Luận án tiến sĩ toán học: Tích chập suy rộng với hàm trọng Hermite - Trường ĐH KHTN Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS. Lê Hùng Sơn Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS. Hà Tiến Ngoạn Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam Phản biện 3: TS.

Cung Thế Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án tiến sĩ họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội 2 : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN. 4 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY 15 1. Biến đổi tích phân Fourier.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản. Biến đổi tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine. Biến đổi Hartley. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 49 2.

Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier và Fourier ngược. Tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley. Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine. Tích chập suy rộng với hàm trọng là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các hàm Hermite.

Cấu trúc vành định chuẩn trên L1 (Rd ). Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite. Đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân. 141 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN.

142 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO. 143 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • d là một số nguyên dương cho trước. • L1 (Rd ) := {f : Rd → C : Rd |f (x)|dx < +∞}, tích phân lấy theo R độ đo Lebesgue. • L2 (Rd ) := {f : Rd → C : Rd |f (x)|2 dx < +∞}, tích phân lấy theo R độ đo Lebesgue.

• xy := hx, yi = x1 y1 +x2 y2 +· · ·+xd yd là tích vô hướng của x, y ∈ Rd , |x|2 := hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2d. • cas xy := cos xy + sin xy. , αd ) ∈ Nd là một đa chỉ số, |α| := α1 + · · · + αd. } là không gian Schwartz (không gian các hàm giảm nhanh tại vô cùng).

• 1 2 2 Φα (x) := (−1)|α| e 2 |x| Dxα e−|x| |α| là hàm Hermite đa chiều, trong đó Dxα = ∂xα1∂···∂xαd. 1 d • C ∞ (Rd ) = {f : Rd → C : Dα f ∈ C(Rd ), ∀α là một đa chỉ số}. x∈Rd 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 R • Cho Φα là một hàm Hermite. Đặt Nα := d Rd |Φα (x)|dx.

7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do lựa chọn đề tài Lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân đã được nghiên cứu trong một thời gian dài, và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý, y học, sinh học. Cho đến nửa đầu của thế kỷ 20, các tích chập được tìm thấy là những tích chập không có hàm trọng cho một biến đổi tích phân, và đối với nhiều biến đổi tích phân quen biết vẫn chưa tìm được tích chập cho nó. Sang nửa sau của thế kỷ 20, rất nhiều tích chập suy rộng đối với các biến đổi tích phân và ứng dụng của chúng đã được nghiên cứu thành công bởi nhiều tác giả.

Sneddon (xem [24]) là người đầu tiên xây dựng thành công tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân và xem xét các ứng dụng của chúng. Đó là tích chập suy rộng của hai hàm f và g xác định trên (0, +∞) đối với các biến đổi tích phân Fourier-sine và Fourier-cosine Z +∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > 0. 1 2π 0 Tích chập đó thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(x) = (Fs f )(x)(Fc g)(x), ∀ x > 0, 1 trong đó phép biến đổi Fourier-sine (Fs ), và biến đổi Fourier-cosine (Fc ) của hàm f xác định trên (0, +∞) lần lượt cho bởi các công thức sau (xem [8]) r Z +∞ 2 (Fs f )(x) = f (y) sin(xy)dy, π 0 r Z +∞ 2 (Fc f )(x) = f (y) cos(xy)dy, x > 0. π 0 Ý tưởng xây dựng tích chập sau đó được Y.

Vilenkin phát triển vào năm 1958, lần đầu tiên xây dựng được tích chập với hàm trọng đối với biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]). 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gần 10 năm sau, năm 1967 V. Kakichev đã đề xuất phương pháp kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng δ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa δ K(f ∗ g)(x) = δ(x)(Kf )(x). Thảo đưa ra một kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng đối với ba biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 (theo thứ tự đó), trong đó đòi hỏi K1 phải là phép biến đổi với nhân k1 (x, y) và nó có phép biến đổi ngược K1−1 với nhân k1−1 (u, v) xác định (xem [28]).

Nói chung, mỗi tích chập là một biến đổi mới và có thể là một đối tượng mới để nghiên cứu. Ví dụ, biến đổi Hilbert là tích chập của hàm f (t) với hàm g(t) = 1/(πt), và biến đổi Weierstrass chính xác là tích chập 1 2 của hàm f (t) với hàm dạng Gauss e− 4 t (xem [38]). Ta biết rằng tích của hai hàm số thuộc L1 (Rd ) thì chưa chắc thuộc L1 (Rd ). Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho kết luận đó.

Ví dụ: Cho hàm số    √1 , nếu x 6= 0, |x| ≤ 1  |x|  f (x) = 0, nếu x = 0   1,  nếu |x| > 1. x2 Dễ dàng kiểm tra được f ∈ L1 (R), nhưng f 2 6∈ L1 (R). Như vậy, phép nhân hai hàm là không đóng kín trong L1 (Rd ). Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực được quan tâm trong lý thuyết phương trình tích phân của toán học.

Đặc biệt là phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả như: [10] F. Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys. Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press. Marks II (1998), "A spherical dose model for radio surgery plan optimization", Phys.

9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Morf (1978), "Fast time-invariant imple- mentations of Gauss signal detectors", IEEE Trans. Các phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss có nhiều ứng dụng trong vật lý như: ứng dụng trong truyền sóng bức xạ, lý thuyết lọc tuyến tính, thủy lực học, và một số lĩnh vực của y học, sinh học. Từ kết quả của các công trình liên quan đến tích chập, tích chập suy rộng mà ta nhắc đến ở trên cho thấy các biến đổi tích phân Fourier, Fourier- sine, Fourier-cosine và Hartley có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của khoa học kỹ thuật.

Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine và Hartley trong không gian L1 (Rd ) lần lượt được định nghĩa như sau (xem [8, 26, 35, 52]) Z 1 fˆ(x) = (F f )(x) := d f (y)e−ixy dy, (2π) 2 Rd Z 1 −1 (F f )(x) := d fˆ(y)eixy dy, (2π) 2 Rd Z 1 (Tc f )(x) := d cos(xy)f (y)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (Ts f )(x) := d sin(xy)f (y)dy, (2π) 2 Rd Z 1 (H1 f )(x) := d cas(xy)f (y)dy. Ngoài ra, ta thấy các biến đổi Fourier, Hartley là tổng đại số của hai biến đổi độc lập Fourier-sine và Fourier-cosine. Mối liên hệ giữa các biến đổi đó được thể hiện qua công thức Euler sau F + F −1 Tc = , 2 iF − iF −1 Ts = , 2 (1 + i)F + (1 − i)F −1 H1 =. 2 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì những lý do trên nên ta gọi chung các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine và Hartley là các biến đổi tích phân dạng Fourier.

Xung quanh những biến đổi này, nhóm nghiên cứu V. Khoa đã xây dựng một số tích chập, tích chập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng đối với các biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine trong không gian L1 (R+ ) và một số không gian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]). Bracewell đã đưa ra tích chập đối với biến đổi Hartley trong không gian L1 (R) (xem [35, 36]). Các kết quả trong luận án của B.

Giang đã xây dựng tích chập, tích chập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng cho các biến đổi Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley trong không gian L1 (Rd ) với hàm trọng là các hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]). Từ khi lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân ra đời, ngoài các công trình ta liệt kê ở trên, một lượng lớn các bài báo, sách trình bày về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và các ứng dụng của chúng đã được xuất bản bởi nhiều tác giả như R. Qua các công trình đó ta thấy nổi bật lên là các nhóm nghiên cứu: 1. Betancor và các cộng sự với một số công trình liên quan đến các biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]).

Luchko với các công trình liên quan đến biến đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]). Khoa, Trịnh Tuân, N. Hồng với các công trình về tích chập suy rộng liên quan đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kon- torovich Lebedev, Stieltjes và biến đổi I trên nửa không gian (xem [21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]). Quan tâm đến các biến đổi này ở Việt Nam còn có Phan Tăng Đa (xem [6]).

Saitoh cùng các cộng sự với một số công trình liên quan đến các biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]). 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.