Luận án tiến sĩ toán học: Điều khiển H∞ các hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên - Nguyễn Trường Thanh, ĐHQG Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Vũ Ngọc Phát và PGS. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Trường Thanh i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Vũ Ngọc Phát và PGS. Vũ Hoàng Linh, hai người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận án.

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Thầy đã hướng dẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v. Nhờ sự chỉ bảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học. Bên cạnh đó, Thầy luôn tạo điều kiện cho tôi được giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường nghiên cứu.

Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp giáo dục nước nhà. Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của PGS. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS. Vũ Hoàng Linh, PGS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận án. ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu.

Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. Đặc biệt, tôi thực sự cảm ơn sâu sắc tới những người thân của tôi: bố, mẹ, vợ và các con của tôi.

Họ luôn sát cánh bên tôi, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án. iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3 MỞ ĐẦU 5 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 16 1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa .1 Bài toán ổn định Lyapunov .2 Bài toán ổn định hóa .2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ .1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm .2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân .3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ .1 Bài toán ổn định hệ có trễ .2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ .4 Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển .2 Bài toán điều khiển H∞ .5 Một số bổ đề bổ trợ .6 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính. 33 2 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 37 2.1 Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến .2 Điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn .3 Kết luận Chương 2. 70 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 71 3.1 Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch .2 Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch .3 Kết luận Chương 3.

102 KẾT LUẬN 103 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R là tập các số thực R+ là tập các số thực không âm Rn là không gian Euclide n chiều Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r) n (x, y) = xT y là tích vô hướng trên Rn , xT y = P xi yi i=1 n 1/2 ||x|| là chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ R , ||x|| = n x2i P i=1 C([a, b], Rn ) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn với chuẩn kxkC = sup kx(t)k a≤t≤b C 1 ([a, b], Rn ) là không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn với chuẩn kxkC 1 = sup kx(t)k + sup kẋ(t)k a≤t≤b a≤t≤b I là ma trận đơn vị kích thước n × n Ii là ma trận đơn vị kích thước ni × ni ∗ các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận đối xứng AT là ma trận chuyển vị của ma trận A λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)} 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)} λA = λmax (AT A) A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0} F ∗ (s) là ma trận liên hợp của ma trận F (s) K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0 L2loc ([0, ∞), Rn ) là không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích trên các tập compact K của [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞ R K L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích R∞ trên [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞ 0 LMI là viết tắt của cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa là bất đẳng thức ma trận tuyến tính 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu có thể hiểu như sau Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và khi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu là nhỏ nhất. Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho một bài toán tối ưu của một hệ thống điều khiển trong thực tế đôi khi quá phức tạp, tốn kém, và thậm chí không cần thiết.

Chúng ta chỉ cần thiết kế các điều khiển gần đúng với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm bảo được tính ổn định và hiệu suất của hệ thống ở mức chấp nhận được. Đây là lí do cho sự ra đời của của các bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal). Từ lúc ra đời, lí thuyết điều khiển H∞ đã nhận được nhiều sự quan tâm [29, 52]. Tiện lợi của điều khiển H∞ là có thể sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu ra có nhiễu không mong muốn, mà chỉ bằng cách sử dụng các điều khiển cơ bản.

Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn. Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ thập kỉ 80 (thế kỉ 20) cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực, các quá trình công nghiệp và kĩ thuật. Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H∞ , như phương pháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61]. Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếp bởi Glover [20] và Francis [16].

Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứu này là chúng liên quan tới việc giải các phương trình Riccati có kích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.