Luận án tiến sĩ toán học tính bị chặn của toán tử loại hausdorff trên một số khô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học 2 Người hướng dẫn khoa học 1 TS Nguyễn Văn Tuấn GS.TSKH Nguyễn Minh Chương Hà Nội, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đều đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất trong bất kì công trình của ai khác. Hà Nội, tháng 04 năm 2021 NCS Nguyễn Đức Duyệt i LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo của GS.

TSKH Nguyễn Minh Chương và TS Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và vô cùng biết ơn tới hai Thầy, người đã truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị và có ý nghĩa. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, góp ý của TS Đào Văn Dương (Trường ĐH Xây dựng Miền Trung). Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.

TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng, PGS. TS Nguyễn Văn Tuyên (Trường ĐHSP Hà Nội 2), PGS. TS Trần Đình Kế (Trường ĐHSP Hà Nội) đã động viên và cho tác giả những góp ý, kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học để tác giả hoàn thiện luận án này. Tác giả cũng xin cảm ơn các Thầy, Cô và các Anh, Chị, Em nghiên cứu sinh ở Xêmina Giải tích, Khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo một môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi nổi và thân thiện.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, những người thân, các anh chị em, bạn bè đã luôn ở bên, tin tưởng và cho tác giả động lực tinh thần để tác giả hoàn thành luận án. ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN. ii MỤC LỤC. 1 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN.

Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài. Mục đích nghiên cứu. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu.

Kết quả của luận án. Cấu trúc của luận án. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Không gian Lebesgue.

Một số kí hiệu và các không gian hàm. Trọng thuần nhất, trọng lũy thừa và trọng Muckenhoupt. ƯỚC LƯỢNG CHUẨN CỦA TOÁN TỬ HAUSDORFF THÔ b HΦ,Ω VÀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA GIAO HOÁN TỬ HΦ,Ω TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU MORREY–HERZ. Toán tử HΦ,Ω và lớp trọng lũy thừa.

Giao hoán tử HΦ,Ω và lớp trọng thuần nhất. ƯỚC LƯỢNG CHUẨN CỦA TOÁN TỬ HAUSDORFF ĐA TUYẾN TÍNH HΦ,A~ TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU MORREY–HERZ. Toán tử HΦ,A~ và lớp trọng lũy thừa. Toán tử HΦ,A~ và lớp trọng Muckenhoupt.

TÍNH BỊ CHẶN CHO GIAO HOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ HAUSDORFF TRÊN NHÓM HEISENBERG. Giao hoán tử HΦ,Ω và lớp trọng lũy thừa. Giao hoán tử HΦ,Ω và lớp trọng Muckenhoupt. Giao hoán tử HΦ,A và lớp trọng lũy thừa.

Giao hoán tử HΦ,A và lớp trọng Muckenhoupt. 97 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 102 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ. 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

105 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Rn không gian vectơ thực n chiều; |x| chuẩn của x trong Rn ; dx độ đo Haar; L q (Rn ) tập các hàm khả tích bậc q trên Rn ; Lωq (Rn ) tập các hàm khả tích bậc q trên Rn với độ đo dµ = ω(x)d x; q Lω,loc (Rn ) tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Rn ; Hn nhóm Heisenberg có số chiều thuần nhất 2n + 2; |x|h modul của x trên nhóm Heisenberg; χA hàm đặc trưng của tập A; Lipβ (Rn ) không gian Lipschitz trên Rn ; Ṁωλ,q (Rn ) không gian tâm Morrey thuần nhất có trọng trên Rn ; α,p,q K̇ω (Rn ) không gian Herz thuần nhất có trọng trên Rn ; α,λ,p,q M K̇ω (Rn ) không gian Morrey-Herz thuần nhất có trọng trên Rn ; λ,q Ṁ v,ω (Rn ) không gian tâm Morrey thuần nhất có hai trọng trên Rn ; α,p,q K̇ v,ω (Rn ) không gian Herz thuần nhất có hai trọng trên Rn ; α,λ,p,q M K̇ v,ω (Rn ) không gian Morrey-Herz thuần nhất có hai trọng trên Rn ; HΦ,Ω toán tử Hausdorff thô; b HΦ,Ω giao hoán tử của toán tử Hausdorff thô; b HΦ,A giao hoán tử của toán tử ma trận Hausdorff; HΦ,A~ toán tử Hausdorff đa tuyến tính; Aξ trọng Muckenhoupt. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Một trong những chủ đề quan trọng của giải tích điều hòa là nghiên cứu tính bị chặn của các toán tử T trên các không gian. Cụ thể hơn, chúng ta có bài toán chứng minh bất đẳng thức kT f kY ≤ Ck f kX , (1) ở đó C là hằng số dương, và X , Y là hai không gian với chuẩn tương ứng k · kX và k · kY. Như chúng ta đã biết, tính bị chặn của toán tử xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu một số bài toán quan trọng trong giải tích điều hòa, phương trình đạo hàm riêng hay lý thuyết không gian hàm.

Để thấy được tầm quan trọng của bài toán này, chúng ta nhắc lại một số bài toán quan trọng sau. • Định lý khả vi Lebesgue phát biểu rằng: với mọi hàm khả tích địa phương f trong không gian Rn , chúng ta có Z 1 lim f ( y)d y = f (x) r→0 |B(x, r)| B(x,r) với hầu khắp x trong Rn. Để chứng minh bài toán này, người ta nghiên cứu hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm sau đây Z 1 M f (x) = sup | f ( y)|d y, r>0 |B(x, r)| B(x,r) và chứng minh rằng hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm là bị chặn yếu (1, 1). Chúng ta cũng có định nghĩa hàm cực đại Hardy–Littlewood như sau Z 1 M f (x) = sup | f ( y)|d y, x∈B |B| B trong đó sup được lấy trên tất cả các hình cầu B trong không gian Rn.

4 • Xét bài toán Dirichlet sau đây  n  ∂ x2 u(x, t) + ∂ t2 u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Rn × R+ , P i với i=1 u(x, 0) = f (x), x ∈ Rn ,  hầu khắp trong đó f thuộc không gian L p (Rn ) với 1 ≤ p < ∞. Để giải bài toán này, người ta xét u(x, t) = ( f ∗ Pt )(x), trong đó Pt (x) = t −n P(t −1 x) và € Š Γ n+1 2 1 P(x) = n+1 n+1 π 2 (1 + |x|2 ) 2 là hạch Poisson., x n , t) là hàm điều hòa theo các biến (x 1 , ., x n , t), nghĩa là n X d2 ∂i2 Pt + Pt = 0. i=1 d t2 Do đó hàm u(x, t) cũng là một hàm điều hòa trong không gian Rn ×R+ và hội tụ đến f trong không gian L p (Rn ) khi t dần về 0. Để giải quyết bài toán Dirichlet bên trên, ta còn chỉ ra sự hội tụ từng điểm hầu khắp của u(x, t) về f khi t tiến về 0.

Tuy nhiên, điều này dễ dàng nhận được từ bất đẳng thức sup |u(x, t)| ≤ M f (x), t>0 và tính bị chặn yếu (p, p) của hàm cực đại Hardy–Littlewood. • Chúng ta xét thêm một bài toán Cauchy cho phương trình Schrödinger như sau  i∂ t u(x, t) − ∆u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Rn × R+ , u(x, 0) = u (x). 0 5 Như chúng ta biết, nghiệm u(x, t) của bài toán này được cho bởi công thức u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x), ở đó u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x) xác định thông qua biến đổi Fourier 2 −i t∆ u )(ξ) = e i t|ξ| uˆ (ξ). (eÚ 0 0 Để nghiên cứu tính chính quy nghiệm, chúng ta cần đánh giá ke−i t∆ (u0 − v0 )kY ≤ Cku0 − v0 kX.

Do đó, ta đưa bài toán về việc xét tính bị chặn của toán tử tuyến tính e−i t∆ thông qua bất đẳng thức ke−i t∆ f kY ≤ Ck f kX. Qua các trường hợp trên, chúng ta thấy được phần nào tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính bị chặn của toán tử, trên các không gian để giải các bài toán trong giải tích hay trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Ngoài việc chứng minh bất đẳng thức (1), bài toán quan trọng và thú vị nữa là đưa ra các điều kiện cần và đủ để bất đẳng thức (1) đúng. Bên cạnh đó có thể xác định được hằng số C tốt nhất.

Với một số lớp toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa, ví dụ như nghiên cứu các hàm cực đại Hardy–Littlewood là một bài rất khó. Chẳng hạn, có thể xem [37], [64] và các tài liệu trích dẫn bên trong đó. Hơn nữa, p hằng số p−1 thu được là tốt nhất. Ở đây H là toán tử Hardy được định nghĩa Z x 1 H f (x) = f (t)d t.

x 0 6 Bất đẳng thức Hardy và các dạng mở rộng của chúng giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các không gian phiếm hàm (xem [2], [29], [53]). Carton-Lebrun và M. Fosset [22] đã giới thiệu toán tử tích phân Hardy–Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy– Littlewood từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy– Littlewood có trọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong đó chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện cần và đủ để toán tử Hardy-Littlewood có trọng bị chặn trên các không gian như Lesbegue, Hardy, BMO, Herz, Morrey–Herz, Triebel–Lizorkin,.

Trong một số trường hợp tính được chuẩn của toán tử. Một trong những toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa là toán tử Hausdorff. Toán tử này có liên quan mật thiết đến bài toán về tính khả tổng của chuỗi Fourier cổ điển. Cho Φ là hàm khả tích địa phương trên (0, ∞).

Toán tử Hausdorff một chiều được định nghĩa như sau Z∞ Φ(t)  x ‹ HΦ f (x) = f d t.