Luận án tiến sĩ toán học của Vũ Hữu Nhự: Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________________ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________________ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. BÙI TRỌNG KIÊN 2. NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả luận án Vũ Hữu Nhự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Trọng Kiên và PGS. Nguyễn Hữu Điển. Trước tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.

Bùi Trọng Kiên - người đã đặt bài toán, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. Nguyễn Hữu Điển, người đã hướng dẫn tận tình và luôn động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu. Tiếp theo, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với GS.

Yao về sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả làm thực tập sinh 06 tháng tại Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013). Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học và tập thể các thầy cô giáo tại trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục và Khoa Cơ bản 1 – Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu. Nhờ những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của GS.

Nguyễn Văn Mậu, GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Vũ Ngọc Phát, GS. Lê Dũng Mưu, GS.

Nguyễn Đông Yên, PGS. Vũ Hoàng Linh, PGS. Cung Thế Anh, PGS. Phạm Ngọc Anh, PGS.

Nguyễn Quang Huy và TS. Lê Huy Chuẩn – các Thầy trong Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở và Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Quốc gia, bản luận án này đã được cải thiện đáng kể so với bản dự thảo luận án ban đầu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở về những chỉ dẫn quan trọng. 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xin chân thành cám ơn GS.

Hoàng Xuân Phú, GS. Nguyễn Đông Yên, PGS. Tạ Duy Phượng, PGS. Phan Thành An, TS.

Nguyễn Quỳnh Nga, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina tại Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy phản biện độc lập về những nhận xét quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể. Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời cam đoan 0 Lời cảm ơn 1 Mục lục 3 Các ký hiệu 5 Mở đầu 8 Chương 1.

Kiến thức cơ sở 15 1.1 Ánh xạ đa trị .2 Giải tích biến phân .1 Tập tiếp tuyến .3 Nguyên lý biến phân .4 Hàm khả vi và tính đơn điệu .5 Một số kết quả về hình học Banach .3 Giải tích lồi .2 Bài toán quy hoạch lồi .3 Định lý tách các tập lồi .4 Không gian Sobolev và phương trình elliptic .1 Không gian Sobolev .2 Phương trình elliptic tuyến tính .3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính. Điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp 46 2.1 Bài toán quy hoạch toán học .1 Một số kết quả về giải tích biến phân .2 Điều kiện chính quy và điều kiện cần cực trị. 51 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp .3 Chứng minh Định lý 2.7 và Hệ quả 2. Điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 92 3.1 Các điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu tổng quát .2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái.

Tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số 115 4.1 Tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm theo tham số .1 Bài toán và giả thiết .2 Một số kết quả bổ trợ .3 Chứng minh Định lý 4.4 Một số ví dụ .2 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm theo tham số .1 Bài toán và giả thiết .2 Một số kết quả bổ trợ .3 Chứng minh Định lý 4.4 Một số ví dụ. 156 Kết luận và kiến nghị 157 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 158 Tài liệu tham khảo 159 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC KÝ HIỆU F:X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y Dom( F ), Graph( F ), Im( F ) miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh của ánh xạ đa trị F R tập số thực RN không gian Euclide N −chiều N tập số tự nhiên X∗ không gian đối ngẫu tôpô của X X ∗∗ không gian song đối ngẫu tôpô của X không gian WCG không gian sinh bởi tập compact yếu hx∗ , xi giá trị của x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X kxk chuẩn của véc tơ x kxkX chuẩn của véc tơ x trong không gian X |x| môđun của véc tơ x ∈ R N xT chuyển vị của véc tơ x ∈ R N [ x1 , x2 ] đoạn nối hai véc tơ x1 và x2 ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A là con của tập B A*B tập A không là con của tập B A∩B giao của hai tập A và B A∪B hợp của hai tập A và B A\B hiệu của tập A và tập B A×B tích Descartes của hai tập A và B A+B tổng của hai tập A và B | A| độ đo của tập đo được A BX hình cầu đơn vị đóng trong không gian X BX ( x, ρ) hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ trong X d( x, K ) khoảng cách từ x tới tập K 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ∂BX ( x, ρ) biên của hình cầu tâm x bán kính ρ trong X SX mặt cầu đơn vị trong không gian X T∗ toán tử liên hợp của toán tử T T −1 ánh xạ ngược của ánh xạ T T (K, x ) nón tiếp tuyến Bouligand của tập K tại x T [ (K, x ) nón tiếp tuyến trung gian (kề) của tập K tại x TC (K, x ) nón tiếp tuyến Clarke của tập K tại x T 2 (K, x, d) tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai của tập K tại x theo hướng d T 2[ (K, x, d) tập tiếp tuyến trung gian bậc hai của tập K tại x theo hướng d TC2 (K, x, d) tập tiếp tuyến Clarke bậc hai của tập K tại x theo hướng d N (K, x ) nón pháp tuyến của tập K tại x σ( x∗ , K ) hàm giá của tập K ( X, d) không gian mêtric L( X, Y ) không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y f 0, ∇ f đạo hàm của ánh xạ f f 00 , ∇2 f đạo hàm bậc hai của ánh xạ f ∇ x f , ∇2xy f đạo hàm bậc 1, 2 của f theo biến x và x, y A, cl( A) bao đóng của tập A int( A) phần trong của tập A span( A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A cone( A) tập nón sinh bởi tập A { x n }, ( x n ) dãy véc tơ xn xn → x dãy { xn } hội tụ (mạnh) tới x xn * x dãy { xn } hội tụ yếu tới x ∗ xn∗ * x ∗ dãy { xn∗ } hội tụ yếu−∗ tới x ∗ K xn → x dãy { xn } hội tụ tới x và xn ∈ K f : X → [−∞, +∞] hàm thực mở rộng dom( f ) miền hữu hiệu của hàm f 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com epi( f ) epigraph của hàm f ∂ f (x) dưới vi phân của hàm f tại x supp( ϕ) tập giá của hàm ϕ α := (α1 , α2 , ., α N ) một đa chỉ số đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi α α x α := x1 1 x2α2 .x NN D j := ∂x∂ toán tử vi phân j α α D α := D1 1 D2α2 .