Luận án tiến sĩ: Tích chập của phép biến đổi Fourier với nhân lượng giác và ứng dụng - Bùi Thị Giang (ĐHQGHN)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− BÙI THỊ GIANG TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS. Đinh Dũng Phản biện 2: PGS. Nguyễn Xuân Thảo Phản biện 3: TS.

Nguyễn Văn Ngọc Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Trường ĐHKHTN vào hồi 9 giờ 00 ngày 26 tháng 6 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam - Trung tâm thông tin thư viện- ĐHQGHN. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN. 4 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 19 1.1 Phép biến đổi Fourier .1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản .2 Định lý ngược và định lý duy nhất .2 Phép biến đổi Hartley .3 Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine .4 Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier.

TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 55 2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng .2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi hình học .1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 58 2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với đồng dạng .3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với nghịch đảo .3 Tích chập liên kết giữa phép biến đổi Fourier và Fourier ngược 63 2.4 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine .1 Tích chập không có trọng đối với phép biến đổi Fourier- sine và Fourier-cosine .2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier- cosine với hàm trọng lượng giác .5 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier. 76 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H1 .2 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H2 .3 Tích chập đối với Hartley liên kết với Fourier. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CHẬP 92 1 d 3.1 Các cấu trúc vành định chuẩn trên L (R ) .2 Phương trình tích phân .1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 98 3.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp có dịch chuyển .3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp .4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian. 129 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN.

130 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 131 −5− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Các không gian: • L1 (R) = {f : R → C | f khả tích Lebesgue trên R}. • L2 (R) = {f : R → C | |f |2 khả tích Lebesgue trên R}. R
1/p • kf kp = R |f (x)|p dx , p = 1, 2.

• C0 (R)là không gian Banach của các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup. • S là không gian Schwartz, là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạn trên R sao cho sup sup(1 + |x|2 )m |(Dn f )(x)| < ∞ n≤m x∈R với mọi m, n = 0, 1, 2,. • L0 (X): tập các toán tử tuyến tính từ không gian X vào X sao cho dom X = X. • D(R) là không gian các hàm khả vi vô hạn trên R với giá compact.

Các toán tử:  1 d n • Dn :=. i dx  n n x2 2 • Hn (x) := (−1) e d dx e−x , đa thức Hermite bậc n. 1 2  n 2 • Φn (x) := (−1) e n 2x d dx e−x , hàm Hermite. 1 −ihx,yi R • (F f )(x) := d Rd e f (y)dy, phép biến đổi Fourier.

(2π) 2 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com • (F −1 f )(x) := 1 R ihx,yi d (2π) 2 Rd e f (y)dy, phép biến đổi Fourier ngược. 1 −ihx+h,yi R • (Fh f )(x) := d Rd e f (y)dy, phép biến đổi Fourier với phép (2π) 2 dịch chuyển. • Fh−1 Fh f (y) (x) := 1
R ihx,y+hi d (2π) 2 Rd e (Fh f )(y)dy, phép biến đổi ngược của phép biến đổi Fourier với phép dịch chuyển. d Q αj • Fα−1 (Fα f ) (x) :=
R j=1 d eihα·x,yi (Fα f )(y)dy, phép biến đổi ngược của |α|(2π) 2 Rd phép biến đổi Fourier với phép đồng dạng.

 1  1 d e−ihy, x i f (y)dy nếu xi 6= 0 ∀i = 1,. , d, R • (Fv f )(x) := (2π) 2 Rd 0 nếu x = 0, i phép biến đổi Fourier với phép nghịch đảo. • cos xy := coshx, yi; sin xy := sinhx, yi, trong đó hx, yi là tích vô hướng của x, y trong Rd. • (Tc f )(x) := 1 d cos xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-cosine.

R (2π) 2 Rd 1 R • (Ts f )(x) := d sin xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-sine. (2π) 2 Rd • Phép biến đổi Hartley: Z 1 (H1 f )(x) := d cas xyf (y)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (H2 f )(x) := d cas(−xy)f (y)dy, (2π) 2 Rd trong đó cas xy := cos xy + sin xy. −7− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. −8− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớm trong lịch sử của giải tích toán học, và chiếm vị trí quan trọng trong toán học do mỗi phép biến đổi tích phân có thể dùng để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, và áp dụng cho những bài toán của vật lý, cơ học, y học,.

Phép biến đổi tích phân được ra đời sớm nhất là phép biến đổi tích phân Fourier được xác định bởi công thức sau: Z 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy.1) 2π R Phép biến đổi tích phân Fourier có phép biến đổi ngược Z 1 (F −1 f )(x) = √ eixy f (y)dy.2) 2π R Về mặt toán học, phép biến đổi tích phân Fourier được phát triển từ chuỗi Fourier đó là việc biểu diễn một hàm bất kỳ thành chuỗi các hàm lượng giác đơn. Về mặt lịch sử, nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) là người đầu tiên biểu diễn thành công một hàm thành chuỗi của các hàm lượng giác khi ông nghiên cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất. Trải qua hai thế kỷ phát triển, một lý thuyết toán học được gọi ngắn gọn là Giải tích Fourier đã và đang được phát triển mạnh mẽ, do lý thuyết đó có những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học và của nhiều ngành khoa học ứng dụng khác. Ngoài phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta còn xét đến phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi các công thức sau đây: Z 1 (Tc f )(x) = √ cos xyf (y)dy := gc (x), (0.4) 2π R Hai phép biến đổi Tc , Ts này có một tính chất khác biệt so với phép biến đổi tích phân Fourier là ở chỗ: nếu miền xác định của Tc , Ts là L1 (R), thì đó là các toán tử không khả nghịch do chúng đều là những ánh xạ không đơn ánh, trong 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khi phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổi ngược trong L1 (R), và hơn thế nữa, F là toán tử tuyến tính khả nghịch liên tục trong không gian Hilbert L2 (R).

Người ta thường gọi những phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàm dưới dấu tích phân) có dạng k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C là phép biến đổi tích phân dạng Fourier. Trong số các phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến một phép biến đổi tích phân do Ralph Vinton Lyon Hartley là một kỹ sư vô tuyến điện đề xuất vào năm 1942, được xác định bởi công thức sau Z 1 (Hf )(x) = √ cas(xy)f (y)dy, (0.5) 2π R ở đây hàm nhân dưới dấu tích phân được biết đến là hàm cas (cosine-and-sine) được xác định bởi công thức: cas xy = cos xy + sin xy (xem [5, 18]). Phép biến đổi Hartley là một phép biến đổi dạng Fourier, và có mối liên hệ rất gần gũi với phép biến đổi tích phân Fourier. Thật vậy, hàm nhân trong phép biến đổi Hartley có thể biểu diễn được qua các nhân của phép biến đổi Fourier và Fourier ngược: 1 − i ixy 1 + i −ixy cas(xy) := cos(xy) + sin(xy) = e + e , 2 2 và hàm nhân của phép biến đổi Fourier lại biểu diễn qua nhân của phép biến đổi Hartley: 1+i 1−i e−ixy = cas(xy) + cas(−xy) 2 2 (xem [5, 18]).

Trong cuốn sách về các phép biến đổi tích phân [29], K. có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất của Hartley là một phép biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn đề của truyền tải sóng điện thoại. Mặc dù phép biến đổi này bị quên lãng gần 40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷ qua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell những người đã tạo ra lý thuyết hấp dẫn về đề tài này. " Bằng chứng về tuyên bố trên là một danh sách dài những công trình đã công bố về những ứng dụng của phép biến đổi Hartley (xem [5, 6, 7, 18, 27, 43] −10− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com và tài liệu tham khảo ở đó).

Trong những công trình kể trên, các tác giả chỉ ra nhiều ứng dụng hiệu quả của phép biến đổi Hartley trong các bài toán của thực tế như: xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số, v. Mặt khác, toán tử tích phân Hartley là một toán tử thực và đối xứng. Do vậy, ưu việt của phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, về mặt tính toán số, là ở chỗ phép biến đổi Hartley của một hàm thực là hàm thực, trong khi phép biến đổi Fourier của một hàm thực là hàm phức, và do máy tính (computer) làm việc với số thực thuận tiện và nhanh hơn với số phức. Liên quan đến lý thuyết của phép biến đổi tích phân, một lý thuyết khác cũng được nghiên cứu và phát triển, tuy là ra đời muộn hơn.