Luận án tiến sĩ: Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động
Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Đề xuất thuật toán chiếu mở rộng và dưới đạo hàm quán tính hội tụ mạnh.
Toán ứng dụng
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
106
Thời gian đọc
16 phút
Lượt xem
1
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Bài Toán Cân Bằng Trên Tập Điểm Bất Động
Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng. Lý thuyết này đã phát triển hơn nửa thế kỷ. Bài toán kết hợp hai khái niệm cơ bản: bài toán cân bằng và điểm bất động. Ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, tối ưu hóa và khoa học máy tính. Nghiên cứu tập trung vào phương pháp giải hiệu quả. Các phương pháp lặp đóng vai trò then chốt. Không gian Hilbert và không gian Banach là nền tảng lý thuyết. Ánh xạ không giãn và ánh xạ co được sử dụng rộng rãi. Hàm lưỡng hàm mô tả mối quan hệ giữa các biến. Bất đẳng thức biến phân liên quan chặt chẽ. Phương pháp chiếu mở rộng mang lại kết quả khả quan.
1.1. Khái Niệm Bài Toán Cân Bằng
Bài toán cân bằng được xác định bởi song hàm f và tập C. Ký hiệu EP(C, f) biểu diễn bài toán cân bằng cơ bản. Mục tiêu tìm điểm x trong tập C thỏa mãn điều kiện cân bằng. Hàm lưỡng hàm f(x, y) mô tả mối quan hệ giữa các phần tử. Tập nghiệm S(C,f) chứa tất cả các điểm cân bằng. Bài toán tối ưu OP(Ω, f) là trường hợp đặc biệt. Bất đẳng thức biến phân VI(C, F) có liên hệ chặt chẽ. Điều kiện tồn tại nghiệm phụ thuộc vào tính chất của f và C.
1.2. Tập Điểm Bất Động Cơ Bản
Điểm bất động của ánh xạ T là điểm x thỏa mãn T(x) = x. Tập Fix(T) chứa tất cả điểm bất động của T. Ánh xạ không giãn bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Ánh xạ co làm giảm khoảng cách theo một tỷ lệ cố định. Định lý điểm bất động Banach là kết quả cổ điển. Không gian Hilbert cung cấp cấu trúc hình học thuận lợi. Tích vô hướng hx, yi định nghĩa góc và khoảng cách. Hình chiếu PrC(x) đóng vai trò quan trọng trong thuật toán.
1.3. Kết Hợp Hai Bài Toán
Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động FEP(C, f) kết hợp cả hai khái niệm. Tìm điểm vừa là điểm cân bằng vừa là điểm bất động. Tập ràng buộc C thường là tập điểm bất động của ánh xạ T. Bài toán cân bằng hai cấp BEP(C, f) là mở rộng quan trọng. Bài toán đối ngẫu EPd(C, f) cung cấp góc nhìn bổ sung. Điều kiện tồn tại nghiệm phức tạp hơn bài toán đơn lẻ. Phương pháp giải yêu cầu kỹ thuật tinh vi hơn.
II. Phương Pháp Chiếu Mở Rộng Giải Bài Toán
Phương pháp chiếu mở rộng là công cụ mạnh mẽ giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Chiếu song song xấp xỉ cải thiện tốc độ hội tụ. Phương pháp dưới đạo hàm song song xử lý hàm không khả vi. Chiếu đạo hàm tăng cường song song kết hợp nhiều kỹ thuật. Thuật toán song song tận dụng khả năng tính toán hiện đại. Dưới vi phân ∂f(x) mở rộng khái niệm đạo hàm. Dưới vi phân chéo ∂2f(x, x) xử lý hàm hai biến. Hàm chỉ δC(·) biểu diễn ràng buộc trên tập C. Nón pháp tuyến NC(x) mô tả hướng vuông góc. Khoảng cách Hausdorff ρ(A, B) đo độ gần giữa hai tập.
2.1. Chiếu Song Song Xấp Xỉ
Phương pháp chiếu song song xấp xỉ chia bài toán thành các bài toán con. Mỗi bài toán con được giải độc lập trên bộ xử lý riêng. Kết quả từ các bài toán con được kết hợp lại. Xấp xỉ giúp đơn giản hóa tính toán phức tạp. Hình chiếu PrC(x) được tính song song cho nhiều điểm. Thuật toán lặp cập nhật dần dần tiến tới nghiệm. Điều kiện dừng dựa trên sai số giữa các bước lặp. Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số thuật toán.
2.2. Dưới Đạo Hàm Song Song
Phương pháp dưới đạo hàm song song xử lý hàm không trơn. Dưới vi phân ∂f(x) thay thế đạo hàm cổ điển. Tập dưới vi phân chứa nhiều phần tử trong trường hợp không khả vi. Dưới vi phân theo biến thứ hai ∂2f(x, x) xử lý hàm lưỡng hàm. Tính toán song song dưới vi phân tại nhiều điểm đồng thời. Thuật toán sử dụng thông tin từ dưới vi phân để cập nhật. Hội tụ được đảm bảo dưới điều kiện phù hợp. Phương pháp áp dụng cho bài toán cân bằng tổng quát.
2.3. Chiếu Đạo Hàm Tăng Cường
Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường song song kết hợp nhiều kỹ thuật. Tăng cường đạo hàm cải thiện tính ổn định thuật toán. Chiếu song song tăng tốc độ tính toán đáng kể. Thuật toán xử lý đồng thời nhiều thành phần của bài toán. Định lý hội tụ đảm bảo thuật toán đạt nghiệm. Tính toán thực nghiệm xác nhận hiệu quả phương pháp. Số bước lặp Iter. giảm so với phương pháp cổ điển. Thời gian CPU-times cải thiện trong thực nghiệm.
III. Phương Pháp Dưới Đạo Hàm Quán Tính
Phương pháp dưới đạo hàm quán tính là tiến bộ quan trọng trong giải bài toán cân bằng. Quán tính sử dụng thông tin từ các bước lặp trước. Kỹ thuật này tăng tốc độ hội tụ đáng kể. Nguyên lý bài toán phụ quán tính song song mở rộng phương pháp cơ bản. Thuật toán quán tính kết hợp điểm hiện tại và điểm trước đó. Hệ số quán tính điều chỉnh mức độ ảnh hưởng của lịch sử. Dưới đạo hàm xử lý tính không trơn của hàm mục tiêu. Phương pháp song song tận dụng kiến trúc máy tính hiện đại. Định lý hội tụ được chứng minh dưới điều kiện yếu hơn. Tính toán thực nghiệm cho kết quả vượt trội.
3.1. Thuật Toán Quán Tính Cơ Bản
Thuật toán dưới đạo hàm quán tính bắt đầu với điểm khởi tạo Start.point. Bước quán tính tạo điểm trung gian từ hai bước lặp gần nhất. Hệ số quán tính αk điều chỉnh theo số bước lặp. Dưới vi phân được tính tại điểm trung gian quán tính. Bước cập nhật sử dụng thông tin từ dưới vi phân. Hình chiếu đưa điểm mới về tập ràng buộc khả thi. Điều kiện dừng kiểm tra sai số giữa hai bước lặp liên tiếp. Thuật toán lặp cho đến khi đạt tiêu chuẩn hội tụ.
3.2. Định Lý Hội Tụ Quán Tính
Định lý hội tụ đảm bảo dãy {xk} hội tụ mạnh tới nghiệm. Điều kiện trên hàm lưỡng hàm f bao gồm tính lồi giả đơn điệu. Điều kiện Lipschitz yếu hơn so với phương pháp cổ điển. Hệ số quán tính phải thỏa mãn điều kiện giới hạn. Bước nhảy λk được chọn phù hợp với tính chất bài toán. Không gian Hilbert cung cấp cấu trúc cần thiết cho chứng minh. Hội tụ yếu xk ⇀ x được thiết lập trước. Hội tụ mạnh xk → x là kết quả cuối cùng.
3.3. Nguyên Lý Bài Toán Phụ
Nguyên lý bài toán phụ quán tính song song chia bài toán gốc thành các bài toán nhỏ. Mỗi bài toán phụ được giải với kỹ thuật quán tính riêng. Tính toán song song các bài toán phụ trên nhiều bộ xử lý. Kết quả từ các bài toán phụ được tổng hợp theo quy tắc nhất định. Quán tính áp dụng cho cả bài toán gốc và bài toán phụ. Phương pháp đặc biệt hiệu quả cho bài toán quy mô lớn. Tính toán thực nghiệm Test cho thấy hiệu suất vượt trội. Số bước lặp giảm đáng kể so với phương pháp không quán tính.
IV. Không Gian Hilbert Và Ứng Dụng Cơ Bản
Không gian Hilbert H là nền tảng toán học cho bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Không gian này được trang bị tích vô hướng và chuẩn. Tích vô hướng hx, yi định nghĩa góc và độ dài. Chuẩn kxk đo khoảng cách từ điểm tới gốc tọa độ. Không gian Euclide Rn là ví dụ cụ thể quan trọng. Không gian Banach tổng quát hơn nhưng thiếu tích vô hướng. Tính đầy đủ đảm bảo mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Hình học không gian Hilbert hỗ trợ phương pháp chiếu. Định lý hình chiếu là công cụ then chốt trong thuật toán. Ánh xạ đồng nhất I bảo toàn mọi điểm.
4.1. Cấu Trúc Không Gian Hilbert
Không gian Hilbert H là không gian tuyến tính với tích vô hướng. Tích vô hướng thỏa mãn tính đối xứng và tuyến tính. Chuẩn được cảm sinh từ tích vô hướng: kxk = √hx, xi. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: |hx, yi| ≤ kxk · kyk. Tính đầy đủ theo metric cảm sinh từ chuẩn. Mọi không gian con đóng là không gian Hilbert. Định lý biểu diễn Riesz liên hệ phiếm hàm và vectơ. Không gian khả ly có cơ sở trực chuẩn đếm được.
4.2. Hình Chiếu Trong Hilbert
Hình chiếu PrC(x) là điểm gần x nhất trên tập đóng lồi C. Hình chiếu tồn tại duy nhất trong không gian Hilbert. Đặc trưng hình chiếu: hy - PrC(x), x - PrC(x)i ≤ 0 với mọi y ∈ C. Hình chiếu là ánh xạ không giãn: kPrC(x) - PrC(y)k ≤ kx - yk. Nón pháp tuyến NC(x) chứa các hướng vuông góc với C tại x. Điểm x là hình chiếu khi và chỉ khi x - x ∈ NC(x). Thuật toán chiếu gradient sử dụng hình chiếu lặp đi lặp lại. Hình chiếu song song tính toán nhiều điểm cùng lúc.
4.3. Ánh Xạ Không Giãn
Ánh xạ không giãn T thỏa mãn kT(x) - T(y)k ≤ kx - yk. Ánh xạ co mạnh hơn với hằng số co k < 1. Điểm bất động của T là nghiệm của phương trình T(x) = x. Tập Fix(T) là tập đóng lồi trong không gian Hilbert. Định lý Browder-Göhde-Kirk đảm bảo tồn tại điểm bất động. Phương pháp lặp đơn giản: xk+1 = T(xk) hội tụ yếu. Phương pháp Krasnoselski: xk+1 = (1-α)xk + αT(xk) hội tụ mạnh. Ánh xạ không giãn xuất hiện trong nhiều bài toán ứng dụng.
V. Bất Đẳng Thức Biến Phân Và Liên Hệ
Bất đẳng thức biến phân VI(C, F) là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng. Tìm x ∈ C sao cho hF(x), y - xi ≥ 0 với mọi y ∈ C. Ánh xạ F có thể đơn trị hoặc đa trị. Bài toán đa trị MVI(C, F) sử dụng ánh xạ đa trị F. Tập nghiệm Sol(C, F) chứa tất cả điểm thỏa mãn bất đẳng thức. Liên hệ chặt chẽ với bài toán tối ưu và cân bằng. Điều kiện tối ưu bậc nhất là bất đẳng thức biến phân. Phương pháp chiếu gradient giải bất đẳng thức biến phân. Bài toán cân bằng EP(C, f) tổng quát hóa VI(C, F). Hàm lưỡng hàm f(x, y) = hF(x), y - xi cho bất đẳng thức biến phân.
5.1. Phát Biểu Bài Toán
Bất đẳng thức biến phân VI(C, F) tìm x* ∈ C thỏa mãn điều kiện. Điều kiện: hF(x*), y - x*i ≥ 0 với mọi y trong tập ràng buộc C. Tập C thường là tập đóng lồi trong không gian Hilbert. Ánh xạ F: H → H có thể là gradient của hàm mục tiêu. Bất đẳng thức biến phân đơn trị khi F ánh xạ mỗi điểm tới một điểm. Bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F) khi F ánh xạ tới tập hợp. Tập nghiệm Sol(C, F) có thể rỗng, đơn điểm hoặc nhiều điểm. Điều kiện tồn tại nghiệm phụ thuộc tính chất của F và C.
5.2. Liên Hệ Với Cân Bằng
Bài toán cân bằng EP(C, f) với f(x, y) = hF(x), y - xi là VI(C, F). Mọi bất đẳng thức biến phân là bài toán cân bằng đặc biệt. Bài toán cân bằng tổng quát hơn với hàm lưỡng hàm bất kỳ. Hàm lưỡng hàm f không nhất thiết có dạng tuyến tính. Điều kiện đơn điệu của F tương ứng điều kiện giả đơn điệu của f. Phương pháp giải bài toán cân bằng áp dụng cho bất đẳng thức biến phân. Ngược lại không phải bài toán cân bằng nào cũng là VI. Nghiên cứu bài toán cân bằng bao trùm bất đẳng thức biến phân.
5.3. Phương Pháp Chiếu Gradient
Phương pháp chiếu gradient cơ bản: xk+1 = PrC(xk - λF(xk)). Bước nhảy λ > 0 điều chỉnh tốc độ di chuyển. Hình chiếu PrC đưa điểm về tập ràng buộc khả thi C. Thuật toán lặp đơn giản và dễ thực hiện. Hội tụ đảm bảo khi F đơn điệu và Lipschitz liên tục. Phương pháp Extragradient sử dụng hai bước chiếu. Bước dự đoán: yk = PrC(xk - λF(xk)). Bước hiệu chỉnh: xk+1 = PrC(xk - λF(yk)). Phương pháp này hội tụ với điều kiện yếu hơn.
VI. Kết Quả Thực Nghiệm Và Đánh Giá Thuật Toán
Tính toán thực nghiệm xác nhận hiệu quả các phương pháp đề xuất. Các bài toán Test được thiết kế đa dạng và thực tế. Điểm khởi tạo Start.point ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ. Số bước lặp Iter. là chỉ số đo hiệu quả thuật toán. Thời gian CPU-times phản ánh chi phí tính toán thực tế. Phương pháp song song giảm đáng kể thời gian thực hiện. Thuật toán quán tính giảm số bước lặp cần thiết. So sánh với phương pháp cổ điển cho thấy cải thiện rõ rệt. Tích Đề-Các A×B mô hình hóa bài toán nhiều thành phần. Khoảng cách Hausdorff ρ(A, B) đo sai số giữa tập nghiệm xấp xỉ và chính xác.
6.1. Thiết Kế Thực Nghiệm
Các bài toán Test bao gồm bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân. Không gian thử nghiệm từ R² đến R¹⁰⁰ với nhiều chiều khác nhau. Điểm khởi tạo Start.point được chọn ngẫu nhiên hoặc cố định. Tham số thuật toán được điều chỉnh cho từng loại bài toán. Tiêu chuẩn dừng dựa trên sai số tương đối giữa các bước lặp. Ngưỡng sai số thường chọn từ 10⁻⁴ đến 10⁻⁶. Mỗi bài toán được chạy nhiều lần với điểm khởi tạo khác nhau. Kết quả trung bình và độ lệch chuẩn được ghi nhận.
6.2. So Sánh Hiệu Suất
Số bước lặp Iter. của phương pháp quán tính giảm 30-50% so với cổ điển. Thời gian CPU-times của thuật toán song song nhanh hơn 2-4 lần. Phương pháp chiếu mở rộng ổn định hơn với điểm khởi tạo xa nghiệm. Thuật toán dưới đạo hàm xử lý tốt hàm không trơn. Phương pháp kết hợp quán tính và song song cho kết quả tốt nhất. Độ chính xác nghiệm đạt được tương đương các phương pháp khác. Bộ nhớ sử dụng tăng nhẹ do lưu thông tin bước lặp trước. Tổng thể hiệu quả tính toán cải thiện đáng kể.
6.3. Ứng Dụng Thực Tế
Bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi được giải hiệu quả. Tối ưu hóa lưu lượng mạng sử dụng bất đẳng thức biến phân. Phân bổ tài nguyên trong kinh tế mô hình hóa bằng bài toán cân bằng. Xử lý ảnh và thị giác máy tính áp dụng phương pháp điểm bất động. Học máy sử dụng thuật toán tối ưu dựa trên chiếu gradient. Bài toán cân bằng hai cấp BEP(C, f) mô hình hóa quyết định phân cấp. Tích Đề-Các A×B biểu diễn không gian chiến lược nhiều người chơi. Phương pháp song song đặc biệt phù hợp với dữ liệu lớn.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (106 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Nguyễn Văn Hồng MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Nguyễn Văn Hồng MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. Phạm Ngọc Anh 2. Lê Dũng Mưu Hà Nội - 2024 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy trong Tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.
Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Nguyễn Văn Hồng ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông) và GS. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các thầy.
Trong quá trình nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án, thông qua các bài giảng, hội nghị và seminar học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ, và các ý kiến đóng góp Quý báu của các thầy cô ở Viện Toán học và Ứng dụng (TIMAS) - Trường Đại học Thăng Long. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Thăng Long, Phòng Sau đại học - Trường Đại học Thăng Long; Ban giám hiệu Trường Đại học Hải Phòng, Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non thuộc Trường Đại học Hải Phòng, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn các anh/chị/em trong nhóm nghiên cứu tại phòng Lab "Toán ứng dụng và Tính toán" của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh trao đổi, động viên và giúp đỡ tác giả trong thời gian dài học tập và nghiên cứu. Kết quả nghiên cứu mới của luận án là món quà tinh thần, tác giả xin được gửi đến những người thân yêu trong gia đình mình.
Những người đã luôn động viên, chia sẻ, giúp đỡ nghiên cứu sinh trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập hợp các số tự nhiên R tập hợp các số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x kxk chuẩn của vectơ x hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y I ánh xạ đồng nhất A×B tích Đề-Các của hai tập hợp A và B ρ(A, B) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A và B argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C ∂f (x) dưới vi phân của f tại x ∂2 f (x, x) dưới vi phân theo biến thứ hai của hàm f (x, ·) tại x ∂2 f (x, x) −dưới vi phân chéo theo biến thứ hai của hàm f (x, ·) tại x δC (·) hàm chỉ trên C P rC (x) hình chiếu của x lên tập C P rC (x) −chiếu của x trên C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x iv OP(Ω, f ) bài toán tối ưu EP(C, f ) bài toán cân bằng được xác định bởi song hàm f và tập C EPd (C, f ) bài toán cân bằng đối ngẫu của bài toán EP(C, f ) BEP(C, f ) bài toán cân bằng hai cấp được xác định bởi song hàm f và tập C FEP(C, f ) bài toán cân bằng trên tập điểm bất động xác định bởi song hàm f và tập C VI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân được xác định bởi tập C và ánh xạ giá F Sol(C, F ) tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị VI(C, F ) MVI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị xác định bởi tập C và ánh xạ đa trị F S(C,f ) tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f ) d S(C,f ) tập nghiệm của bài toán cân bằng đối ngẫu EPd (C, f ) F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T CP U − times thời gian thực hiện thuật toán Start. point điểm khởi tạo ban đầu Test Các bài toán thực nghiệm Iter. số bước lặp trong thuật toán v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iii Mở đầu 1 1 Chương 1.
Một số kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và điểm bất động 10 1.1 Không gian Hilbert .2 Bài toán cân bằng .1 Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan .2 Điều kiện tồn tại nghiệm .3 Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động .1 Phát biểu bài toán .2 Một số thuật toán thông dụng. Một số phương pháp chiếu mở rộng 28 2.1 Phương pháp chiếu song song xấp xỉ .2 Phương pháp dưới đạo hàm song song .3 Một số ví dụ minh họa và kết quả tính toán .4 Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường song song .1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Tính toán thực nghiệm. Phương pháp dưới đạo hàm quán tính 65 3.1 Phương pháp dưới đạo hàm quán tính .1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Một số tính toán thực nghiệm .2 Nguyên lý bài toán phụ quán tính song song .1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Một số tính toán. 83 Kết luận 88 Hướng nghiên cứu tiếp theo 89 Danh mục công trình khoa học đã công bố 90 Tài liệu tham khảo 91 1 MỞ ĐẦU 1.
Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trải qua hơn nửa thế kỷ hình thành và phát triển, lý thuyết bài toán cân bằng đã dần khẳng định được vai trò cũng như sự phát triển của mình trong Lý thuyết tối ưu, Toán học ứng dụng và các mô hình thực tế. Cho H là một không gian Hilbert thực, C ⊆ H là lồi, đóng, khác rỗng, và một song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} sao cho f hữu hạn trên C và thỏa mãn f (x, x) = 0 (điều kiện cân bằng). Bài toán cân bằng xét trong luận án có dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Bài toán EP(C, f ) đã được các tác giả Nikaido H.
trong [60] giới thiệu lần đầu tiên năm 1955 khi tổng quát hóa mô hình cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác. gọi bài toán này là bất đẳng thức minimax và thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán dưới điều kiện lồi, compact của tập C và tựa lồi của f (x, ·) với mọi x ∈ H. Kết quả này của Fan K. được mở rộng bởi Brezis H.
và đồng nghiệp trong [22]. [57] gọi bài toán này là bài toán cân bằng và đề xuất thuật toán hàm phạt tìm nghiệm của bài toán cân bằng khi song hàm f đơn điệu. Sau đó, năm 1994, các tác giả Blum E. tiếp tục nghiên cứu về bài toán cân bằng trong [21].
Sau khi nghiên cứu của Blum E. được công bố, bài toán cân bằng đã thu hút sự chú ý của rất nhiều các nhà nghiên cứu như Bigi G. Về mặt hình thức, bài toán EP(C, f ) có dạng khá đơn giản nhưng nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash. Từ kết quả của các bài toán riêng lẻ nói trên, với những điều chỉnh phù hợp ta có thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát.
Điều này giải thích vì sao bài toán cân bằng mặc dù mới được chú ý gần đây nhưng đã có rất nhiều các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu [20, 31, 45, 49, 53, 54, 55, 58, 59, 67, 68, 72, 76]. Bên cạnh bài toán cân bằng, một lớp bài toán khác được đề cập trong luận án này là bài toán điểm bất động. Lý thuyết điểm bất động đã ra đời khoảng một thế kỷ và phát triển mạnh mẽ trong những thập kỷ gần đây. Sự ra đời của định lý điểm bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922) đã hình thành 2 hướng chính của lý thuyết điểm bất động: Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co.
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng như: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân và phương trình tích phân (định lý Picard và định lý Peano), chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co, nhưng phải đến những năm 60 của thế kỷ 20 mới được phát triển mạnh mẽ. Lý thuyết này cho phép ta xây dựng Thuật toán để tìm nghiệm của bài toán. Các nhà toán học đã mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach theo hai hướng: Đưa ra các khái niệm mới, ánh xạ đa trị và mở rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn.
Các kết quả tiêu biểu có thể kể đến như: Cegielski A. cho ánh xạ đơn trị; Caristi C. cho ánh xạ đa trị. Trong những năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm đến bài toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng khác hoặc tìm nghiệm của bài toán cân bằng trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ.
3 Cho Si : C → C (i ∈ I ⊆ N) là các ánh xạ βi −nửa co. Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động, viết tắt FEP (Ω, f ), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ Ω sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Ω, (2) trong đó Ω = ∩i∈I F ix(Si ) và F ix(Si ) := {x ∈ C : Si (x) = x}.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Đề xuất thuật toán chiếu mở rộng và dưới đạo hàm quán tính hội tụ mạnh.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Thăng Long. Năm bảo vệ: 2024.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng. Danh mục: Toán Ứng Dụng.
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" có bao nhiêu trang?
Luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" có 106 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.