Phương pháp giải một số bài toán cân bằng đơn điệu luận án tiến sĩ

Tóm tắt Luận án này dành nghiên cứu một số bài toán cân bằng đơn điệu. Luận án gồm bốn chương chính. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích lồi trong không gian Hilbert và một số kết quả bổ trợ để dùng chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự hội tụ của các thuật toán trong những chương sau. Chương 2 trình bày một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh và ba thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh với đánh giá về tốc độ hội tụ của từng thuật toán qua những ví dụ cụ thể.

Chương 3 trình bày một thuật toán giải bài toán cân bằng mà ở đó song hàm cân bằng của bài toán được phân tích thành tổng của hai hàm khác. Phần này có trình bày một ví dụ chạy số tìm điểm cân bằng Nash trong mô hình độc quyén Cournot dé minh họa cho thuật toán và một ví dụ so sánh hiệu năng của thuật toán đề xuất với thuật toán đã có trước đó. Chương 4 trình bày một thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp với bài toán cấp dưới là tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn. Cùng với đó là ba trường hợp riêng được xét khi các bài toán cấp dưới là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh ngược, bài toán cân bằng đơn điệu và bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại.

Phần cuối là một ví dụ số áp dụng giải bài toán Lasso. Abstract This thesis study the existence and algorithms for some classes of monotone equilibrium problems. The thesis consists of four chapters. In Chapter 1, we recaal some basic concept of convex analysis in Hilbert space and some results that will be used to prove the solution-existence and the convergence of algorithms for equilibrium in next chapters.

In Chapter 2, we show a solution-existence result and three algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems. In Chaoter 3, we propose a splitting algorithm for equilibrium problems where the bifunction is the sum of two ones. We then apply the proposed algorithm to solve a differentiated jointly constrained Cournot-Nash equilibrium model and premilinary computational result for comparison the proposed algorithm with the other ones. In Chapter 4, we propose an algorithm for solving strongly monotone equi- librium problems over the common fixed point set of nonexpansive mappings.

We apply the proposed algorithm to equilibrium problems with co-coercive vari- ational inequalities and monotone equilibrium constraints as well as maximal monotone inclusions. Some preliminary computational results for Lasso prob- lem are reported. Lời cam đoan Toi xin cam doan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên cứu viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Phùng Minh Đức Lời cảm ơn Lời đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu và PGS.TS Nguyễn Văn Quý, những người thầy đã nghiêm túc, tận tình hướng dẫn, dạy bảo cho tác giả những kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và sáng tạo, giúp tác giả hoàn thành tốt luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn T8 Lê Xuân Thanh và T8 Vũ Tiến Dũng đã giúp tác giả thực hiện các chương trình chạy ví dụ số minh họa trong luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo Sau Đại học cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên Viện Toán học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh ở đây. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các Phòng Ban, Đoàn thể cùng các thầy cô giáo của Trường Cao đẳng Kỹ thuật Trang thiết bị Y tế đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình làm nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và những người thân trong gia đình, đặc biệt là cha mẹ và vợ, đã động viên, giúp đỡ và đồng hành cùng tác giả trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh cũng như thực hiện luận án này. Nghiên cứu sinh Phùng Minh Đức Mục lục Mở đầu |.Ặ 222 1 Chương 1|Kiến thức chuẩn bị|.1lCác khái niệm cơ bản|.2lMột số kết quả bổ trợi.3lKết luận chương|.- 30 Chương 2|Các thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh|.1Sự tồn tại nghiệm|.2ÌThuật toán và tốc độ hội tụ|.|Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính].cc ee sececeeeueueeeeeeueeee 37 2. |Thuật toán với hệ số hiệu chỉnh không phụ thuộc điều kiện kiểu Lipschitz|.|Thuật toán dưới vi phân xấp xỉ cho song hàm không cần điều kiện kiểu Lipschitz{.3lKết luận chương|.- 46 Chương 3|Thuật toán tách cho bài toán cân bằng|.1CThuật toán và sự hội tụi.2kTính toán thử nghiệm|.3lKết luận chương|.- 66 Chương 4|Thuật toán song song cho bài toán cân bằng trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn|.1HFhuật toán và sự hội tụ|.2ÌMột số trường hợp riêng|.3ÌKết luận chương|.-- 83 'Tài liệu tham khảo|.-- 89 Danh mục các ký hiệu In 72 In 2 dom f f(©) graf epif levee f Khong gian Hilbert. tập số thực.

tập số tự nhiên. tích vô hướng trong 2í. khoảng cách giữa hai phần tử trong ?(. họ tất cả các tập con của tập C.

khoảng cách từ một điểm đến một tập C trong H. ánh xạ chiến lên một tập hợp C. nón pháp tuyến của Œ tại x. đãy {z„} hội tụ mạnh đến z.

dãy {z„} hội tụ yếu đến z. miền hữu hiệu của hàm ƒ. tập giá trị của hàm ƒ trên tập Œ. đồ thị của hàm ƒ.

trên đồ thị của hàm ƒ. tập mức dưới của ƒ tại €. LƠ dom#' graF' dn(A,B) miny f arg miny f ming f arg ming f FixT O giới hạn dưới của dãy {a,}. giới hạn trên của dãy {a,}.

đạo hàm của ƒ tại + theo hướng g. dao ham Fréchet cua ƒ tại x. dưới vi phân của ƒ tại x. cdưới vi phan cua f tai x.

dudi vi phan duong chéo cua f tai x. cdưới vi phân đường chéo của ƒ tại x. hàm chỉ của tập Œ. miền xác định của ánh xạ đa trị F.

đồ thị của ánh xạ đa trị F. khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và Ö. giá trị cực tiểu của hàm ƒ trên toàn không gian. tập các điểm cực tiểu của hàm ƒ trên toàn không gian.

giá trị cực tiểu của hàm ƒ trên tập C tập các điểm cực tiểu của hàm ƒ trên tập C. tập điểm bất động của ánh xạ 7. kết thúc chứng minh. Lý do chọn đề tài Thuật ngữ "cân bằng" đã từ lâu được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học như vật lý, hóa học, sinh học, kỹ thuật, kinh tế ., dưới nhiều hình thức khác nhau, tùy thuộc vào các mô hình toán học khác nhau.

Đó có thể là trong các cấu trúc vật lý hay cấu trúc cơ học |38|, trong các quá trình phản ứng hóa học [14|, trong sự điều tiết giao thông bởi hệ thông máy tính và mạng truyền thông [B1], trong nhiều bài toán kinh tế như bài toán về sự canh tranh [30|, mô hình kinh doanh bán độc quyền Nash-Cournot [0|, bài toán cung cầu |T0| hay mô hình trò chơi không hợp tác của Nash [r2 73]. Trong khuôn khổ của luận án này, bài toán cân bằng được phát biểu như sau: Tìm #” € € sao cho ƒ(+”,) > 0, Vụ € Œ, (EP) trong đó C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong khéng gian Hilbert H, f:CxC —= R là một song hàm thỏa mãn ƒ(#,#) = 0 với mọi # € C, được gọi là song hàm cân bằng. Tập nghiệm của bài toán (1P) được ký hiệu là (9P). Bất đẳng thức trên lần đầu được dùng bởi Nikaido và Isoda cho bài toán trò chơi bất hợp tác năm 1955 [74|.

Năm 1972, Ky Fan |ðỗ| gọi bài toán (EP) là bất đẳng thức minimax và thiết lập một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán này cho trường hợp tập ràng buộc Œ là lồi com-pắc. Ngay trong năm đó, Brézis H. [21] đã mở rộng kết quả của Ky Fan cho trường hợp tập ràng buộc chỉ là lồi đóng. Thuật ngữ "Bài toán cân bằng" được sử dụng lần đầu tiên trong bài báo cua Le D.

Muu va Oettli W. Trong bai báo này cùng với bai sau dé cua Blum E. nam 1994 [20], cdc tac gia da trinh bày những kết quả về mối liên quan giữa bài toán cân bằng với một số bài toán khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash. Dưới đây là một số trường hợp riêng quan trọng của bài toán cân bằng (EP).

Đài toán tối wu: (OP) Tim x* € C lam cuc tiéu ham ¢: C > R. Bang cách đặt f(x,y) = oy) — 92), khi đó 2* 1a nghiém cia (OP) khi va chi khi né 1a nghiém ctia (EP). Bài toán bất đẳng thúc biến phân: Cho ánh xa F : C > H. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tim x* € C sao cho (F(2*),y — 2*) >0, Vụ € C.

(VIP) Bằng cách đặt ƒŒ,U) = W),u= #®); thi (VIP) tuong đương với (FP) theo nghĩa tập nghiệm của hai bài toán này là trùng nhau. Bài toán bất đẳng thúc biến phân đa trị: Cho P`: Ở —y 2 là một ánh xạ đa trị, với F'(z) com-pắc, lồi và khác rỗng với mọi z € Œ. Khi đó bài toán Tìm z” € C,u* € F(2*) sao cho (u*,y— 2*) > 0, Vye C, (MVIP) tương đương với bài toán (⁄P) mà ở đó ƒ(,) = max{(u, 1U — +)|u € F()}. Chú ý rằng bài toán cân bằng, với điều kiện là ƒ(+,.) lồi, khả dưới vi phân trên Œ với mỗi z € Œ, thì có thể chuyển bài toán cân bằng về bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị của ánh xạ cho bởi F(x) = of (zx, 2).

Tuy nhiên một hàm lồi có thể không khả dưới vi phân ngay tại những điểm thuộc miền hữu hiệu của nó, và khi đó việc đưa bài toán cân bằng về bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị có tương đương nữa hay không vẫn còn là câu hỏi mở. Bài toán điểm tên ngựa: Cho Tí, ?ía là hai không gian Hilbert, ƠI C ?(¡, Ca C ?í¿ là các tập đóng. Một điểm #* = (z†, zš) € Œ¡ x Œ;› được gọi là điểm yên ngựa của hàm Ƒ : C, x Œs — IR nếu nó thỏa mãn L(1,1a) S L(œ1,3š) < L(y, 23), Vy = (yi, yo) € Ci x C2.