Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán xấp xỉ phương trình động lực trên thang thời gian - Nguyễn Thu Hà, ĐHQG Hà Nội

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HANOI HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE Nguyen Thu Ha APPROXIMATION PROBLEMS FOR DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES THESIS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS HANOI – 2017 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HANOI HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE Nguyen Thu Ha APPROXIMATION PROBLEMS FOR DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Speciality: Differential and Integral Equations Speciality Code: 62 46 01 03 THESIS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHYLOSOPHY IN MATHEMATICS Supervisor: PROF. NGUYEN HUU DU HANOI – 2017 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thu Hà BÀI TOÁN XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Phương trình Vi phân và Tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI – 2017 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Contents Page Abstract v Tóm tắt vi List of Figures vii List of Notations ix Introduction 1 Chapter 1 Preliminary 11 1.1 Definition and example .3 Delta and nabla integration. ∆ and ∇ measures on time scales.

Extension of integral. Polynomial on time scales. Exponential matrix function .5 Exponential stability of dynamic equations on time scales. 26 i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Concept of the exponential stability. Exponential stability of linear dynamic equations with con- stant coefficient. 31 Chapter 2 On the convergence of solutions for dynamic equations on time scales 34 2.1 Time scale theory in view of approximative problems .2 Convergence of solutions for ∆-dynamic equations on time scales. The existence and uniqueness of solutions.

Convergence of solutions .3 On the convergence of solutions for nabla dynamic equations on time scales. Nabla exponential function. Nabla dynamic equation on time scales. Convergence of solutions for nabla dynamic equations .4 Approximation of implicit dynamic equations.

55 Chapter 3 On data-dependence of implicit dynamic equations on time scales 58 3.1 Region of the uniformly exponential stability for time scales. Stability region of time scales. Dependence of stability regions on time scales .2 Data-dependence of spectrum and exponential stability of implicit dynamic equations. Index of pencil of matrices.

Solution of linear implicit dynamic equations with constant coefficients. Spectrum of linear implicit dynamic equations with constant coefficients. 72 ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Data-dependence of stability radii. Stability radius of linear implicit dynamic equations.

Data-dependence of stability radii. 82 Conclusion 91 The author’s publications related to the thesis 93 Bibliography 94 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Acknowledgments First and foremost, I want to express my deep gratitude to Prof. Nguyen Huu Du for accepting me as a PhD student and for his help and advice while I was working on this thesis. He has always encouraged me in my work and provided me with the freedom to elaborate my own ideas.

I also want to thank Dr. Do Duc Thuan and Dr. Le Cong Loi for all the help they have given to me during my graduate study. I am so lucky to get their support.

I wish to thank the other professors and lecturers at Faculty of Mathematics, Me- chanics and Informatics, Hanoi University of Science for their teaching, continuous support, tremendous research and study environment they have created. I also thank to my classmates for their friendship and suggestion. I will never forget their care and kindness. Thank you for all the help and making the class like a family.

Last, but not least, I would like to express my deepest gratitude to my family. Without their unconditional love and support, I would not be able to do what I have accomplished. Hanoi, December 27, 2017 PhD student Nguyen Thu Ha. iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Abstract The characterization of analysis on time scales is the unification and expansion of results obtained on the discrete and continuous time analysis.

In some last decades, the study of analysis theory on time scales leads to much more general results and has many applications in diverse fields. One of the most important problems in analysis on time scales is to study the quality and quantity of dynamic equations such as long term behaviour of solutions; controllability; methods for solving numer- ical solutions. In this thesis we want to study the analysis theory on time scales under a new approach. That is, the analysis on time scales is also an approxima- tion problem.

Precisely, we consider the distance between the solutions of different dynamical systems or study the continuous data-dependence of some characters of dynamic equations. The thesis is divided into two parts. Firstly, we consider the approximation problem to solutions of a dynamic equation on time scales. We prove that the sequence of solutions xn (t) of dynamic equation x∆ = f (t, x) on time scales {Tn }∞ n=1 converges to the solution x(t) of this dynamic equation on the time scale T if the sequence of these time scales tends to the time scale T in Hausdorff topology.

Moreover, we can compare the convergent rate of solutions with the Hausdorff distance between Tn and T when the function f satisfies the Lipschitz condition in both variables. Next, we study the continuous dependence of some characters for the linear implicit dynamic equation on the coefficients as well on the variation of time scales. For the first step, we establish relations between the stability regions corresponding a sequence of time scales when this sequence of time scales converges in Hausdorff topology; after, we give some conditions ensuring the continuity of the spectrum of matrix pairs; finally, we study the convergence of the stability radii for implicit dynamic equations with general structured perturbations on the both sides under the variation of the coefficients and time scales. v LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tóm tắt Đặc trưng của giải tích trên thang thời gian là thống nhất và mở rộng các nghiên cứu đã đạt được đối với giải tích trên thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc.

Trong các thập niên vừa qua, việc nghiên cứu lý thuyết giải tích trên thang thời gian cho ta nhiều kết quả tổng quát và có nhiều ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau. Một trong những bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chất định tính và định lượng của phương trình động lực. Trong luận án này, chúng tôi muốn nghiên cứu lý thuyết giải tích trên thang thời gian theo cách tiếp cận mới. Đó là giải tích trên thang thời gian còn là bài toán xấp xỉ.

Cụ thể hơn, chúng tôi xét khoảng cách giữa các nghiệm của các hệ động lực khác nhau và sẽ nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của một số đặc trưng của phương trình động lực theo dữ liệu của phương trình. Luận án bao gồm hai phần chính. Trước hết, chúng tôi xét bài toán xấp xỉ nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian và chứng minh được dãy các nghiệm xn (t) của phương trình x∆ = f (t, x) trên dãy thang thời gian tương ứng {Tn }∞ n=1 sẽ hội tụ đến nghiệm x(t) của phương trình này trên thang thời gian T nếu như dãy thang thời gian này hội tụ về thang thời gian T theo khoảng cách Hausdorff. Hơn nữa, chúng tôi cũng đánh giá được tốc độ hội tụ của các nghiệm theo tốc độ hội tụ của dãy thang thời gian khi hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo cả hai biến.

Tiếp theo, ta nghiên cứu sự phụ thuộc theo tham số và theo sự biến thiên của thang thời gian của một số đặc trưng của phương trình động lực ẩn tuyến tính. Bước đầu tiên, ta thiết lập mối liên hệ giữa các miền ổn định tương ứng của dãy các thang thời gian khi dãy thang thời gian này hội tụ theo tô pô Hausdorff. Cuối cùng, chúng ta nghiên cứu sự hội tụ của bán kính ổn định của phương trình động lực ẩn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc ở cả hai vế của phương trình khi cả hệ số và thang thời gian đều biến thiên. vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Declaration This work has been completed at Hanoi University of Science, Vietnam National University under the supervision of Prof.

Nguyen Huu Du. I declare hereby that the results presented in it are new and have never been used in any other thesis. Author: Nguyen Thu Ha vii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com List of Figures 1.1 Points of the time scale T.1 The graph of the solution xn (t) on the time scale Tn .2 The graph of the solution x4 (t) on the time scale T4 .3 The graph of the solution xn (t) on the time scale Tn. 55 viii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com List of Notations T Time scale κ T T \ {Tmax } if T has a left-scattered maximum Tmax κT T \ {Tmin } if T has a right-scattered minimum Tmin otherwise T k = T Tτ = {t ∈ T : t > τ } σ(t) Forward jump operator ρ(t) Backward jump operator µ(t) Graininess (forward) of a time scale ν(t) Graininess (backward) of a time scale C(X, Y ) The set of continuous functions from X to Y Crd (T, X) Space of rd-continuous functions f : T → X 1 Crd (T, X) Space of rd-continuously differentiable functions f : Tk → X.

Crd R(T, X) Space of rd-continuous and regressive functions f :T→X C− , C+ open left and right half complex plane. d(x, X) Distance between point x and subset X d(X, Y ) Hausdorff distance of two non-empty subsets X and Y det A The determinant of matrix A eα (t, s) ∆- Exponential function with parameter α ebα (t, s) ∇- Exponential function with parameter α f (t−) limσ(s)↑t f (s) GL(Rm ) The set of linear automorphism of Rm =λ Imaginary part of complex number λ <λ Real part of complex number λ K A field, to be replaced by an element from {R, C} m×n K Linear space of m × n− matrices on K Im A Valued domain of operator A Ker A Kernel of operator A rank A Rank of matrix A L(X) Space of linear continuous operator f: X → X Ln The principal logarithm function with the valued-domain is [−iπ, iπ) ix LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com N, Q, R, C The set of natural, rational, real, complex numbers N0 = N ∩ {0} R(Tk , X) The set of regressive functions, defined on T and take the value on X + k R (T , R) The set of positive regressive function defined on T and taking values in R R+ The set of positive real numbers UT = UT(T) The uniformly exponential stability domain of time scale T. σ(A) The set of the eigenvalues of the matrix A σ(A, B) The set of solutions of det(λA − B) = 0 S(T) Exponential stability domain of time scale T sup, inf supremum, infimum x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Introduction The theory of ordinary differential equations (ODEs for short) is a theoretical sys- tem, rather academic but going into the practical issues. In practical problems, ordinary differential equations occur in many scientific disciplines, for instance in physics, chemistry, biology, and economy.