Luận án Tiến sĩ Nguyễn Thị Mộng Tuyền: Đại số Lie giải được đặc biệt và hình học K-quỹ đạo của nhóm Lie

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN THỊ MONG TUYỂN MOT VAI LỚP DAI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC ĐẶC BIET VÀ HÌNH HỌC CÁC K-QUY ĐẠO CỦA NHÓM LIE LIÊN THONG, DON LIÊN TƯƠNG UNG LUẬN AN TIEN SĨ TP. Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN THI MONG TUYEN SOME CLASSES OF SPECIAL SOLVABLE LIE ALGEBRAS AND GEOMETRY OF K-ORBITS OF CORRESPONDED CONNECTED, SIMPLY CONNECTED LIE GROUPS DOCTORAL THESIS Ho Chi Minh City — 2023 DẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN THỊ MONG TUYỂN MOT VAI LỚP DAI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC ĐẶC BIỆT VÀ HÌNH HOC CÁC K-QUY DAO CUA NHÓM LIE LIEN THONG, DON LIEN TUGNG UNG Ngành: Dai số và Lý thuyết số Mã số Ngành: 9460104 Phản biện 1: PGS.

Trần Đạo Dõng Phần biện 2: PGS. Phan Hoàng Chơn Phản biện 3: PGS. Phan Thanh Toàn Phản biện độc lập 1: PGS. Trần Giang Nam Phản biện độc lập 2: TS.

Định Văn Hoàng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Trịnh Thanh Đèo TP. Hồ Chí Minh - 2023 Lời cam đoan Tôi cam đoan Luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài “Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng” là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Lê Anh Vũ và TS.

Trịnh Thanh Đào. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Mộng Tuyền Lời cam ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Lê Anh Vũ và TS.

Trịnh Thanh Déo. Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc nhất đến những người Thầy hướng dẫn của mình. Trong thời gian dài nghiên cứu và học tập, hai Thay đã từng bước dan dắt tác giả tiếp cận và thực hiện nghiên cứu các vấn đề được trình bày trong luận án này. Dưới sự hướng dẫn của hai Thầy, tác giả không những được tích lũy thêm kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn được truyền cẩm hứng và được động viên khích lệ để tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên môn và trong cuộc song.

Làm việc với hai Thay, tác giả còn học được một tinh thần trách nhiệm trong công việc, niềm say mê nghiên cứu và một phong cách làm việc khoa học, trung thực, nghiêm túc. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Lãnh dao Dai học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Dại học, Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Dại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS. Bùi Xuân Hải, TS.

Nguyễn Viết Dong và TS. Trần Ngọc Hội, những người Thầy đã giảng dạy cho tác giả những kiến thức chuyên ngành bo ích và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả cũng chân thành cảm ơn PGS. Mai Hoàng Biên đã nhắc nhở, đôn đốc tác giả trong các giai đoạn hoc tập và nghiên cứu giúp cho tác giả hoàn thành tốt được các kế hoạch học tập của cơ sở đào tạo.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. My Vinh Quang và TS. Nguyễn Viết Đông đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo luận án khi bảo vệ cấp đơn vị chuyên môn và đã có những ý kiến bổ ích giúp tác giả cập nhật và cải thiện chất lượng luận án. Xin gửi lời cám ơn chân thành đến PGS.

Trần Giang Nam, TS. Dinh Văn Hoàng đã dành nhiều thời gian đọc phản biện độc lập cho luận án này và cho nhiều lời khen ngợi động viên tác giả. Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang (Phòng Đào tạo Sau đại học) đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tác giả về các thủ 3 tục học tập và bảo vệ trong suốt khóa học. Tác giả xin chân thành cám ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đồng Tháp, Lãnh đạo Khoa Sư phạm Toán - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình.

Đặc biệt, tác giả xin cám ơn các thành viên của Bộ môn Sư phạm Toán học đã luôn giúp đỡ động viên, đảm nhận thay nhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình. Xin cam ơn các thành viên nhóm nghiên cứu DAHITO, đặc biệt là TS. Nguyễn Anh Tuan va TS. Võ Ngọc Thiệu đã trực tiếp giúp đỡ va động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn Viện nghiên cứu Dữ liệu lớn, Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã xét chọn và trao học bổng cho tác giả trong Chương trình học bổng đào tạo thạc sĩ, tiến sĩ trong nước năm 2020 và 2021. Học bổng đã hỗ trợ nguồn kinh phí tốt cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và nhờ đó mà tác giả đã hoàn thành các mục tiêu đề ra trong suốt thời gian làm Nghiên cứu sinh. Mục lục HT. ent be bebe es 3 TRANG THONG TIN LUAN AN THESIS INFORMATION © Danh mục chữ viết tắt và ki hiệu Chương 1.

[Ly do chọn đề tài|. [Phuong pháp nghiên cứu|. [Muc tiêu nghiên cứu|. [Bồ cục và nội dung luận án|.

jKiễn thức cơ sổi. pháp quỹ đạo của Kirillov |.1 [Biểu diễn đối phụ hợp|.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo|.2 Phan lá đo được Chương 4. |Một vài lớp đại số Lie thực giải được đặc biệt| 36 4. |Phân loại đại số Lie thực giải được ø-chiều có ideal dẫn xuất 2-chiéu Chương 6.- 114 Tài liệu tham khảo|.

«<< Ÿ<- 116 TRANG THONG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số ngành: 9460104 Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thị Mộng Tuyền Khóa đào tạo: 2018 Người hướng dẫn khoa học: 1. Trịnh Thanh Déo Co sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tu nhiên, DHQG. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN Luận án nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiều không lũy linh bậc hai với ideal dẫn xuất 2-chiều và phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều là g;› và g54 (theo kí hiệu của Dixmier [I§|). Từ kết quả đó, mô tả bức tranh các quỹ đạo trong biểu diễn đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie 7-chiéu đang xét.

Sau đó, chứng minh mỗi họ các K-quỹ đạo chiều cực đại ở vị trí tổng quát (K-quỹ đạo tổng quát) đang xét hình thành một phân lá đo được theo nghĩa của Connes và đưa ra phân loại tôpô của tất cả các phan lá thu được, đồng thời, mô tả C*-dai số Connes của chúng. NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN AN a. Kết quả liên quan đến bài toán phân loại các đại số Lie giải được: - Phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiéu (n > 3) không lũy linh bậc 2 với ideal dẫn xuất 2-chiều. - Phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều là 95,2 = span{X1, Xa, X3, X4, X5: [X1, Xa] = X4, [X1, X3] = X5} và gs4 = span{X1, Xa, Xã, X4, X5: [X1, X2] = X3, [X1, X3] = Xa, [X1, X4] = X5} (theo kí hiệu của Dixmier).

Kết quả liên quan đến tính chất hình học các K-quỹ đạo chiều cực đại của nhóm Lie giải được: - Mô tả bức tranh các quỹ đạo đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie giải được 7-chiều đã được phân loại. - Đối với mỗi nhóm Lie được xét, chứng minh được rằng mỗi họ K- quỹ đạo tổng quát tạo thành một phân lá đo được (theo nghĩa của Connes), đồng thời, phân loại tôpô của tất cả các phân lá thu được và mô tả không gian lá của chúng. Cuối cùng, mô tả C*-đại số Connes của các kiểu phân lá nhận được. CÁC UNG DUNG/KHA NANG UNG DUNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU - Mô ta bức tranh các K-quỹ dao chiều cực dai của tat cả các nhóm Lie giải được 7-chiều còn lại.

Xét xem họ các K-quỹ đạo này có hình thành nên một phân lá đo được theo nghĩa của Connes hay không? - Các kết quả và cách tiếp cận trong luận án có thể được sử dụng vào nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thuộc lớp Lie(n, k),k > 3. THESIS INFORMATION Thesis title: Some classes of special solvable Lie algebras and geometry of K-orbits of corresponded connected, simply connected Lie groups Speciality: Algebra and Number theory Code: 9460104 Name of PhD Student: Nguyen Thi Mong Tuyen Academic year: 2018 Supervisor: 1. Le Anh Vu 2. Trinh Thanh Deo At: VNUHCM - University of Science.

SUMMARY In this thesis, we study the problem of classifying n-dimensional real solvable Lie algebras that are not 2-step nilpotent and have 2-dimensional derived ideals, and the problem of classifying 7-dimensional indecompos- able real solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals that are g;5 and g;¿ (in Dixmier’s notation [18]). From these results, we descript the picture of the maximal-dimensional orbits of the coadjoint representation (K-orbits) of all considered Lie groups. Afterward, we prove that, for each considered group, the family of the generic K-orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes [15] and the topological classification of all these foliations, at the same time, their Connes’ C*-algebras are described. NOVELTY OF THESIS a.

The results relating to the problem of classifying solvable Lie algebras: - Classifying n-dimensional (n > 3) real solvable Lie algebras that are not 2-step nilpotent and have 2-dimensional derived ideals. - Classifying 7-dimensional indecomposable real solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals g;» = span {X,, Xo, X3, X4, X35: [X1, Xa] = X4, [X4, 3] = X;} and 95,4 = span {X, Xo, X3, Xa, Xs: [X1, X9| = X3, [X1, Xa] = X4, [X1, Xi => X;}, respectively. The results relating to the geometry of maximal-dimensional orbits of solvable Lie groups: - Describe the picture of maximal-dimensional K-orbits of all con- nected, simply connected Lie groups corresponding to the consid- ered 7-dimensional real solvable Lie algebras above. - Prove that, for each considered group, the family of the generic K- orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes, at the same time, the topological classification of all these foliations is also provided.

Finally, their Connes’ C*-algebras are described.