Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh la tiến sĩ

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả Hà Thị Thu Hiền Lời cám ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy tôi, GS.

Ngo Việt Trung. Thầy đã dạy cho tôi kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu và luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong mọi mặt. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc của mình đến Thay. Tác giả xin chân thành cám ơn TS.

Hà Minh Lam, người đã giúp đỡ cho tác giả rất nhiều trong nghiên cứu và đặc biệt đóng góp những ý kiến quý báu cho Luận án. Tác giả trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm đào tạo sau đại học và các phòng chức năng đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tác giả học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học. Đặc biệt, tác giả chân thành cảm ơn ŒGS. Lê Tuấn Hoa và GS.

Nguyễn Tự Cường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả được tham gia các sinh hoạt khoa học tại phòng Dại số của Viện Toán học và tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. Trong quá trình học tập, tác giả cũng đã nhận được sự giúp đỡ và động viên của các nghiên cứu viên và các nghiên cứu sinh của phòng Đại số. Tác giả xin chân thành cám ơn. Cuối cùng tác giá xin bày tó lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của mình, những người luôn yêu thương và mong mỏi tác giả ngày một tiến bộ.

Tac gia Ha Thi Thu Hién 1 Bão hòa của iđêan đơn thức 11 lđêan đơn thức .2 Đối đồng điều địa phương. Iđêan nguyên tố liên kết và địa phương hóa. 2_ Đặc trưng Emb(7°) 2.4 Dặc trưng iđêan nguyên tố liên kết.5 Dặc trưng tậpổn định. 3 Trường hợp ¿= 2,3,4 3.1 Trường hợp #2.2 Trường hợpf3Ä.

4_ Về tính giảm của depth R/Ƒ 4.1 Diều kiện để depth/i/Hf—1. 42_ Trường hợp depthf/I=1. Trường hợp depthl/I =1. 12 15 20 20 23 26 35 40 Kết luận Tài liệu tham khảo 82 84 Mở đầu Một trong những hướng phát triển gần đây của Đại số giao hoán là Đại số giao hoán Tổ hợp.

Nền tảng cho sự hình thành và phát triển của hướng này là chứng minh của Stanley nim 1975 cho gia thuyét về chặn trên (Upper Bound Conjecture) đối với đơn hình cầu. Tuy ra đời gần đây nhưng Đại số giao hoán Tổ hợp đã phát triển tương đối nhanh và đạt được những thành tựu đáng kể. Một số vấn đề trong Tổ hợp có thể chuyển thành các vấn đề trong Dại số rồi sau đó ta có thể sử dụng các kỹ thuật và phương pháp của Dại số để đưa ra lời giải cho bài toán ban đầu. Tương tự, người ta cũng có thể nghiên cứu một số cấu trúc đại số bằng các phương pháp tổ hợp.

Mục đích của luận án là nghiên cứu vấn đề sau đây của Dại số giao hoán Tổ hợp. Cho F la vanh Nocther va J la idéan cia R. Trong [1] va [2], Brodmann đã chỉ ra rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết của 7! ổn định với ? đủ lớn, tức là tồn tại số nguyên dương fạ¿ sao cho Ass(ƒf) = Ass('°) với mọi t > to. Số tạ nhỏ nhất sao cho điều trên xảy ra được gọi là chi số ổn dinh cia Ass(I*) và được ký hiệu bởi astab(7).

Vì vậy người ta quan tâm đến vấn đề xác định tập Ass(T) và ước lượng giá trị astab(1). Nếu T7 là một iđêan tùy ý thì rất khó giải quyết vấn đề trên. Do đó người ta thường tập trung vào các iđêan có thêm các câu trúc tố hợp [5], [7], [8], [10], [11], [23], [29]. Ở đây chúng tôi xét lớp iđêan cạnh của đồ thị và tìm cách đặc trưng tập Ass(J*) thông qua các tính chất tổ hợp của đồ thị.

Cho đồ thị I' trên tập đỉnh V = {I1,.,n}, ta liên kết với I' idéan 1) := (se; I2} eT) trong vành đa thức mœ biến Ï := k|zi,.,z„] trên một trường È tùy ý. Ta gọi 7(L) là iđêan cạnh của T. Mọi iđêan nguyên tố liên kết của một iđêan đơn thức đều sinh bởi 3 tập con của tập các biến. Ta có thể ký hiệu các iđêan này dưới dạng Pp := (x; |i € PF), trong đó PC {1,.

Đối với lũy thừa của một iđêan cạnh 7 thì FƑ' phải là phủ đỉnh của đồ thị. Dac biệt, các idéan nguyên tố liên kết tối tiểu ứng với các phủ tối tiểu. Do đó ta chỉ cần quan tâm tới các iđêan nguyên tố liên kết không phải là tối tiểu. Để thuận tiện ta gọi các iđêan nguyên tố liên kết không tối tiểu của j! là iđêan nguyên tố nhúng của ƒf và ký hiện Emb(7?) là tập tất cả các iđêan đó.

Cho I = I(T) 1a idéan canh cia dé thi T. Simis, Vasconcelos va Villarreal [25] d& chi ra ring Emb(J') = @ véi moi t khi va chi khi I không có chu trình lẻ. Nếu T' có chu trình lẻ thi Chen, S. Sung [ð] đã xây dựng thuật toán xác định các iđêan nguyên tố nhúng của Tf với † đủ lớn.

Trong [20Ì, Martinez-Bernal, Morey và Villarreal đã chỉ ra rang Ass(I‘) C Ass(JT!) với mọi t. Gần đây, tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của một iđêan đơn thức không chứa bình phương đã được nghiên cứu bởi Ha và Morey [10|, Francisco, Ha va A. Tuy nhiên các kết quả đó khi áp dụng cho iđêan cạnh thì không thể đưa ra mô tả tường minh cho các iđêan nguyên tổ nhúng của J*. Với t = 2, Terai va Trung [28] đã đưa ra một đặc trưng tổ hợp cho tập các iđêan nguyên tố nhúng.

Họ chỉ ra rằng Pg € Emb(7?) khi và chỉ khi #' là tối tiểu trong các phủ chứa lân cận đóng của một tam giác. Một kết quả yêu hơn đã được tìm thầy độc lập bởi hai tác giả Herzog và Hibi [12] cho trường hợp 7z là iđêan thuần nhất cực đại. Luận án nghiên cứu vấn đề đặc trưng tổ hợp các iđêan nguyên tố liên kết g € Emb(??) với một giá trị t > 3 cố định. Kết quả chính của luận án là một số điều kiện cần hoặc đủ (hoàn toàn tổ hợp) để Pr € Emb(J/').

Trong trường hợp # — 2,3,4 chúng tôi phân loại hoàn toàn dạng các iđêan nguyên tố nhúng của ï“. Qua đó, ta có thể mô tả tường minh tập ổn định Ass*(7) và ước lượng được chỉ số ổn định astab(T). Các kết quả trên còn được sử dụng để nghiên cứu tính giảm của hàm depth. Sử dụng kỹ thuật địa phương hóa chúng tôi chuyển vẫn đề trên về bài toán khi nào m := (z¡,.

Ký hiệu T là bão hòa của J!, Để giải quyết bài toán này, ta chỉ cần tìm điều kiện cho sự tồn tại một đơn thức z2 € ft \ Ƒ với a = (m,. Ý tưởng của chúng tôi là biểu diễn đơn thức z* bởi đồ thị có trọng Fạ thu được từ đồ thị cảm sinh của Ï' trên tập đỉnh W4 := {¿ | a; > 0} bang cách gán cho mỗi đỉnh i € Va trong a;. Két quả đầu tiên chúng tôi thu được là điều kiện tổ hợp trên đồ thị có trọng Ứạ tương đương với điều kiện x? € Tr \ 7# (Định lý 2. Từ điều kiện tổ hợp đó, ta có thể chỉ ra rằng mỗi đỉnh của tập V\ Vị kề với ít nhất một đỉnh của Vạ, mọi thành phần liên thông của đồ thị cảm sinh của ạ đều chứa ít nhất một chu trình lẻ có độ dai không vượt quá 2f — 1.

Đặc biệt chúng tôi nhận được chặn trên cho bậc của don thitc x, dé 1a deg x? < 3(t — 1) (Ménh dé 2. Sử dụng mô tả nói trên của các đơn thức trong It \ I’ ching tdi dac trưng được điều kiện Pr € Emb(J*) thong qua sự tồn tại của một loại đồ thị có trọng được gọi là ï-bão hòa (Định lý 2. Từ đây chúng tôi chứng minh được nếu Pe € Emb(/‘) thi F 1a téi tiéu trong số các phủ của Ï` chứa lân cận đóng của tập U € V thỏa mãn điều kiện mọi thành phần liên thông của Dy chứa ít nhất một chu trình lẻ có độ dài không quá 2£ — 1 (Định lý 2. Tuy nhiên điều kiện này không phải là điều kiện đủ.

Với ý tưởng tương tự, chúng tôi đã đưa ra một điều kiện đủ để Pp là iđêan nguyên tố nhúng của ƒf (Định lý 2. Điều kiện này chỉ phụ thuộc vào sự tồn tại của một loại đồ thị có trọng trên Ï' mà chúng tôi gọi là đồ thị /-bão hòa mạnh. Hơn nữa chúng tôi còn chứng tỏ được rằng điều kiện cần trong Định lý 2.2 cũng đồng thời là điều kiện đủ để Tp € Ass°(1) (Hệ quả 2. Phương pháp của chúng tôi đưa ra một đặc trưng đơn giản hơn cho tập Ass°(ƒ) và một chặn trên tốt hơn cho asuab(7) so với kết quả của Chen, Morey và Sung [5] (Hệ quả 2.

Dối với các lũy thừa IÍ với + = 2,3,4, chúng tôi đưa ra phân loại day đủ cho các đồ thị /-bão hòa. Từ đó chúng tôi dé dàng nhận lại được kết ou quả của Terai-Trung [28] va Herzog-Hibi [12] vé tập Emb(72) (Định lí 3. Với trường hợp £ = 3, chúng tôi phân loại được các iđêan nguyên tố của Emb(T?) như sau: Pz là iđêan nguyên tố nhúng của ïỶ khi và chỉ khi Ƒ' là tối tiểu trong số các phủ của I' chứa lân cận đóng của một tập đỉnh U thỏa mãn đồ thị cảm sinh Ty của I' được căng bởi một trong các dạng: một tam giác, hợp của một cạnh và một tam giác giao nhau tại một đỉnh, hợp của hai tam giác không kề nhan, hợp của hai tam giác giao nhau tại một đỉnh, một ngũ giác. Với trường hợp # = 4, chúng tôi cũng đặc trưng được eụ thể 21 dạng đồ thị tương ứng với các iđêan nguyên tố liên kết của Emb(7#) (Định lý 3.

Cuối cùng, sử dụng các kết quả nhận được chúng tôi nghiên cứu tính giam ttt depth R/I' sang depth R/Jf*!. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng nếu I' không là một đồ thị hai phần thi depth R/J = 1 kéo theo depth #/T? = 0 (Dịnh lí 4. Tuy nhiên, khẳng định tương tự như trên với > 2 không còn đúng nữa. Với = 2, chúng tôi chứng minh rằng nếu T' không là đồ thị hai phan va depth R/I? = 1 thi depth R/1° = 0 (Dinh ly 4.

Mat khac, néu depth R/J?