Luận án tiến sĩ: Phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRAN NGỌC THẠCH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN CÓ YÊU TÔ NGAU NHIÊN LUẬN ÁN TIÊN SĨ TP. Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE TRAN NGOC THACH SOME DIFFUSION EQUATIONS WITH STOCHASTIC NOISE Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRAN NGỌC THACH MOT SO PHUONG TRINH KHUECH TAN CO YEU TO NGAU NHIEN Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS. Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS.

Nguyễn Dinh Huy Phản biện 3: PGS. Nguyễn Bích Huy NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. Nguyễn Huy Tuấn 2. Nguyễn Minh Quân TP.

Hồ Chí Minh - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, với dé tài "Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên" là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Huy Tuần và TS. Nguyễn Minh Quân. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bồ trong và ngoài nước.

Tập thể cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS. Nguyễn Huy Tuấn Trần Ngọc Thạch TS. Nguyễn Minh Quân LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS. Nguyễn Huy Tuan và TS.

Nguyễn Minh Quân, người đã luôn tận tình hướng dẫn, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thây cô Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phó Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức và giúp đỡ tôi rất nhiều. Xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm Khoa và quý phòng ban đã luôn ủng hộ, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Trường Đại học Tôn Đức Thắng, đặc biệt là quý thầy cô Khoa Toán - Thống kê đã luôn khuyến khích, động viên và tạo điều kiện tốt để tôi có thể an tâm trong việc học tập và hoàn thành luận án.

Đồng thời, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn trong nhóm nghiên cứu, các bạn nghiên cứu sinh ngành Toán Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã luôn đồng hành, giúp đỡ, hỗ trợ tôi. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tôi, nơi đã luôn ủng hộ, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận án. ii Mục lục Lời cảm ơn| ii [Trang thông tin luận án tiếng Việt vii Trang thông tin luận án tiếng Anh xii [Danh mục các Danh mục ký hiệu, các ký hiệu, các các chữ chữ viết viết tat tắt xvii 1 _ MỞ ĐÃ 1 Ly dochon dé tai]. 2 Mục đích nghiên cứu|.

Đối tượng nghiên cứu|. 4 Pham vinghiên cứu|.5 Phương pháp nghiên cứu .6_ Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài .1 Tình hình nghiên cứu trên thế giớ| .2_ Tình hình nghiên cứu trong nước|. iii Ê-3_ Mục tiêu nghiên cứu của luận án|.4_ Nội dung nghiên cứu của luận án|. 8 PH PHÁP NGHIÊN CÚ 16 Bi Phương pháp nghiên cứu|.1 Các phương pháp nghiên cứu|.1 Day trị riêng, vector riêng, không gian Hilbert scale, [ toán tử cấp không nguyên| ¬— eee 7 3.

Quá trình Wiener, chuyển động Brown phân thứ, tích phan Wiener|.5 Bài toán không chính|. KẾT QUA NGHIÊN CỨU VÀ PHAN TÍCH, DANH GIÁ, THẢO LUẬN 23 4.1 CHÍNH HÓA BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG | TRÌNH NHIỆT VỚI NHIÊU TRẮNG|.11 Cong thức nghiệm nhẹ|.2 Tinh không chỉnh của bài toán|.3 Kết quả chỉnh hóa cho bài toán|.- 34 iv 42 _ BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRINH | BI-PARABOLIC VỚI NHIÊU TRẮNG VÀ NHIÊU BROWN 4.1 Công thức nghiệm nhẹ và tính chat của các toán tử nghiệm| 38 Tính ton tại nghiệm của mỗi bài toán|.3 Tính không chỉnh của mỗi bài toán trên L^(O,H®)|.4 Kết quả chỉnh hóa cho mỗi bài toán| .3 BAI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH 4.2 Tính chỉnh của từng bài toán trong trường hợp ổ € (0,1Ì| 71 4.3 Tính không chỉnh của từng bài toán trong trường hợp TA Na 88 4.4 Kết quả chỉnh hóa cho Bài toán và Bài toán với h € (3,1) khi 8 > l1|. 97 44 BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRINH | KHUECH TAN PHAN UNG PHI TUYEN VỚI DAO HAM CAP KHONG NGUYEN VA NHIEU NGAU NHIEN).1 Công thức nghiệm nhẹ của từng baitoan|.2 Tính ton tại, duy nhất và chính quy hóa với dữ liệu đủ 4. Tính không chỉnh và kết quả chỉinhhóa|.4 Kết luận Mục|4.4 [5 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ 149 TÀI LIEU THAM KHẢO 152 [DANH MỤC CAC CÔNG TRINH CUA NCS| 173 vi TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên dé tài luận án: Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: TRẦN NGỌC THẠCH Khóa đào tạo: 2020 Người hướng dẫn khoa học: PGS.

NGUYỄN HUY TUẦN, TS. NGUYỄN MINH QUAN Cơ sở dao tạo: Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, DHQG. TOM TAT NOI DUNG LUẬN ÁN: Kết quả của luận án này được tổng hop từ bồn bai báo đã được công bồ trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Asymptotic Analysis, Stochastics and Dynamics, Bulletin des Sciences Mathématiques, được chia thành bốn mục ở chương 4 như sau.1} Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với nhiễu trắng u;(t) + v(t)Au(t) = f(t) +o(t)W(t), trong D x [0,T), u(t) = 0, trên 9D x [0,T), u(T) =¢, trong D, trong đó, D C R“ (d > 1) là miền bi chặn với biên đủ trơn, H := L?(D), w:|0,T] > R* thỏa mãn 0 < 1~ < v(t) < vt < œ¿A = =A: Hj(D)n H?(D) C H — H là toán tử Laplacian âm, W(t) là quá trình Wiener (hay còn gọi là chuyển động Brown thông thường) nhận giá trị trên H, W(t) := 2W(t) được gọi là nhiễu trắng, các hàm Z, f, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước. Kết quả chính của mục này bao gồm: chỉ ra tính không ổn định của nghiệm, dẫn đến tính không chỉnh của bài toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và đánh vii giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.2} Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ o Bài toán với nhiễu trắng 2.

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ 2. (3 +4) u(t) = f0) +ơ()W“(),- trong D x (0,7), u(t) = Au(t) = 0, trên aD x [0,T), 3| =O 8(T) =ẽ, với W"(t),h € (4, 1), là chuyển động Brown phân thứ nhận giá trị trên Swit) được gọi là nhiễu Brown phân thứ. Trong đó, (2 + A)“uŒ) = Su(t) +2A3}0(1) + A?u(f), các hàm ế, ƒ, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước. Kết quả chính của mục này bao gồm: thiết lập tính tổn tại nghiệm cho từng bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh của mỗi bài toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và chứng minh nghiệm chỉnh hóa hội tụ về nghiệm chính xác.3} Bài toán ngược thời gian cho phương trình giả parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ viii o Bài toán với nhiễu trắng up(t) + wAu,(E) + APu(t) = f(t) +o(t)W(t), te [0,T), u(Đlạp =0, „(T) = ễ, o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ up(t) +aAup(t) + APu(t) = f(t) +ơ()WP!(, te|0,T), (Đạp =O u(T) = 6, Trong đó, a, B > 0, các hàm , f, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước.

Khác với Mục [13] bên cạnh trường hợp h € (4, 1), mục nay còn xét thêm trường hợp h € (0,3). Day là trường hợp khó xử lý hơn do sự phức tạp của công thức nghiệm và sự xuất hiện của nhiều nhân kỳ dị. Kết quả chính của mục này bao gồm: khảo sát tính chỉnh của các bài toán trong trường hợp 8 € (0,1]; chỉ ra tính không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán trong trường hợp 8 > 1. : j4 Bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán phản ứng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và nhiễu ngẫu nhiên o Bài toán với nhiễu trắng ayu(t) + ð†-*Au() = f(t,u(t)) +ơ()WU), te |0,T), (Đạp =0, u(T) =ẽ.

o Bài toán với nhiễu Brown phân thứ 9;w(£) + a-*Au(t) = f(t,u(t)) +ơ()WÑ*Œ), te [0,T), U(Đ|ạp = 0, u(T) = 6, vớih € (4,5) U (3,1). ix Trong đó, toán tử ar’, với € (0,1), là đạo ham Riemann-Liouville, các hàm é, ƒ, ơ thỏa mãn một số giả thiết cho trước. Kết quả chính của mục này bao gồm: thiết lập tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa của nghiệm cho các bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán. NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN: Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín.

Cụ thể, các kết quả mới gồm có * Khảo sát các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán ở dạng ngẫu nhiên (thay vì tất định). Như đã biết, trong các thập kỷ gần đây, các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán ở dang tat định được quan tâm nghiên cứu nhiều đáng kể. Tuy nhiên, đối với trường hợp ngẫu nhiên, các kết quả vẫn còn hạn ché. s Bên cạnh việc chỉ ra tính không chỉnh và chỉnh hóa các bài toán ngược thời gian, tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa của nghiệm cũng được thiết lập với các điều kiện đủ trơn cho dữ liệu.

¢ Bên cạnh trường hợp nhiễu ngẫu nhiên ở dạng Brown thông thường, luận án còn khảo sát trường hợp nhiễu ở dạng tổng quát (nhiễu Brown phân thứ). Theo chúng tôi được biết, các kết quả về loại nhiễu này, đặc biệt là trường hợp € (0,4), vẫn còn rất ít. CAC UNG DỤNG/KHẢ NĂNG UNG DỤNG TRONG THỰC TIÊN HAY NHUNG VẤN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trong tương lai, chúng tôi có thé mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau ¢ Hướng 1: Khảo sát tính chỉnh / không chỉnh của các bài toán cho các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với điều kiện phi địa phương x thay vì điều kiện đầu hay điều kiện cuối. Hướng 2: Khảo sát tính tồn tại, duy nhất, tính chính quy hóa nghiệm của các bài toán cho các phương trình ngẫu nhiên ở dang delay, trong đó nghiệm của bài toán không chỉ phụ thuộc vào giá trị của nó tại thời điểm đầu (t = 0) ma còn phụ thuộc vào các giá trị tại các thời điểm trong quá khứ (t < 0).