Luận án tiến sĩ: Phương pháp tìm nghiệm chung bài toán cân bằng và điểm bất động ánh xạ không giãn - Đỗ Duy Thành

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Duy Thành MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Phạm Ngọc Anh 2. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án Đỗ Duy Thành 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. Phạm Ngọc Anh và GS. Phạm Kỳ Anh đã có những ý kiến đóng góp chỉnh sửa luận án. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, hội nghị và seminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải Phòng cùng các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn các anh, chị, em trong nhóm Giải tích và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin gửi đến gia đình của mình lòng biết ơn và tình cảm yêu thương nhất. 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Mục lục 3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 5 Mở đầu 7 Chương 1. Bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn 14 1.1 Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực .2 Phép chiếu và các tính chất .3 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động .4 Bài toán cân bằng .1 Bài toán cân bằng .2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng .3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng .5 Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn .1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết .2 Phương pháp chiếu .3 Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ. Phương pháp điểm bất động 36 2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn .2 Xây dựng dãy lặp .3 Kết quả hội tụ.

40 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.4 Kết quả tính toán. Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 49 3.1 Một số phương pháp chiếu cho một họ các ánh xạ không giãn .2 Phương pháp đạo hàm tăng cường .3 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng. Phương pháp tìm kiếm theo tia 61 4.1 Giải bài toán cân bằng và một ánh xạ không giãn .2 Kết quả hội tụ .3 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân .2 Giải bài toán cân bằng và một họ các ánh xạ không giãn .2 Kết quả hội tụ .3 Giải bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ không giãn .2 Kết quả hội tụ. 110 Kết luận 111 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 113 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực H∗ không gian đối ngẫu của H z số phức liên hợp của số phức z ∥x∥ chuẩn của véc tơ x ∃x tồn tại x ∀x với mọi x ⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véc tơ x và y A⊂B tập hợp A là tập con thực sự của tập hợp B A⊆B tập hợp A là tập con của tập hợp B A∩B tập hợp A giao với tập hợp B A∪B tập hợp A hợp với tập hợp B A×B tích Đề-Các của hai tập hợp A và B diamD := sup ∥x − y∥ đường kính của tập hợp D x,y∈D argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C ∂f (x) dưới vi phân của f tại x δC (·) hàm chỉ trên C P rC (x) hình chiếu của x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn ⇀ x dãy {xn } hội tụ yếu tới x V I (C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân OP bài toán tối ưu EP (C, f ) bài toán cân bằng F ix bài toán điểm bất động Sol(C, F ) tập nghiệm của bài toán V I (C, F ) Sol(C, f ) tập nghiệm của bài toán EP (C, f ) I ánh xạ đồng nhất F ix(S ) tập các điểm bất động của ánh xạ S 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Mô hình cân bằng có thể được xem như là một sự phát triển mở rộng của mô hình tối ưu hoá và bài toán bất đẳng thức biến phân.

Các bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân là những trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Trong bài toán tối ưu chỉ có một chủ thể với một hoặc nhiều mục tiêu mà chủ thể mong muốn tìm giải pháp tối ưu trong những điều kiện nhất định. Trong vấn đề có nhiều chủ thể tham gia, mỗi chủ thể có những mục tiêu khác nhau, quan hệ mật thiết, thậm chí đối kháng nhau, một phương án tối ưu khó được tất cả các chủ thể chấp nhận, vì nó có thể tối ưu cho chủ thể này, nhưng lại không tốt cho chủ thể khác. Trong tình huống này một khái niệm cân bằng, đặc biệt là khái niệm cân bằng Nash, dễ được chấp nhận.

Trong thời đại thông tin hiện nay, mọi vấn đề đều quan hệ mật thiết với nhau, lợi ích thường mâu thuẫn nhau, nên dễ xảy ra xung đột. Do đó, các mô hình cân bằng tỏ ra thích hợp, để giải quyết các mâu thuẫn về quyền lợi. Điều này giải thích lý do vì sao trong những thập kỷ gần đây, cân bằng được quan tâm nghiên cứu nhiều. Lớp bài toán cân bằng, được mô tả dưới dạng một bất đẳng thức, còn gọi là bất đẳng thức Ky Fan, xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1972 trên một bài báo có tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] và được áp dụng để nghiên cứu các mô hình cân bằng kinh tế theo khái niệm cân bằng do J.

Nash, nhà toán học Mỹ được giải Nobel kinh tế do những công trình nghiên cứu về cân bằng, đưa ra. Sau đó bài toán cân bằng theo bất đẳng thức Ky Fan đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả là những nhà toán học và những chuyên gia kinh tế. Về mặt lý thuyết của sự tồn tại nghiệm, nhiều kết quả cơ bản và quan trọng đã 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trên các không gian trừu tượng. Tuy nhiên về mặt tính toán, các kết quả còn hạn chế.

Các phương pháp giải mới thu được cho các bài toán cân bằng với các song hàm nhận giá trị thực và có thêm những tính chất đơn điệu. Các phương pháp giải cho lớp các bài toán cân bằng tổng quát hơn, nhất là lớp các bài toán cân bằng với song hàm có tính đơn điệu suy rộng, như giả đơn điệu, tựa đơn điệu v. đang được nghiên cứu nhiều do tính lý thú về mặt toán học, cũng như khả năng ứng dụng của lớp bài toán này. Cho C là một con tập lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực H và một song hàm f : C × C → R.

Bài toán cân bằng đặt ra là tìm một điểm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y ) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Ta được biết rằng, x∗ là một nghiệm của bài toán cân bằng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán tối ưu min f (x, y ). y∈C Như vậy, với mỗi x ∈ C , x∗ là điểm bất động của một ánh xạ nghiệm 1 S (x) = argmin{λf (x, y ) + ∥y − x∥2 , y ∈ C}, 2 trong đó λ > 0, ánh xạ nghiệm S : C → 2C. Đây cũng là cơ sở để đưa đến các cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải bài toán tìm một điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động của các ánh xạ không giãn.

Thực tế cho thấy, bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ là một bài toán rất phổ biến trong lý thuyết điểm bất động, bài toán này thu hút được rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu cả trên lĩnh vực tồn tại nghiệm và các thuật toán giải. Do vậy, việc nghiên cứu của đề tài là cần thiết và phù hợp. Trong những năm gần đây, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động của các ánh xạ không giãn là một đề tài hấp dẫn đối với rất nhiều nhà khoa học trên thế giới. Hầu hết các thuật toán để giải bài toán này đều dựa trên tính chất rằng: Với mỗi r > 0 và x ∈ H, tồn tại z ∈ C sao cho 1 f (z, y ) + ⟨y − z, z − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, r 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó f là song hàm thỏa mãn một số tính chất cho trước.

Khi đó, tại mỗi bước lặp thứ n, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xn } như sau:   x0 ∈ C tùy ý ,  Tìm un ∈ C : f (un , y ) + 1 ⟨y − un , un − xn ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, rn điểm lặp xn+1 được tính theo xn và un thông qua các kỹ thuật điểm bất động. Vậy, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được chuyển về việc giải một dãy các bài toán cân bằng phụ.