Luận án tiến sĩ: Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric - TS Trần Đức Thành (ĐH Vinh)

1 MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu. 3 1 Điểm bất động của một số ánh xạ T -co suy rộng trong không gian mêtric 12 1. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric.

Điểm bất động chung của các ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. 29 2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng 39 2. Không gian mêtric riêng. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng.

Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng. 65 3 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng dụng 82 3. Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. ´Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi tuyến.

´Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. 97 Kết luận và kiến nghị. 103 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án. 105 Tài liệu tham khảo.

Lý do chọn đề tài 1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến.

Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực. Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động có thể được chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời rạc.

Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo 3 vấn đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng các định lý điểm bất động đã biết lên các không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của chúng. Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những lớp ánh xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]), Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy - Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14]).

Ngoài ra, người ta còn đề xuất thêm những loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co. Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đã đề xuất các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric. Đặc biệt, năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng.

Sau đó, các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần đây, người ta rất quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng của chúng. Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động mêtric, ngoài những ứng dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn của các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ thuật. Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau.

Những vấn đề trên đang thu hút khá đông những người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết. 5 Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng". Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian mêtric riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng, một số lớp phương trình tích phân. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng.

Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số 6 lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng. Tổng quan và cấu trúc luận án 7. Tổng quan luận án Năm 2010, S.

Omid ([47]) đã đề xuất lớp ánh xạ T -co và thu được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của chúng. Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(T Sx, T Sy) 6 kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X. Khi T x = x với x ∈ X thì ánh xạ T -co trở thành ánh xạ co thông thường.

Sự xuất hiện của lớp ánh xạ T -co đã thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric. Với mục đích nghiên cứu các định lý điểm bất động của các ánh xạ dưới điều kiện T -co suy rộng, trong Chương 1, chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu T -co.1, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler. Cụ thể, chúng tôi chứng minh Định lý 1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ.2, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.6 và Hệ quả 1.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ.3, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu.

Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.2 7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric. Chúng tôi cũng đưa ra Ví dụ 1.5 nhằm minh họa cho các định lý, cũng như để chỉ ra rằng các kết quả của chúng tôi là thực sự mở rộng so với các kết quả đã biết. Nếu chúng ta thực sự để ý thì sẽ thấy rằng không phải mọi tính chất, tiên đề của không gian mêtric đều được sử dụng trong các phép chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trên không gian mêtric. Câu hỏi đặt ra là: Với những không gian nào là không gian suy rộng hay tương tự không gian mêtric thì sẽ tồn tại điểm bất động của các loại ánh xạ co? Câu trả lời khẳng định đã có, đặc biệt gần đây là lớp không gian mêtric riêng.

Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) 6 d(x, y) với mọi x, y. Rõ ràng, với không gian mêtric riêng (X, p) thì có thể xảy ra trường hợp p(x, x) > 0 với x ∈ X .