Luận án tiến sĩ Toán học: Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------ NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------ NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 62.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. Hà Huy Vui TS. Phó Đức Tài HÀ NỘI-2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 3 1 Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều 12 1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn .2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều. 17 2 Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một mặt đại số và của ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 22 2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn .2 Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt .3 Tô pô của thớ.

41 3 Tô pô của hàm hữu tỷ hai biến phức 45 3.1 Các giá trị rẽ nhánh .2 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn. 53 LUAN VAN CHAT LUONG download1 : add luanvanchat@agmail.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler .2 Điều kiện Malgrange và điều kiện M-tame .3 Điều kiện Fedoryuk. 68 Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh của ánh xạ đa thức 70 Kết luận 79 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 LUAN VAN CHAT LUONG download2 : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các đa tạp đại số có thể chia thành hai mảng đề tài: (i) Nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh; (ii) Nghiên cứu các đa tạp affine. Thành tựu cơ bản của các nghiên cứu về mảng đề tài thứ nhất là lý thuyết Lef- schetz.

Bằng cách khảo sát các Lefschetz pencil, cụ thể là thông qua việc mô tả tô pô của thớ tổng quát và mô tả các toán tử đơn đạo quanh các thớ đặc biệt - mà ở đây chính là các thớ có kỳ dị, các tính chất tô pô của các đa tạp xạ ảnh đã được hiểu khá rõ ([10], [38], [36]). Với mảng đề tài thứ hai, như nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đã nhận xét, tình hình là rất khác. Còn nhiều câu hỏi về các đa tạp affine và các ánh xạ đa thức vẫn chưa có câu trả lời, ngay cả cho trường hợp hai biến. Cái tương tự của Lefschetz pencil trong trường hợp affine là phân thớ Milnor toàn cục.

Từ một kết quả rất tổng quát của R. Thom ([43]), nếu f là một ánh xạ đa thức từ một tập đại số không kỳ dị V vào không gian Ck thì f xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ ngoài một tập đại số B của không gian đích Ck. Đó là phân thớ Milnor toàn cục. Do tính không compact của không gian Cn , ở đây xuất hiện một hiện tượng mà ta không gặp khi nghiên cứu Lefschetz pencil, đó là hiện tượng kỳ dị ở vô hạn.

Bởi vậy, ngoài các giá trị tới hạn, tập LUAN VAN CHAT LUONG download3 : add luanvanchat@agmail.com B còn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn. Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các tập đại số affine, một trong những bài toán đầu tiên cần phải giải quyết là Đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn. Mặc dù trong khoảng gần 30 năm trở lại đây rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán này, nhưng cho đến nay đây vẫn còn là một bài toán mở. Ngay cả khi V là toàn bộ Cn và f là ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta vẫn chưa biết cách trả lời, ngoại trừ đối với một ít trường hợp đặc biệt mà ta sẽ liệt kê dưới đây.

Khi V = C2 và k = 1, tức là f là một đa thức hai biến phức, các giá trị tới hạn tại vô hạn được đặc trưng theo nhiều cách khác nhau. Đầu tiên là kết quả của Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) và M. Suzuki ([42]), nói rằng giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát. Sau đó Hà Huy Vui ([44]) đưa ra khái niệm số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ và chứng minh ba điều kiện sau là tương đương: (i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ; (ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn 0; (iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn −1.

Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu điều kiện Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn. Khi V = Cn , n > 2 và k = 1, trong [30] M. Tibar chỉ ra rằng tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler nói chung không còn đúng. Cũng bằng các ví dụ cụ thể, L.

Zaharia ([32]) đã chứng tỏ rằng các đặc trưng thông qua số mũ Lojasiewicz như trong trường hợp hai biến là không còn đúng. Parusinski đã thực hiện được một bước đột phá khi tìm cách khai thác được một ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C, đó là tất cả các đa thức hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Trong [24], với giả thiết đa thức f : Cn → C chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, A. Parusinski đã chứng minh được rằng ba điều kiện sau là tương đương: LUAN VAN CHAT LUONG download4 : add luanvanchat@agmail.

Luận án này tìm cách khai thác một ưu điểm khác của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức bằng một. Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các cấu xạ từ M vào N, với M, N là các tập đại số không kỳ dị và dimM = dimN + 1. Điểm chung của các ánh xạ này với các đa thức hai biến là thớ tổng quát đều là các đường cong. Với điều kiện này ta hy vọng rằng các kết quả của trường hợp C2 vào C có thể mở rộng được cho lớp các ánh xạ đang xét.

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các ánh xạ trong các tình huống sau: 1. Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 ; 2. Hạn chế của một đa thức trên một mặt đại số không kỳ dị trong Cn ; 3. Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức là các ánh xạ có dạng gf : C2 \ {g = 0} → C với f, g là những đa thức hai biến phức.

Một nội dung khác của luận án là đưa ra mối quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn tại vô hạn của một ánh xạ đa thức với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị mà tại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame. Luận án gồm 3 Chương và 1 Phụ lục. Chương 1 gồm hai phần. Trong phần đầu, chúng tôi giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết.

Kết quả chính của Chương 1 được trình bày trong phần thứ hai. Theo định lý của Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng và M. Suzuki, có thể đặc trưng các giá trị tới hạn của đa thức hai biến thông qua một bất biến tô pô là đặc trưng Euler. Kết quả chính của chương này nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi địa phương tại t0 thì F xác định một phân thớ tầm thường tô pô.

Như vậy, nếu F là một LUAN VAN CHAT LUONG download5 : add luanvanchat@agmail.com cấu xạ có thớ một chiều (phức) thì về bản chất, bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của F vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi. Kết quả chính của Chương này được trình bày trong bài báo [28]. Định lý chính của Chương là như sau: Định lý (xem Định lý 1. Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ Cn là các tập đại số phức không kỳ dị sao cho dimM = dimN + 1 và t0 ∈ N là một giá trị chính qui của F.

Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0 và một vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F pr2 '  D giao hoán. (ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t0 , tức là tồn tại lân cận D của t0 và một đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F pr2 '  D giao hoán. Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các ánh xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp sau: (a) F = (F1 , F2 ,. , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 là một ánh xạ đa thức; (b) F = g|V là hạn chế của hàm đa thức g : Cn → C lên V, trong đó V ⊂ Cn là một mặt đại số không kỳ dị, tức là V = {x ∈ Cn : g1 (x) = g2 (x) = · · · = gn−2 (x) = 0} là tập đại số không kỳ dị và dimC V = 2.

Cho t0 là một giá trị chính qui của F. Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thớ F −1 (t) là một tập đại số phức một chiều không kỳ dị. LUAN VAN CHAT LUONG download6 : add luanvanchat@agmail.