Luận án: Dáng điệu nghiệm của một số lớp phương trình tiến hoá không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN VĂN TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. Trần Đình Kế HÀ NỘI, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Trần Đình Kế. Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì luận văn, luận án nào khác.

Nghiên cứu sinh Trần Văn Tuấn i LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Trần Đình Kế. Nhân dịp này, tác giả xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy. Thầy không những hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn cả những điều thật quý báu trong cuộc sống.

Sự động viên tin tưởng của Thầy là động lực chính giúp tác giả hoàn thiện luận án này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy, cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập, và nghiên cứu. Đặc biệt, tác giả xin cũng chân thành cảm ơn các giáo sư, các nhà khoa học, các chuyên gia, các anh chị em và các bạn bè đồng nghiệp vì những trao đổi, góp ý quý báu về chuyên môn trong những buổi xêmina tại các Xêmina Giải tích, khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Xêmina Phương trình vi phân và tích phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo và các Phòng ban Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Lời cảm ơn cuối cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn ở bên, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả Trần Văn Tuấn ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN. ii MỤC LỤC. 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN.

Lí do chọn đề tài. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu. Kết quả đạt được của luận án.

Cấu trúc của luận án. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Một số không gian hàm. Giải tích phân thứ.

Phép biến đổi Laplace. Độ đo không compact và các ước lượng. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động. Lí thuyết nửa nhóm.

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân phân thứ. Phương trình tích phân Volterra. DÁNG ĐIỆU NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG NỬA TUYẾN TÍNH. Dáng điệu nghiệm trong thời gian hữu hạn của phương trình dưới khuếch tán.

Đặt bài toán. Sự tồn tại nghiệm tích phân. Tính hút trong thời gian hữu hạn. Dáng điệu nghiệm trong thời gian hữu hạn của phương trình tiến hoá loại Basset.

Đặt bài toán. Biểu diễn nghiệm của bài toán tuyến tính. Sự tồn tại nghiệm tích phân. Tính hút trong thời gian hữu hạn.

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ LOẠI RAYLEIGH-STOKES NỬA TUYẾN TÍNH. Đặt bài toán. Biểu diễn nghiệm của bài toán tuyến tính. Tính giải được và tính ổn định nghiệm.

Sự tồn tại nghiệm phân rã. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN PHÂN THỨ. Đặt bài toán. Tính giải được.

Tính duy nhất và tính ổn định. 105 2 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 110 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ. 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO.

113 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Không gian Euclid N chiều Ω Miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω C k (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong miền Ω Lp (Ω) Không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc p trong miền Ω L∞ (Ω) Không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω Lploc (Ω) Không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phương bậc p trên Ω D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm f (t) RL D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm f (t) D(A) Miền xác định của toán tử A ρ(A) Tập giải của toán tử A σ(A) Tập phổ của toán tử A L(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y L(X) Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X vào chính nó K(X) Không gian các toán tử compact từ không gian Banach X vào chính nó Br (x0 ) Hình cầu đóng tâm tại điểm x0 , bán kính r trong không gian Banach X Br Hình cầu đóng tâm tại điểm gốc, bán kính r trong không gian Banach X MNC Độ đo không compact k · kop Chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn trên X FrDE Phương trình vi phân phân thứ NDE Phương trình vi phân không địa phương 4 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu và lí do chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (NDE) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi là đạo hàm “có nhớ ”). Một trong các lớp NDE tiêu biểu là lớp NDE dùng để mô tả các quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion)
∂t k ∗ [u − u(0)] = ∆u, (1) trong đó u = u(x, t) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, ‘*’ là kí hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian. Lớp NDE này đã và đang nhận được quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học.

Có thể kể ra một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán dị thường trong các công trình [44, 45, 68, 83]. Trong trường hợp đặc biệt khi t−α k(t) = g1−α (t) = , t > 0, α ∈ (0, 1), (2) Γ(1 − α) phương trình (1) chính là phương trình dưới khuếch tán, là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) còn được gọi là phương trình vi phân phân thứ (FrDE). Có thể thấy FrDE là mô hình tiêu biểu của NDE, hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự.

FrDE là hướng nghiên cứu của giải tích phân thứ được đề xuất nghiên cứu vào năm 1695 bởi Leibniz và Euler sau đó được phát triển bởi nhiều nhà toán học như Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, và Riesz,. Trong vài thập kỷ trở lại đây, người ta đã tìm 5 thấy rất nhiều ứng dụng của giải tích phân thứ nói chung và FrDE nói riêng trong các ngành khoa học công nghệ, chẳng hạn như các bài toán liên quan đến điện hóa học, lưu biến học, vật liệu xốp, vật liệu đàn hồi, vật liệu fractal,. Chi tiết một số bài toán mô tả bởi FrDE có thể tìm thấy trong các cuốn sách chuyên khảo (xem [31, 72, 74, 77]). Phạm vi ứng dụng ngày càng rộng của FrDE đã thúc đẩy nhiều nghiên cứu định tính trong những năm gần đây.

Một trong những vấn đề trung tâm trong lí thuyết định tính phương trình vi-tích phân là nghiên cứu dáng điệu nghiệm. Trong phạm vi của luận án này, dáng điệu nghiệm của NDE bao gồm các câu hỏi về dáng điệu nghiệm trong thời gian hữu hạn, tính ổn định nghiệm và nghiệm phân rã. Trong khoảng hai thập kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu tính ổn định nghiệm đối với FrDE trong không gian hữu hạn và vô hạn chiều đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trong và ngoài nước. Với các FrDE trong không gian hữu hạn chiều, bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm đã đạt được nhiều kết quả cơ bản và có tính hệ thống.

Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE đã được đề xuất trong [49] bởi Lakshmikantham. Sau đó, phương pháp này được áp dụng để nghiên cứu tính ổn định cho nhiều lớp FrDE như: FrDE chứa xung [1], phương trình vi phân hàm phân thứ [76],. Các điều kiện ổn định cho FrDE tuyến tính thông qua số mũ Lyapunov phân thứ được thiết lập trong [21], và ổn định tuyến tính hoá cho FrDE nửa tuyến tính được nghiên cứu trong [22]. Thêm vào đó, sử dụng một vài công cụ khác như bất đẳng thức kiểu Gronwall, nguyên lí so sánh hay hàm ma trận Mittag-Leffler, các tác giả đã thu được các kết quả về ổn định trong thời gian hữu hạn [47, 50, 51, 92].

Không giống như FrDE trong không gian hữu hạn chiều, việc nghiên cứu tính ổn định cho FrDE trong không gian vô hạn chiều gặp nhiều khó khăn. Trên thực tế, vì cấu trúc vô hạn chiều của không gian pha, kéo theo 6 các tính toán đối với đạo hàm phân thứ trên phiếm hàm Lyapunov khó thực hiện, nên việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho FrDE không khả thi. Chính vì thế kết quả về tính ổn định của nghiệm đối với các FrDE trong không gian vô hạn chiều còn ít được biết đến. Do đó, để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE trong không gian vô hạn chiều ta cần tìm một cách tiếp cận mới.

Gần đây, trong công trình [19] các tác giả đã nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov đối với một lớp phương trình tán xạ-sóng nửa tuyến tính chứa xung và trễ hữu hạn bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động. Trong [5] các tác giả đã thiết lập sự tồn tại nghiệm phân rã kiểu đa thức cho một lớp FrDE trung tính chứa trễ vô hạn bằng cách sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén. Một số kết quả khác về tính giải được, tính ổn định tiệm cận, và sự tồn tại nghiệm phân rã cho FrDE trong không gian vô hạn chiều ta có thể tham khảo các công trình [6, 41, 85, 90].