodes de calcul à une boucle pour les corrections radiatives dans le cadre des théories de champs perturbatives.

En second lieu, l’objectif était d’appliquer ces techniques pour calculer les effets dominants des corrections radiatives electrofaibles au processus important de production de Higgs associé à deux quarks bottom au LHC (Large Hadron Collider) du CERN. L’étude concerne le Higgs du Modèle Standard. Le premier objectif est d’importance plutôt théorique. Bien que la méthode générale pour le calcul à une boucle des corrections radiatives dans le modèle standard soit, en principe, bien compris par le biais de la renormalisation, il y a un certain nombre de difficultés techniques.

Ces difficultés sont liées aux intégrales de boucle, intégration sur les impulsions des particules virtuelles. En particulier les intégrales dites tensorielles peuvent être “réduites” en intégrales scalaires. Ceci revient à exprimer ces intégrales tensorielles sur une base d’intégrales scalaires pour lesquels des librairies numériques existent. Cependant cette réduction du rang de l’intégrale alourdit énormément les expressions analytiques surtout lorsqu’il s’agit de processus impliquant plus de 4 particules externes, comme dans le cas de notre application, jusqu’à rendre le code pour les amplitudes de transition pratiquement inexploitable même avec des ordinateurs puissants.

Dans cette thèse, nous avons étudié ce problème et réalisé que tout le calcul peut être facilement optimisé si l’on utilise la méthode des amplitudes d’hélicité. Un autre problème est lié aux propriétés analytiques des intégrales scalaires. Une partie importante de cette thèse est consacrée à ce problème et à l’étude des équations de Landau. Nous avons trouvé des effets significatifs en raison de singularités de Landau dans le processus de production de Higgs associé à deux quarks bottom au LHC.

Le deuxième objectif est d’ordre pratique avec des conséquences au niveau phénoménologique et expérimental importants puisqu’il s’agit de raffiner les prédictions concernant le taux de production du Higgs en association avec des quarks b au LHC. L’intérêt de ce processus est de tester le mécanisme de génération de masses en sondant le couplage de Yukawa du Higgs au quark b. Dans cette thèse, nous avons calculé les corrections électrofaibles à ce processus. On peut résumer les résultats comme suit.

Si la masse du Higgs est d’environ 120GeV, la correction au premier ordre dominant est petite de l’ordre d’environ −4%. Si la masse de Higgs est d’environ 160GeV, seuil de production d’une paire de W par le Higgs, les corrections électrofaibles bénéficient du couplage fort du Yukawa du top et sont amplifiées par la singularité de Landau conduisant à une importante correction d’environ 50%. Ce phénomène important est soigneusement étudiée dans cette thèse. Tóm tắt Mục đích của luận án này bao gồm hai phần chính.

Phần thứ nhất liên quan đến việc nghiên cứu các phương pháp tính bổ đính vòng trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn. Phần thứ hai bao gồm việc vận dụng các phương pháp trên để tính toán bổ đình liên quan đến tương tác yếu ở mức một vòng cho quá trình pp → bb̄H tại máy gia tốc LHC. Các tính toán trong luận án này giới hạn trong khuôn khổ của mô hình chuẩn. Mục đích thứ nhất là quan trọng về mặt lý thuyết.

Mặc dù cách thức tính bổ đính một vòng trong lý thuyết trường nhiễu loạn, về mặt nguyên tắc, đã được hiểu một cách rõ ràng thông qua việc tái chuẩn hoá. Trong thực tế, quy trình đó biểu lộ nhiều khó khăn liên quan đến việc tính tích phân vòng. Phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn khi các tính toán có nhiều hơn 4 hạt ở trạng thái ngoài. Đó là vì biểu thức đại số của biên độ tán xạ trở nên rất phức tạp và khó xử lý.

Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu vấn đề này và nhận thấy rằng việc tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu sử dụng phương pháp biên độ tán xạ phân cực. Một vấn đề khác liên quan đến tính chất giải tích của tích phân vòng. Một phần quan trọng của luận án được dành để nghiên cứu vấn đề này bằng cách sử dụng phương trình Landau. Chúng tôi đã tìm thấy những hiệu ứng quan trọng của dị thường Landau trong quá trình pp → bb̄H.

Mục đích thứ hai là quan trọng về mặt thực nghiệm. Quá trình pp → bb̄H tại máy gia tốc LHC là rất quan trọng trong việc xác định hệ số tương tác giữa Higgs và quark b. Nếu hệ số tương tác này là lớn như tiên đoán của mô hình Siêu đối xứng tối thiểu thì tiết diện tán xạ sẽ rất lớn. Trong luận án này, dựa vào các phương pháp lý thuyết thảo luận ở trên, chúng tôi đã tính toán các bổ đính chính của tương tác yếu.

Kết quả là như sau. Nếu khối lượng của hạt Higgs khoảng 120GeV thì bổ đính ở mức một vòng là nhỏ, khoảng −4%. Nếu khối lượng của hạt Higgs vào khoảng 160GeV thì bổ đính trên được làm tăng thêm nhiều bởi dị thường Landau, khoảng 50%. Hiện tượng quan trọng này được nghiên cứu kỹ trong luận án.

Table of Contents Table of Contents i Abstract v Acknowledgements vii Introduction 1 1 The Standard Model and beyond 9 1.2 The Glashow-Salam-Weinberg Model .2 Fermionic gauge sector .4 Fermionic scalar sector .5 Quantisation: Gauge-fixing and Ghost Lagrangian .6 One-loop renormalisation .3 Higgs Feynman Rules .4 Problems of the Standard Model .5 Minimal Supersymmetric Standard Model .1 The Higgs sector of the MSSM .2 Higgs couplings to gauge bosons and heavy quarks. 30 2 Standard Model Higgs production at the LHC 31 2.1 The Large Hadron Collider .2 SM Higgs production at the LHC .3 Experimental signatures of the SM Higgs .4 Summary and outlook. 38 3 Standard Model bb̄H production at the LHC 41 3.1 Leading order considerations .2 Electroweak Yukawa-type contributions, novel characteristics .3 Three classes of diagrams and the chiral structure at one-loop 47 3.1 Loop integrals, Gram determinants and phase space integrals .2 Checks on the results .5 Results: MH < 2MW .1 Input parameters and kinematical cuts .2 NLO EW correction with λbbH 6= 0 .3 EW correction in the limit of vanishing λbbH .1 Singularities of complex integrals .2 Landau equations for one-loop integrals .3 Necessary and sufficient conditions for Landau singularities .4 Nature of Landau singularities .1 Nature of leading Landau singularities .2 Nature of sub-LLS .5 Conditions for leading Landau singularities to terminate .6 Special solutions of Landau equations .1 Infrared and collinear divergences .2 Double parton scattering singularity. 91 5 SM bb̄H production at the LHC: MH ≥ 2MW 95 5.2 Landau singularities in gg → bb̄H .1 Three point function .2 Four point function .3 Conditions on external parameters to have LLS .3 The width as a regulator of Landau singularities .4 Calculation and checks .5 Results in the limit of vanishing λbbH .1 Total cross section .6 Results at NLO with λbbH 6= 0 .1 Width effect at NLO .2 NLO corrections with mb 6= 0.

126 6 Conclusions 129 A The helicity amplitude method 133 A.2 Transversality and gauge invariance. 136 iv B Optimization with FORM 139 B.3 Automation with FORM. 145 C Phase space integral 149 C.1 2 → 3 phase space integral .2 Numerical integration with BASES .1 Logarithms and Powers .3 Gamma and Beta functions. 160 E Scalar box integrals with complex masses 163 E.1 Integral with two opposite lightlike external momenta .2 Integral with two adjacent lightlike external momenta.

168 Bibliography 173 Abstract The aim of this thesis is twofold. First, to study methods to calculate one-loop corrections in the context of perturbative theories. Second, to apply those methods to calculate the leading electroweak (EW) corrections to the important process of Higgs production associated with two bottom quarks at the CERN Large Hadron Collider (LHC). Our study is restricted to the Standard Model (SM).

The first aim is of theoretical importance. Though the general method to cal- culate one-loop corrections in the SM is, in principle, well understood by means of renormalisation, it presents a number of technical difficulties. They are all related to loop integrals. The analytical method making use of various techniques to reduce all the tensorial integrals in terms of a basis of scalar integrals is most widely used nowadays.

A problem with this method is that for processes with more than 4 exter- nal particles the amplitude expressions are extremely cumbersome and very difficult to handle even with powerful computers. In this thesis, we have studied this problem and realised that the whole calculation can be easily optimised if one uses the helicity amplitude method. Another general problem is related to the analytic properties of the scalar loop integrals. An important part of this thesis is devoted to studying this by using Landau equations.

We found significant effects due to Landau singularities in the process of Higgs production associated with two bottom quarks at the LHC. The second aim is of practical (experimental) importance. Higgs production asso- ciated with bottom quarks at the LHC is a very important process to understand the v vi bottom-Higgs Yukawa coupling. If this coupling is strongly enhanced as predicted by the Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM) then this process can have a very large cross section.

In this thesis, based on the theoretical study mentioned above, we have calculated the leading EW corrections to this process. The result is the following. If the Higgs mass is about 120GeV then the next-to-leading order (NLO) correction is small, about −4%. If the Higgs mass is about 160GeV then the EW correction is strongly enhanced by the Landau singularities, leading to a signif- icant correction of about 50%.

This important phenomenon is carefully studied in this thesis. Acknowledgements I would like to thank Fawzi BOUDJEMA, my friendly supervisor, for accepting me as his student, giving me an interesting topic, many useful suggestions and constant support during this research. In particular, he has suggested and encouraged me a lot to attack the difficult problem of Landau singularities. His enthusiasm for physics was always great and it inspired me a lot.

By guiding me to finish this thesis, he has done so much to mature my approach to physics. I admire Patrick AURENCHE for his personal character and physical understanding. It was always a great pleasure for me to see and talk to him. In every physical discussion since the first time we met in Hanoi (2003), I have learnt something new from him.

The way he attacks any physical problem is so simple and pedagogical. I thank him for bringing me to Annecy (the most beautiful city I have ever seen), filling my Ph.D years with so many beautiful weekends at his house. I will never forget the trips to Lamastre. He has carefully read the manuscript and given me a lot of suggestions.

Without his help and continuous support I would not be the person I am today. Thanks, Patrick!