Luận án tiến sĩ về các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine - Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THANH HỒNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học:PGS. Nguyễn Xuân Thảo GS. Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: GS. Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: GS.

Hà Huy Khoái Phản biện 3: GS. Nguyễn Mạnh Hùng Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại phòng Hội thảo, tầng 4, nhà T1, trường ĐHKHTN Hà Nội vào hồi 14 giờ 00 ngày 01 tháng 3 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư Viện Quốc Gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Trang phụ bìa. 1 Lời cam đoan. 5 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN.

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER SINE VỚI HÀM TRỌNG 18 1.1 Định lí kiểu Watson .2 Định lí kiểu Plancherel .3 Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG 40 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine- cosine với hàm trọng .1 Định lí kiểu Watson .2 Định lí kiểu Plancherel .2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine- sine với hàm trọng .1 Tính unita trong không gian L2 (R+ ) .2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R+ ). 62 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier và Fourier cosine với hàm trọng .1 Tính chất toán tử tích chập suy rộng .2 Định lí kiểu Watson. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 77 3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine .1 Định lí kiểu Young .2 Một bất đẳng thức trong không gian với trọng đối với tích chập Fourier cosine .3 Áp dụng đánh giá nghiệm một số bài toán trong không gian Lp (R+ , ρ) .2 Một số lớp các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel .1 Phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt .2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt .3 Một số lớp các bài toán vi-tích phân .1 Bài toán vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng .2 Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng.

111 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 114 −6− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Các không gian hàm dùng trong luận án • R+ = {x ∈ R, x > 0}.

x∈R+ • Lp (R+ , ρ), 1 6 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞ 0 trong đó ρ là một hàm trọng dương. • kf kLp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R) = |f (x)| dx. −∞ • kf kLp (R+ ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R+ ) = |f (x)| dx. 0 • kf kLp (R+ ,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R+ ,ρ) = |f (x)| ρ(x)dx.

0 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng trong luận án • (· ∗ ·) (xem trang 10) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. F • (· ∗ ·) (xem trang 11) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine. Fc • (· ∗ ·) (xem trang 12) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi 1 Fourier sine và Fourier cosine.

γ • (· ∗ ·) (xem trang 18) là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối với Fs phép biến đổi Fourier sine. • (· ∗ ·) (xem trang 24) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi 2 Fourier cosine và Fourier sine. γ • (· ∗ ·) (xem trang 25) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y 1 đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine. γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y 2 đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.

γ • (· ∗ ·) (xem trang 66) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y 3 đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier và Fourier cosine. γ • (· ∗ ·) (xem trang 66) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y 4 đối với các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier và Fourier sine. −8− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đã ra đời và liên tục phát triển trong suốt mấy trăm năm qua và có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong các ngành Vật lí như quang học, điện, cơ học lượng tử, âm thanh.

Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các phép biến đổi tích phân còn có vai trò không thể thiếu trong các ngành y sinh học, địa lí, hải dương học,. Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quan trọng trong lí thuyết cũng như trong ứng dụng phải kể đến trước hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,. Bản thân phép biến đổi Fourier cũng ra đời xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt.

Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [9, 41]) Z∞ 1 (F f )(x) = F [f ](x) = √ e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R), (0.3) 2π −∞ 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R), 1 6 p 6 2, thì ta có phép biến đổi Fourier ngược như sau (xem [9, 41]) ZN 1 f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √ eixy g(y)dy.4) N →+∞ 2π −N Trong trường hợp f là hàm số chẵn hoặc lẻ ta nhận được phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng sau (xem [38, 41]) r Z∞ 2 (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = f (x) cos xydx, f ∈ L1 (R+ ), (0.6) π 0 và với f ∈ Lp (R+ ), 1 6 p 6 2, ta có r ZN 2 (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim f (x) cos yxdx, (0.7) N →∞ π 0 r ZN 2 (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim f (x) sin yxdx, (0.8) N →∞ π 0 1 1 trong đó, q là số mũ liên hợp của p, tức là + = 1, và các giới hạn được p q hiểu theo chuẩn trong không gian Lq (R+ ). Các định nghĩa trên trùng nhau nếu f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ). Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20. Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng như sau (xem [39]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (y)g(x − y)dy, x ∈ R.9) F 2π −∞ −10− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau (xem [39]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R).

xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier cosine như sau (xem [39]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > 0.10) Fc 2π 0 Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval sau (xem [39, 5]) Fc [f ∗ g](y) =(Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ), (0.12) Fc Sau đó, các tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin đã được xây dựng và nghiên cứu (xem [17, 13]). Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú trong tính toán tích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Vật lí-Toán, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh,. Mặc dù có rất nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưng cho đến trước những năm 50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập đối với các phép biến đổi tích phân được xây dựng. Năm 1958, lần đầu tiên Vilenkin Y.

thiết lập được công thức tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [58]). Gần một thập kỉ sau, năm 1967, Kakichev V. đã đưa ra một phương pháp kiến thiết để xây dựng tích chập với hàm trọng đối với một phép biến đổi tích phân bất kì (xem [20]). Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [20]).

−11− LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình [38], Sneddon I. đưa ra một công thức tích chập "lạ", khi trong đẳng thức nhân tử hoá của nó có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine. Tích chập này xác định như sau (xem [38]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.13) 1 2π 0 thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây (xem [38, 6]) Fs [f ∗ g])(y) =(Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (0.15) 1 Khoảng những năm 90 của thế kỉ trước, Yakubovich S. đã giới thiệu một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich- Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số.

Trong đó đẳng thức nhân tử hoá có các phép biến đổi khác nhau thuộc cùng một họ. Trên cơ sở đó và tiếp theo ý tưởng của Kakichev V.