Luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI CAO VÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI CAO VÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62. 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. NGUYỄN HỮU QUANG PGS. KIỀU PHƯƠNG CHI VINH - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.

Nguyễn Hữu Quang và PGS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác. Tác giả Bùi Cao Vân ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.

Nguyễn Hữu Quang và PGS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS. Nguyễn Hữu Quang và PGS.

Kiều Phương Chi, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, đặc biệt là tổ Hình học, Trường Đại học Vinh đã trang bị cho tác giả những kiến thức cần thiết để hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh cũng như hoàn thiện luận án.

Trong quá trình học tập và thực hiện luận án, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành chương trình. Tác giả xin gửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh vì những giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Bùi Cao Vân 1 MỤC LỤC Mục Lục 1 Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 2 Mở đầu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann .2 Liên thông trên đa tạp Riemann .3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân .4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann. Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp 28 2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie .3 Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng .4 Đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc. Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng 72 3.1 Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết .2 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng.

83 Kết luận chung và kiến nghị 97 Danh mục công trình 99 Tài liệu tham khảo 100 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Tên gọi M Đa tạp Riemann n−chiều (U, x) Bản đồ của M hoặc M c Mc Đa tạp phức n−chiều Tp M Không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M Vk (Tp M ) Không gian k−dạng tuyến tính, phản xứng B(M ) Không gian các trường véctơ trơn trên M F(M ) Không gian các hàm trơn trên M Fc (U ) Không gian các hàm trơn và suppf là tập con com- pact trong U D(U ) Không gian các phân bố trên U có giá compact k Ω (M ) Không gian các k−dạng vi phân trơn trên M k Ωc (M ) Không gian k−dạng vi phân trơn có giá compact k D (M ) Không gian các k−dòng có giá compact trên M k Ω (M ) e Không gian các k−dạng suy rộng trên M (p,q) Ω (M , C) Không gian các dạng vi phân song bậc trên M c c Ωk (M, F ) Không gian các k−dạng vi phân với giá trị trong không gian định chuẩn F trên M c O(M ) Không gian các hàm chỉnh hình trên M c (1,0) Bhol (M c ) Không gian các trường véctơ chỉnh hình trên M c Ωphol (M c ) Không gian các p−dạng chỉnh hình trên M c D(p,q) (M, C) Không gian các dòng song bậc (p, q) trên M c N(M ) Không gian các trường véctơ pháp dạng khả vi trên đa tạp con Riemann M ∇ Liên thông Levi-Civita của M ∇ e Liên thông Levi-Civita củaM f ∇⊥ Liên thông pháp dạng của M R Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp con Riemann M R e Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp RiemannM f R⊥ Độ cong pháp dạng của đa tạp con Riemann M £X Đạo hàm Lie của dòng LX Đạo hàm Lie của dạng vi phân hoặc dạng suy rộng 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán học hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiên cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen ([47]). Đây là lĩnh vực đã và đang được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.

Phép đạo hàm Lie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong chính, độ cong Ricci của đa tạp Riemann. Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìm nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệ Hamilton. Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô.

Từ cuối những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứng dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ động lực. Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu của k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu của A. Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp đó.

Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Mặc dù cho đến nay đã có nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu hút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các đạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37]). Trong trường hợp riêng, đạo 4 hàm Lie được sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp.

Trong những năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K. Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp, đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của dòng và liên thông". Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông. nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một số ứng dụng của chúng.

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông và ứng dụng của chúng. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann, lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quá trình thực hiện đề tài. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như: Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân 5 ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng.

nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.

Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm này xuất hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực. và các ngành: Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật.

Lý thuyết liên thông là một trong những công cụ cơ bản của hình học Riemann và được trình bày trong các tài liệu ([22], [24]). Đến những năm cuối của thế kỷ 20, cùng với sự phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré.