Luận án tiến sĩ: Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp
Luận án tiến sĩ nghiên cứu phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề xuất thuật toán chiếu với chứng minh hội tụ và ứng dụng.
Toán ứng dụng
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
117
Thời gian đọc
18 phút
Lượt xem
1
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp Và Ứng Dụng
Bài toán cân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) là lớp bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng. Cấu trúc hai cấp xuất hiện khi nghiệm của bài toán cấp trên phụ thuộc vào tập nghiệm của bài toán cấp dưới. Lớp bài toán này kết hợp bài toán cân bằng với bất đẳng thức biến phân. Ứng dụng thực tiễn bao gồm tối ưu hóa mạng lưới, kinh tế học, và lý thuyết trò chơi. Nghiên cứu phương pháp giải hiệu quả là thách thức lớn do tính phức tạp của cấu trúc hai cấp.
1.1. Định Nghĩa Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp
Bài toán cân bằng hai cấp BEP(g, F, C) được định nghĩa trên không gian Hilbert H. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng. Ánh xạ F và song hàm g thỏa mãn các điều kiện đơn điệu. Bài toán cấp trên tìm điểm x* thuộc tập nghiệm của bài toán cấp dưới. Bài toán cấp dưới là bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C). Tập nghiệm ký hiệu là Ω. Điều kiện tồn tại nghiệm yêu cầu tính đơn điệu mạnh hoặc giả đơn điệu của các ánh xạ.
1.2. Mối Liên Hệ Với Bất Đẳng Thức Biến Phân
Bất đẳng thức biến phân VI(F, C) là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng. Tìm x* thuộc C sao cho ⟨F(x*), y - x*⟩ ≥ 0 với mọi y thuộc C. Bài toán hai cấp mở rộng bằng cách thêm ràng buộc cấp trên. Nghiệm phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: thuộc tập nghiệm cấp dưới và cực tiểu hóa hàm mục tiêu cấp trên. Cấu trúc này phức tạp hơn bài toán một cấp thông thường.
1.3. Ứng Dụng Trong Tối Ưu Hóa Mạng Lưới
Bài toán hai cấp xuất hiện trong thiết kế mạng lưới giao thông. Cấp trên là nhà quản lý tối ưu hóa cơ sở hạ tầng. Cấp dưới là người dùng chọn lộ trình tối ưu. Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi cũng dẫn đến bài toán hai cấp. Ứng dụng khác bao gồm quản lý tài nguyên và lập kế hoạch sản xuất. Tính hai cấp phản ánh cấu trúc phân cấp trong ra quyết định thực tế.
II. Phương Pháp Chiếu Và Thuật Toán Lặp Cơ Bản
Phương pháp chiếu là công cụ mạnh giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Hình chiếu P_C(x) của điểm x lên tập lồi đóng C có tính chất quan trọng. Thuật toán chiếu sử dụng phép lặp x_{k+1} = P_C(x_k - α_k F(x_k)). Tham số α_k là độ dài bước. Hội tụ mạnh đạt được với điều kiện phù hợp trên F và α_k. Phương pháp này là nền tảng cho các thuật toán giải bài toán hai cấp.
2.1. Tính Chất Hình Chiếu Lên Tập Lồi
Hình chiếu P_C(x) là điểm gần x nhất trong C. Với tập lồi đóng, hình chiếu tồn tại duy nhất. Bất đẳng thức đặc trưng: ⟨x - P_C(x), y - P_C(x)⟩ ≤ 0 với mọi y thuộc C. Hình chiếu là ánh xạ không giãn: ||P_C(x) - P_C(y)|| ≤ ||x - y||. Tính chất này đảm bảo tính ổn định của thuật toán chiếu. Hình chiếu lên các tập đơn giản (hình cầu, đa diện) tính được hiệu quả.
2.2. Thuật Toán Chiếu Gradient Cơ Bản
Thuật toán chiếu gradient giải VI(F, C) bằng lặp x_{k+1} = P_C(x_k - α_k F(x_k)). Độ dài bước α_k cố định hoặc thay đổi theo quy tắc Armijo. Điều kiện hội tụ: F đơn điệu mạnh và Lipschitz liên tục. Hội tụ mạnh đạt tốc độ tuyến tính với α_k thích hợp. Thuật toán đơn giản nhưng hiệu quả với bài toán có cấu trúc đặc biệt. Mở rộng cho bài toán hai cấp cần điều chỉnh thêm.
2.3. Phương Pháp Điểm Gần Kề
Thuật toán điểm gần kề giải bài toán cân bằng EP(f, C). Phép lặp: x_{k+1} = argmin{f(x_k, y) + (1/2λ_k)||y - x_k||² : y ∈ C}. Tham số λ_k điều chỉnh độ gần với điểm hiện tại. Phương pháp này hội tụ yếu với điều kiện đơn điệu giả trên f. Ưu điểm là không cần tính Lipschitz. Nhược điểm là phải giải bài toán phụ mỗi bước lặp. Kết hợp với chiếu dưới đạo hàm cải thiện hiệu quả.
III. Thuật Toán Chiếu Dưới Đạo Hàm Cho BVI
Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C). Sử dụng dưới vi phân ∂²g(x, x) để xấp xỉ gradient. Phép lặp kết hợp chiếu lên C và chiếu lên tập nghiệm cấp dưới. Độ dài bước chọn theo quy tắc Armijo hoặc cố định. Định lý hội tụ mạnh được chứng minh với điều kiện đơn điệu mạnh. Thuật toán không cần tính toán nghiệm chính xác của bài toán cấp dưới mỗi bước.
3.1. Dưới Vi Phân Chéo Và Tính Chất
Dưới vi phân chéo ∂²g(x, x) của song hàm g theo biến thứ hai tại x. Với g lồi theo biến thứ hai, ∂²g(x, x) là tập lồi đóng. Tính chất đơn điệu: nếu g đơn điệu mạnh thì ∂²g đơn điệu mạnh. Dưới vi phân chéo khác với gradient thông thường. Sử dụng trong thuật toán khi gradient không tồn tại. Tính toán dựa vào định nghĩa hoặc công thức đặc biệt cho hàm cụ thể.
3.2. Lược Đồ Lặp Cho Bài Toán BVI
Thuật toán bắt đầu với x_0 tùy ý trong C. Mỗi bước lặp tính y_k = P_C(x_k - α_k F(x_k)). Chọn d_k thuộc ∂²g(y_k, y_k). Tính z_k = P_C(y_k - β_k d_k). Cập nhật x_{k+1} dựa trên z_k và điều kiện Armijo. Tham số α_k, β_k điều chỉnh theo quy tắc giảm. Thuật toán dừng khi ||x_{k+1} - x_k|| nhỏ hơn sai số cho phép. Độ phức tạp mỗi bước phụ thuộc vào tính toán hình chiếu.
3.3. Điều Kiện Hội Tụ Mạnh
Định lý hội tụ mạnh yêu cầu F và G đơn điệu mạnh. Hằng số Lipschitz của F và G phải bị chặn. Dãy {α_k} và {β_k} thỏa mãn điều kiện tổng và tổng bình phương. Tập nghiệm Ω khác rỗng và bị chặn. Với các điều kiện này, dãy {x_k} hội tụ mạnh đến nghiệm x* thuộc Ω. Tốc độ hội tụ là tuyến tính hoặc siêu tuyến tính tùy chọn tham số. Chứng minh dựa trên bổ đề điểm bất động và ước lượng sai số.
IV. Phương Pháp Giải Bài Toán VIEP Và EVIP
Bài toán VIEP(F, f, C) tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng. Bài toán EVIP(g, F, C) ngược lại: cân bằng trên tập nghiệm VI. Cả hai là trường hợp đặc biệt của bài toán hai cấp tổng quát. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm điều chỉnh cho từng trường hợp. Sự khác biệt nằm ở thứ tự giải bài toán cấp trên và cấp dưới. Hội tụ mạnh đạt được với điều kiện tương tự BVI.
4.1. Cấu Trúc Bài Toán VIEP
Bài toán VIEP tìm x* thuộc Sol(f, C) thỏa ⟨F(x*), y - x*⟩ ≥ 0 với mọi y thuộc Sol(f, C). Sol(f, C) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C). Cấp dưới là bài toán cân bằng với song hàm f. Cấp trên là bất đẳng thức biến phân với toán tử F. Tập nghiệm Sol(F, f, C) là giao của hai tập nghiệm. Điều kiện tồn tại: f và F đơn điệu, C compact hoặc bị chặn.
4.2. Thuật Toán Cho Bài Toán EVIP
Bài toán EVIP tìm x* thuộc S(F, C) thỏa g(x*, y) ≥ 0 với mọi y thuộc S(F, C). S(F, C) là tập nghiệm của VI(F, C). Thuật toán lặp: tính y_k giải xấp xỉ VI(F, C). Chọn d_k thuộc ∂²g(y_k, y_k). Chiếu z_k = P_C(y_k - β_k d_k). Cập nhật x_{k+1} theo quy tắc kết hợp. Hội tụ mạnh với điều kiện F và g đơn điệu mạnh. Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào độ chính xác giải bài toán cấp dưới.
4.3. So Sánh Hiệu Quả Hai Phương Pháp
Thực nghiệm số với các bài toán test trong R^n. So sánh số bước lặp và thời gian CPU. VIEP hội tụ nhanh hơn khi f đơn giản hơn F. EVIP hiệu quả hơn khi VI(F, C) dễ giải. Độ chính xác cuối cùng tương đương với cả hai phương pháp. Chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc cấu trúc bài toán cụ thể. Kết hợp hai phương pháp có thể cải thiện hiệu quả tổng thể.
V. Ánh Xạ Đơn Điệu Và Toán Tử Co
Ánh xạ đơn điệu là khái niệm trung tâm trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân. F đơn điệu nếu ⟨F(x) - F(y), x - y⟩ ≥ 0 với mọi x, y. Đơn điệu mạnh khi bất đẳng thức nghiêm ngặt với hằng số dương. Ánh xạ co T thỏa ||T(x) - T(y)|| ≤ k||x - y|| với k < 1. Điểm bất động của ánh xạ co liên quan đến nghiệm bài toán cân bằng. Tính chất này đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
5.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Đơn Điệu
Ánh xạ F: H → H đơn điệu khi ⟨F(x) - F(y), x - y⟩ ≥ 0. Đơn điệu mạnh với hằng số μ > 0 khi ⟨F(x) - F(y), x - y⟩ ≥ μ||x - y||². Giả đơn điệu là dạng yếu hơn của đơn điệu. Đơn điệu cực đại khi đồ thị là tập đơn điệu cực đại. Tính chất đơn điệu bảo toàn qua tổng và tích vô hướng dương. Ánh xạ đơn điệu mạnh có nghịch đảo Lipschitz liên tục.
5.2. Điểm Bất Động Và Phương Pháp Lặp
Điểm bất động x* của T thỏa T(x*) = x*. Định lý Banach: ánh xạ co trên không gian đầy đủ có điểm bất động duy nhất. Phương pháp lặp Picard: x_{k+1} = T(x_k) hội tụ đến điểm bất động. Bài toán VI(F, C) tương đương với điểm bất động của T(x) = P_C(x - αF(x)). Tốc độ hội tụ tuyến tính với hằng số co k. Phương pháp này là cơ sở cho nhiều thuật toán giải bài toán hai cấp.
5.3. Ánh Xạ Không Giãn Và Hội Tụ Yếu
Ánh xạ không giãn T thỏa ||T(x) - T(y)|| ≤ ||x - y||. Hình chiếu P_C là ánh xạ không giãn. Điểm bất động tồn tại nhưng không nhất thiết duy nhất. Hội tụ yếu đạt được với phương pháp Krasnoselski-Mann. Hội tụ mạnh yêu cầu điều kiện bổ sung như tính demiclosed. Ánh xạ không giãn xuất hiện trong bài toán điểm bất động trên tập nghiệm VIFIX. Tốc độ hội tụ yếu chậm hơn hội tụ mạnh.
VI. Kết Quả Thực Nghiệm Và Ứng Dụng Số
Thực nghiệm số minh họa hiệu quả các thuật toán đề xuất. Các bài toán test trong R^2 và R^n với n lớn. So sánh số bước lặp, thời gian CPU, và độ chính xác. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm hội tụ nhanh hơn phương pháp điểm gần kề. Độ phức tạp tính toán tăng tuyến tính theo chiều không gian. Các tham số α_k, β_k ảnh hưởng đáng kể đến tốc độ hội tụ. Kết quả xác nhận lý thuyết hội tụ mạnh.
6.1. Thiết Kế Bài Toán Test
Bài toán test 1: VI(F, C) với F(x) = Ax + b, C là hình cầu đơn vị. Bài toán test 2: EP(f, C) với f song tuyến tính, C là đơn hình. Bài toán test 3: BVI(F, G, C) với F, G đơn điệu mạnh. Bài toán test 4: VIEP với chiều không gian n = 100. Tham số đơn điệu mạnh μ thay đổi từ 0.1 đến 1.0. Điểm khởi đầu x_0 chọn ngẫu nhiên trong C. Tiêu chuẩn dừng: ||x_{k+1} - x_k|| < 10^{-6}.
6.2. Phân Tích Kết Quả Hội Tụ
Thuật toán chiếu dưới đạo hàm hội tụ trong 50-200 bước lặp. Thời gian CPU từ 0.1s đến 5s tùy chiều không gian. Độ chính xác đạt 10^{-6} đến 10^{-8}. Tốc độ hội tụ nhanh hơn khi μ lớn (đơn điệu mạnh hơn). Chọn α_k giảm chậm cải thiện ổn định. Phương pháp điểm gần kề cần 2-3 lần nhiều bước lặp hơn. Kết quả phù hợp với ước lượng lý thuyết về tốc độ hội tụ tuyến tính.
6.3. Ứng Dụng Trong Tối Ưu Mạng Lưới
Áp dụng cho bài toán định tuyến giao thông với 20 nút. Cấp dưới là cân bằng Wardrop của người dùng. Cấp trên là tối ưu hóa luồng của nhà quản lý. Thuật toán tìm được nghiệm trong 150 bước lặp. Thời gian tính toán 2.3 giây trên CPU Intel i5. Nghiệm giảm tổng thời gian di chuyển 15% so với không tối ưu. Kết quả cho thấy tính khả thi trong ứng dụng thực tế quy mô trung bình.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (117 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ TRẦN THỊ HOÀNG ANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ TRẦN THỊ HOÀNG ANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. Phạm Ngọc Anh 2. Phạm Thế Long HÀ NỘI - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.
Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Trần Thị Hoàng Anh ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thiện tại Học viện Kỹ thuật Quân sự dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. Phạm Ngọc Anh và GS. Phạm Thế Long.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các Thầy. Trong suốt quá trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua các bài giảng, hội nghị và sinh hoạt học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô Học viện Kỹ thuật Quân sự và các giáo sư ở viện Toán học Việt Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo, Khoa Công nghệ Thông tin, phòng Sau đại học Học viện Kỹ thuật Quân sự. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn các anh, chị em trong nhóm nghiên cứu tại phòng Lab Toán ứng dụng và Tính toán của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Luận án này là món quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân yêu của mình với lòng biết ơn, yêu thương và trân trọng. Tác giả iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x kxk chuẩn của véc tơ x hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x và y I ánh xạ đồng nhất A×B tích Đề-Các của hai tập hợp A và B argmin{f (x) : x ∈ C} nghiệm của bài toán cực tiểu của hàm f trên C ∂f (x) dưới vi phân của f tại x ∂2 f (x, x) -dưới vi phân chéo theo biến thứ hai của hàm f (x, ·) tại x δC (·) hàm chỉ trên C P rC (x) hình chiếu của x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x OP(F, C ) bài toán tối ưu CP(F, C ) bài toán bù MN(F, C ) bài toán tìm chuẩn nhỏ nhất VI(F, C ) bài toán bất đẳng thức biến phân MVI(T, C ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị EP(f, C ) bài toán cân bằng iv BVI(F, G, C ) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BEP(g, F, C ) bài toán cân bằng hai cấp VIEP(F, f, C ) bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng EVIP(g, F, C ) bài toán cân bằng trên tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T FP(F, C ) bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị MFP(F, C ) bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị VIFIX bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn S(F, C ) tập nghiệm của bài toán VI(F, C ) Sol(f, C ) tập nghiệm của bài toán EP(f, C ) Sol(F, f, C ) tập nghiệm của bài toán VIEP(F, f, C ) Ω tập nghiệm của bài toán BVI(F, G, C ) CP U − times/s thời gian thực hiện thuật toán tính bằng giây T estP rob. các bài toán chạy thực nghiệm Iter.(k ) số bước lặp trong thuật toán v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Chương 1.
Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản .2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng .1 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng .2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng .3 Ánh xạ nghiệm .3 Một số bài toán hai cấp .1 Bài toán cân bằng hai cấp .2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp .4 Một số thuật toán giải bài toán hai cấp .1 Thuật toán đạo hàm tăng cường .2 Thuật toán điểm gần kề .3 Thuật toán chiếu dưới đạo hàm. Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 39 2.2 Định lý hội tụ. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng 49 3.2 Định lý hội tụ .3 Một số tính toán. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 64 4.2 Định lý hội tụ .3 Một số tính toán.
Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng 81 5.2 Định lý hội tụ .3 Một số tính toán. 89 Kết quả đạt được 97 Hướng nghiên cứu tiếp theo 98 Danh mục công trình khoa học đã công bố 99 Tài liệu tham khảo 100 1 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn k · k. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và ánh xạ F : C → H thường được gọi là ánh xạ giá (trong một vài trường hợp, F đi từ H tới H).
Oettli [27], bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) trong H, viết tắt VI(F, C ), được viết dưới dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C. Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi G. Stampacchia, khi nghiên cứu việc giải bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng [44]. Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với khá nhiều các bài toán tối ưu khác với các mô hình thực tiễn như mô hình cân bằng mạng giao thông, mô hình định tuyến tối ưu mạng truyền thông, mô hình bài toán biên tự do, mô hình xử lý ảnh [21, 35, 39].
Sibony [73] đã xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp ẩn khi tập ràng buộc C là tập nghiệm của phương trình toán tử đơn điệu. Cũng nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp này, I. Yamada [88] đã xét bài toán với tập C là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, đây là trường hợp riêng khi C là nghiệm của toán tử đơn điệu. Bài toán bất đẳng thức biến bất phân với ràng buộc là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, ký hiệu VIFIX được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) thỏa mãn h(I − V )(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ Fix(T ), 2 với T, V : C → C là hai ánh xạ không giãn và I là ánh xạ đồng nhất.
Những năm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng của bài toán này trong một số ngành khoa học. Bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu mở rộng thành các dạng tổng quát hơn như bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị với ánh xạ F là ánh xạ đa trị [14], bài toán cân bằng [15], bài toán tìm điểm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động [93], bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp [10, 84] và nhiều bài toán khác [36, 47, 75, 79, 89]. Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}, theo L. Oettli [64], bài toán cân bằng EP(f, C ), đặt ra là tìm một điểm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Dễ thấy, trong trường hợp f (x, y ) = hF (x), y − xi với mọi x, y ∈ C , bài toán VI(F, C ) được viết dưới dạng bài toán cân bằng EP(f, C ). Hơn nữa, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán VI(F, C ) nếu và chỉ nếu x∗ là điểm bất động của ánh xạ S (x) = P rC (x − λF (xk )) với P rC là phép chiếu metric lên tập ràng buộc C và λ > 0. Từ mối liên hệ giữa hai bài toán này chính là cơ sở dẫn đến một số cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải các bài toán dạng mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân như bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán cân bằng hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng và một số dạng khác. Hơn nữa, dạng mở rộng của bài toán hai cấp này là bài toán cân bằng hai cấp khi miền ràng buộc của bài toán cân bằng là tập nghiệm của một bài toán cân bằng 3 khác.
Bài toán cân bằng hai cấp BEP(g, f, C ) được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C ) sao cho g (x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ Sol(f, C ), ở đây Sol(f, C ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C ) và được xác định bởi Sol(f, C ) = {y ∗ ∈ C : f (y ∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C}, với hai song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} và g : C × C → R ∪ {+∞}. Bài toán này có thể được xem như là bài toán cân bằng EP(g, Sol(f, C )).
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề xuất thuật toán chiếu với chứng minh hội tụ và ứng dụng.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Học viện Kỹ thuật Quân sự. Năm bảo vệ: 2019.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng. Danh mục: Toán Ứng Dụng.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" có bao nhiêu trang?
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" có 117 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.